高金德+++徐鐸厚

摘 要：相對(duì)于知識(shí)的線性展開(kāi)，知識(shí)間的整合對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展具有更大的價(jià)值.因此，教師要開(kāi)發(fā)整合課程，以幫助學(xué)生整合不同知識(shí)，促進(jìn)思維方式的轉(zhuǎn)變和躍遷，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在統(tǒng)一，使貌似互不相容

課程內(nèi)容的編排和教學(xué)過(guò)程的推進(jìn)，一般都按照由簡(jiǎn)到繁、由低級(jí)到高級(jí)、由直觀到抽象的循“序”原則進(jìn)行.這對(duì)于線性知識(shí)的學(xué)習(xí)非常有利，但當(dāng)遇到知識(shí)間跨度較大的情況，師生則會(huì)遇到極大挑戰(zhàn).

就拿“方程”與“函數(shù)”來(lái)說(shuō)，單純從某一個(gè)方面出發(fā)，而不考慮二者的內(nèi)在統(tǒng)一性，就有可能走到“山重水復(fù)”的境地.在現(xiàn)實(shí)的課堂中，雖然有些教師在講授函數(shù)的時(shí)候，會(huì)涉及方程的知識(shí)，但大多采用拿來(lái)主義的方式為我所用，學(xué)生難以從更高的層面把握二者的本質(zhì)聯(lián)系，無(wú)法整合思維慣性，難以形成上位思考.為此，我們開(kāi)發(fā)實(shí)施了專門的整合課程，以幫助學(xué)生整合不同知識(shí)，促進(jìn)思維方式的轉(zhuǎn)變和躍遷，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在統(tǒng)一，體驗(yàn)“峰回路轉(zhuǎn)”，享受“柳暗花明”.

一、順勢(shì)而為突遇障礙 智慧顯現(xiàn)盡在后續(xù)

教師：請(qǐng)同學(xué)們一起回答下面算式的結(jié)果.（板書：2-1=？）

學(xué)生驚訝.

教師：那如果我將上式改成下面一個(gè)等式，你會(huì)想到什么呢？（板書：x-1=1）

學(xué)生1：這是一個(gè)一元一次方程.

學(xué)生2：這個(gè)方程的解為x=2.

教師：很好，那如果我再將上式改成下面一個(gè)方程，你又會(huì)想到什么呢？（板書：x-y=1）

學(xué)生1：這是一個(gè)二元一次方程.

學(xué)生2：這個(gè)方程的解為x=y+1.

學(xué)生3：不對(duì)，x=y+1不是該方程的解，x的值應(yīng)該是一個(gè)具體的值.所以這個(gè)方程沒(méi)有解.

學(xué)生4：不對(duì)，我看x=2，y=1就應(yīng)該是這個(gè)方程的解.

教師：噢，還有其他表達(dá)形式的解嗎？

學(xué)生1：有，x=3，y=2； x=4，y=3；x=5，y=4等等都是該方程的解.

學(xué)生2：這些解的形式是成組出現(xiàn)的，并且有無(wú)數(shù)組.

教師：既然二元一次方程x-y=1有無(wú)數(shù)組解，那么我們究竟用怎樣的方式來(lái)表示這無(wú)數(shù)組解呢？用怎樣的呈現(xiàn)形式來(lái)更為直觀地描述這無(wú)數(shù)組解呢？

課堂現(xiàn)場(chǎng)：學(xué)生討論，無(wú)果，留下疑惑：方程的解都是具體的數(shù)值，而能滿足方程成立的數(shù)值有無(wú)數(shù)組，無(wú)數(shù)組解的表達(dá)是永遠(yuǎn)不可能實(shí)現(xiàn)的.

教師：請(qǐng)同學(xué)們思考一下，在過(guò)去的學(xué)習(xí)中，哪些知識(shí)是用有限形式代表了無(wú)限形式的表達(dá)呢？

學(xué)生1：循環(huán)小數(shù)的表達(dá)是用有限形式代表無(wú)限形式的.比如：0.33……，因小數(shù)點(diǎn)后面有無(wú)限多個(gè)3而無(wú)法全部寫出，故用0.■表示即可.

學(xué)生2：無(wú)理數(shù)的表達(dá)也是用有限形式代表無(wú)限形式的.比如：x2=3，其中x的值就是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如果把所有的小數(shù)點(diǎn)后面的部分用數(shù)字表達(dá)是無(wú)法全部寫出的，故用■或-■來(lái)表示即可.

