周東瓊

【摘要】級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具，在理論上和實際應用中它都處于重要地位。級數(shù)能表示某些非初等函數(shù)，微分方程的解就常用級數(shù)表示；同時，可將函數(shù)表為級數(shù)，從而借助級數(shù)去研究函數(shù)，如用冪級數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進行近似計算等。因此我們有必要學習級數(shù)這個概念，本文對級數(shù)思想的起源與發(fā)展、級數(shù)的研究內(nèi)容進行探究。

【關鍵詞】函數(shù) 級數(shù) 起源 發(fā)展 斂散性

那么，什么是級數(shù)呢？看下面兩個例子。

例1.“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。如果把每一天截下的那一部分的長度加起來，則得到下面的式子：

該式子中有無限個數(shù)相加。從直觀上看，它的和顯然是1。

例2.將 與 無限循環(huán)相加，得到下面的式子：

若將它寫成： 則結果無疑等于0

但是，若寫成 則結果又等于1。

有限個常數(shù)相加一定有和，但是無窮個常數(shù)相加（數(shù)項級數(shù)）或無窮個函數(shù)相加（函數(shù)項級數(shù)）的結果就不盡然了。

1.級數(shù)的萌芽

歷史上級數(shù)出現(xiàn)得很早，早在公元前4世紀就知道公比小于1（大于零）的幾何級數(shù)具有和數(shù)。14世紀，N.奧爾斯姆證明了調(diào)和級數(shù)發(fā)散到+∞。但是直到接近于微積分發(fā)明的年代，我們才能脫離幾何表示而達到級數(shù)和的純算術概念，進一步把級數(shù)視為獨立的算術運算并正式使用收斂與發(fā)散兩詞。級數(shù)收斂概念的逐漸明確有力地幫助了微積分基本概念的形成。

2.級數(shù)的發(fā)展及理論形成

微積分在創(chuàng)立的初期就為級數(shù)理論的開展提供了基本的素材。它通過自己的基本運算與級數(shù)運算的純形式的結合，達到了一些初等函數(shù)的（冪）級數(shù)展開。在此以后，級數(shù)便作為分析函數(shù)的等價物，用來計算函數(shù)的值，代表函數(shù)參加運算，同時所得結果闡釋函數(shù)的性質(zhì)。在運算過程中，級數(shù)被視為多項式的直接的代數(shù)推廣。這些基本觀點的運用一直持續(xù)到19世紀初年，獲得了豐碩的成果。這些成果主要歸功于歐拉、雅各布第一·伯努利、J.-L.拉格朗日、傅里葉等。

同時，悖論性等式的不時出現(xiàn)（如1/2=1-1+1-1+…，-1=1+2+4+8+…之類）促使人們逐漸地自覺到級數(shù)的無限多項之和有別于有限多項之和這一基本事實，注意到函數(shù)的級數(shù)展開的有效性表現(xiàn)為級數(shù)的部分和無限趨近于函數(shù)值這一收斂現(xiàn)象，提出了收斂定義的確切陳述，從而開始了分析學的嚴密化運動（B.波爾查諾1817、柯西1821、阿貝爾1826）。

微積分基本運算與級數(shù)運算相結合，引導人們加強或縮小收斂性而提出一致收斂的概念[K.（T.W.）外爾斯特拉斯（1841）、G.G.斯托克斯（1847）、 P.L.von賽德爾（1848）]。然而（在天文學、物理學中，甚至在柯西本人的研究工作中）函數(shù)的級數(shù)展開，作為一整個函數(shù)的分析等價物，在收斂范圍以外的不斷的成功的使用，則又迫使人們推廣或擴大收斂概念而提出漸近性與可和性（龐加萊，1886；切薩羅，1890；波萊爾，1895）。

級數(shù)理論中的基本概念總是在其樸素意義獲得有效使用的過程中形成及發(fā)展的。高等數(shù)學對于級數(shù)的研究，級數(shù)求和問題是級數(shù)理論中相當重要的內(nèi)容，由于級數(shù)求和的方法很多而且難度大，因此是數(shù)學分析學中的難點之一。目前，系統(tǒng)講解級數(shù)求和的論著相對較少，但相關的文獻資料還是非常豐富。我了解到可以利用子列極限求部分和、微分方程法、歐拉常數(shù)法、利用復數(shù)求級數(shù)和等等方法。 我們很有必要了解簡單的級數(shù)斂散性的判定及特殊級數(shù)的展開方式。

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