學(xué)生3：在幾何作圖的時(shí)候也存在用有限形式替代無(wú)限形式的表達(dá)方式，比如直線AB的作圖，我們即可用下圖的作圖方式表達(dá)，端點(diǎn)A、B之外表示向兩方無(wú)限延伸.（學(xué)生作圖如下）

學(xué)生4：哦，看來(lái)不能用常規(guī)形式表達(dá)的時(shí)候，可以轉(zhuǎn)化其表達(dá)形式.所以我想二元一次方程x-y=1的無(wú)數(shù)組解也應(yīng)該有辦法表達(dá)，只不過(guò)要選擇一種新的表達(dá)形式，那又該選擇怎樣的表達(dá)形式呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師將三個(gè)等式逐一列舉的過(guò)程，讓學(xué)生感受從算式到方程的微妙變化；讓學(xué)生意識(shí)到一元一次方程有唯一一組解，而二元一次方程則有無(wú)數(shù)組解.于是一個(gè)問(wèn)題將呈現(xiàn)在學(xué)生面前：二元一次方程的無(wú)數(shù)組解該如何表達(dá)？窮極學(xué)生思維，把學(xué)生帶到“行到水窮處”的境地，讓他們體驗(yàn)到“山重水復(fù)疑無(wú)路”的窘迫，引發(fā)學(xué)生欲罷不能、躍躍欲試的情感沖動(dòng).

二、歷史融入智慧復(fù)演 原理探究策略達(dá)成

教師：這個(gè)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有很多人研究過(guò)，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬就是其中一位.1630年在其論文《平面與立體軌跡引論》中提到：“兩個(gè)未知量決定的方程式，對(duì)應(yīng)著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線.”大家從這句話中，能否發(fā)現(xiàn)什么呢？

學(xué)生1：我認(rèn)為這位數(shù)學(xué)家是從軌跡的角度研究方程的，即從直線或曲線的角度研究方程式.這樣一來(lái)，直線或曲線的形式將更為直觀地描述無(wú)數(shù)組解，跳出方程的解的常規(guī)思路.

學(xué)生2：可是如何從軌跡的角度研究方程呢？就比如我們剛才探討的二元一次方程x-y=1，它怎么能與軌跡聯(lián)系到一起呢？

學(xué)生3：我們?cè)瓉?lái)學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時(shí)候，往往要研究函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象是一條直線，可是這里沒(méi)有一次函數(shù)的解析式啊.怎樣才能把二元一次方程與一次函數(shù)建立聯(lián)系呢？這種聯(lián)系又要通過(guò)怎樣的方式方法來(lái)實(shí)現(xiàn)呢？

教師：很好，大家的思考非常有價(jià)值.我們研究方程重在研究其解，研究二元一次方程自然要研究其無(wú)數(shù)組解.對(duì)于二元一次方程x-y=1，x=1，y=0，x=2，y=1，是該方程的解，像這樣形式的解有無(wú)數(shù)組.我們?nèi)绻麑⑵滢D(zhuǎn)化成有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，0），（2，1）形式，那么也就構(gòu)成了點(diǎn)的坐標(biāo)形式……

學(xué)生1：老師，您的意思是否是這樣的：把 x=1，y=0，x=2，y=1，通過(guò)有序?qū)崝?shù)對(duì)的形式轉(zhuǎn)化成點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），（2，1），并在直角坐標(biāo)系中表示出來(lái).這樣方程的兩組解就轉(zhuǎn)化成兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)不正是方程的兩組解所對(duì)應(yīng)的軌跡嗎.

學(xué)生2：如果能將更多組解轉(zhuǎn)化成其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，那么方程對(duì)應(yīng)的軌跡不就表示出來(lái)了嗎.可是無(wú)數(shù)組解一個(gè)一個(gè)地轉(zhuǎn)化不也是很麻煩的嗎？

教師：這個(gè)問(wèn)題問(wèn)得非常好，哪位同學(xué)能夠幫助他解決這個(gè)問(wèn)題？

學(xué)生3：其實(shí)，將二元一次方程x-y=1進(jìn)行恒等變形為y=x-1的形式，就有點(diǎn)一次函數(shù)的外形了.聯(lián)系到我們學(xué)過(guò)的一次函數(shù)圖象，就可以把x的值與對(duì)應(yīng)的y的值看成是數(shù)對(duì)，在平面直角坐標(biāo)系中找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn).如此，二元一次方程無(wú)限組解的表達(dá)困難也就因新的表達(dá)方式迎刃而解.

教師：非常好，大家探究的正是方程和函數(shù)內(nèi)在統(tǒng)一性的問(wèn)題，請(qǐng)大家整理一下自己的發(fā)現(xiàn).

【設(shè)計(jì)意圖】一次函數(shù)及其圖象的引入有多種方式，本環(huán)節(jié)我們是通過(guò)二元一次方程引入一次函數(shù)，通過(guò)對(duì)方程的解引入函數(shù)圖象，讓學(xué)生更為深刻地知道函數(shù)圖象的形成原因.這種做法恰恰符合大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬的解析幾何的基本原理.同時(shí)，教材知識(shí)的安排一般按照從數(shù)、等式、方程、方程的解、函數(shù)、函數(shù)圖象這樣一種順序，因此以上環(huán)節(jié)的探究活動(dòng)更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

融入費(fèi)馬解析幾何的基本原理，目的就是讓學(xué)生在融入數(shù)學(xué)家思想的前提下對(duì)已有的問(wèn)題進(jìn)行思考，這正是數(shù)學(xué)家智慧復(fù)演的現(xiàn)實(shí)體現(xiàn).在這樣一個(gè)過(guò)程中，我們自然達(dá)成二者的內(nèi)在統(tǒng)一性：1、單組解與單個(gè)點(diǎn)的內(nèi)在統(tǒng)一性，即二元一次方程的一組解唯一對(duì)應(yīng)一次函數(shù)圖象的一個(gè)點(diǎn). 2、無(wú)限組解與整個(gè)圖象的內(nèi)在統(tǒng)一性.即二元一次方程組的所有組解與一次函數(shù)圖象完全對(duì)應(yīng)統(tǒng)一.同時(shí)形成研究二元一次方程與一次函數(shù)的策略：站在“形”的角度研究二元一次方程的解——數(shù)，即用一次函數(shù)圖象來(lái)表達(dá)二元一次方程的無(wú)數(shù)組解；站在“數(shù)”的角度研究一次函數(shù)圖象——形，即用二元一次方程無(wú)數(shù)組解來(lái)認(rèn)識(shí)一次函數(shù)的圖象.

如此一來(lái)，學(xué)生便有了一種“坐看云起時(shí)”的釋然，體驗(yàn)到“柳暗花明又一村”的快樂(lè).

三、策略運(yùn)用勢(shì)不可擋 知識(shí)匯聚四方輻輳

教師：請(qǐng)同學(xué)們思考以下問(wèn)題：

1.一次函數(shù)y=x-1與y=-2x+1在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖1所示，思考：?jiǎn)栴}1：從方程的角度看，兩條直線代表什么？

問(wèn)題2：從函數(shù)圖象上看到的兩條直線的交點(diǎn)A，從方程的角度看，它又有怎樣的含義？

學(xué)生1：一次函數(shù)y=x-1的圖象可以認(rèn)為是二元一次方程y=x-1所表達(dá)的無(wú)數(shù)組解，同理，一次函數(shù)y=-2x+1的圖象可以認(rèn)為是二元一次方程y=-2x+1所表達(dá)的無(wú)數(shù)組解，點(diǎn)A可以認(rèn)為是同時(shí)滿足兩個(gè)二元一次方程y=x-1和y=-2x+1的一組解.

學(xué)生2：如果進(jìn)一步思考的話，聯(lián)立方程組y=x-1，y=-2x+1并求出該組解，即可得點(diǎn)A坐標(biāo).

教師：很好，那么我們又如何處理下面這個(gè)陌生的問(wèn)題呢.

2.一次函數(shù)y=x-1與二次函數(shù)y=x2-x-2在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖2所示.思考：如何求出直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)A、B？

學(xué)生1：老師，二次函數(shù)是什么意思，我們還沒(méi)有學(xué)過(guò)啊.

學(xué)生2：我們可以認(rèn)為后面一個(gè)是一個(gè)二元二次方程，它對(duì)應(yīng)的曲線就是方程y=x2-x-2的無(wú)數(shù)組解.直線對(duì)應(yīng)的是方程y=x-1的無(wú)數(shù)組解.點(diǎn)A、B正是同時(shí)滿足以上兩個(gè)方程的公共的兩組解.

因此聯(lián)立方程組y=x-1，y=x2-x-2，求解即得A、B的坐標(biāo).

教師：很好，下面涉及到高中函數(shù)內(nèi)容的問(wèn)題，不知大家敢嘗試嗎？

課件展示：3、觀察下列函數(shù)圖象（圖3—圖6），請(qǐng)說(shuō)出其交點(diǎn)坐標(biāo)的求解思路.

學(xué)生：在圖3中點(diǎn)A可以認(rèn)為是二元一次方程y=x+1與二元三次方程y=x3的公共解，聯(lián)立方程組y=x+1y=x3求解，即得交點(diǎn)坐標(biāo)，后面三個(gè)問(wèn)題也是如此.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在明晰費(fèi)馬解析幾何基本原理的基礎(chǔ)上得出方程與函數(shù)的內(nèi)在統(tǒng)一性之后，自然可在函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題的求解過(guò)程中形成策略.而這一策略的應(yīng)用范圍是非常廣泛的，在更多的函數(shù)圖象中，凡是討論到交點(diǎn)的問(wèn)題，聯(lián)立方程組是一條非常好的思路.

當(dāng)這種策略根植于學(xué)生的內(nèi)心世界中，面對(duì)同類問(wèn)題，不管其中的知識(shí)是學(xué)過(guò)的，還是沒(méi)有學(xué)過(guò)的，都能迎刃而解.而牽扯到學(xué)生尚未學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，也能圍繞策略的運(yùn)用而匯聚在一起，正如車輪上的輻條聚集在轂上那樣匯集到一處.學(xué)生通過(guò)策略的運(yùn)用看到更為廣闊的知識(shí)天地，也將發(fā)現(xiàn)這些不同知識(shí)背后的聯(lián)系.

像這樣一種方式的課堂，問(wèn)題的呈現(xiàn)不是簡(jiǎn)單的羅列，而是在符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律前提下由淺入深的設(shè)計(jì)；思維的呈現(xiàn)不是即時(shí)性的，而是一個(gè)有序的、突出其連續(xù)性的思維鏈條，前后呼應(yīng)，互為印證，在解決問(wèn)題的過(guò)程中打通知識(shí)之間的通道，搭建知識(shí)之間的橋梁；策略的呈現(xiàn)不是教師直接給予的，而是在深入思考問(wèn)題的過(guò)程中凝聚而成的經(jīng)驗(yàn)結(jié)晶；知識(shí)的呈現(xiàn)不是嚴(yán)格按照教材中規(guī)定的先后次序進(jìn)行，而是在學(xué)生的思維及思維的躍遷中，自然而然地熔煉成一個(gè)相對(duì)完整的體系，看似打亂了章節(jié)知識(shí)的次序，實(shí)則建構(gòu)了學(xué)生整體把握知識(shí)的意識(shí).

數(shù)學(xué)知識(shí)在教材中的呈現(xiàn)有先后，但學(xué)生的思維發(fā)展有時(shí)需要躍遷，也正是這種跳躍催生新的知識(shí)，這在數(shù)學(xué)發(fā)展史上成為常態(tài).由此，基于教材而不拘泥于教材設(shè)計(jì)的整合課程，理應(yīng)走進(jìn)學(xué)生，成為促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的有效方式之一.在日常教學(xué)中，我們充分挖掘不同類型的知識(shí)之間的跨界價(jià)值，開(kāi)發(fā)出很多這樣的整合課程，深受學(xué)生歡迎.

可見(jiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)改革，不應(yīng)也不會(huì)專注于“術(shù)”的癡迷而失卻“道”的考量，迫切需要形而上的大格局意識(shí).因?yàn)?，沒(méi)有這種形而上的深度思考，就很難形成形而下的精準(zhǔn)定位.當(dāng)學(xué)生有了對(duì)知識(shí)之間的本質(zhì)屬性的把握后，居高臨下，融會(huì)貫通，才能既見(jiàn)到樹(shù)木，又看到森林，貌似互不相容的“天塹”因變換解決問(wèn)題的角度而成為“通途”.