摘要：譜方法的作用是求解偏微分方程。它的特點是具有穩(wěn)定性和收斂性，還可以實現(xiàn)Fourier計算。在許多科學(xué)研究領(lǐng)域中，問題最終都會歸結(jié)為求解偏微分方程，譜方法正是一種有效的計算方法。本文主要介紹譜方法的思想和基本理論。

關(guān)鍵詞：譜方法；收斂性；穩(wěn)定性

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）06-0084-02

一、譜方法的研究概況

譜方法的產(chǎn)生有著悠久的歷史，來源于變分問題的近似解法——伽遼金方法。經(jīng)過譜方法的發(fā)展演變，譜方法分為常用的三種方法，即伽遼金譜方法、多項式近似解法和配點法。一方面，在許多工科研究中，譜方法被應(yīng)用于求解大型偏微分方程，這使得譜方法得到了深入的發(fā)展；另一方面，由于計算機的快速發(fā)展，求解偏微分方程更多的是用編程來計算，這樣可以減少譜方法的計算量。隨著計算機的普及，譜方法有了更多的實用價值。譜方法不僅在計算物理、計算力學(xué)等領(lǐng)域取得了顯著的研究成果，且在空氣學(xué)、工學(xué)、海洋科學(xué)等領(lǐng)域也得到了應(yīng)用。

在譜方法的研究中，除了研究數(shù)值解以外，研究非線性微分方程的穩(wěn)定性同樣重要。許多專家在譜方法穩(wěn)定性方面做了詳細的研究。例如Kreiss、Oliger[1]、Orszag[2]三個人在穩(wěn)定性方面做了長期的研究。還有另外的研究人員Quarteroni、Canuto、Pasciak、Funaro、Maday[3-8]，中國學(xué)者郭本瑜[9，10]等人對譜方法做了更為詳細深入的研究，并且將譜方法的理論應(yīng)用于一些線性微分方程或者非線性偏微分方程的求數(shù)值解上，賦予了譜方法新的實用價值，從而證明了譜方法是一種有效的數(shù)值計算方法。

譜方法的基函數(shù)是一組定義在同一個區(qū)間或定義在同一個n維長方體上的正交多項式，因為這樣的正交多項式，譜方法只能應(yīng)用于求解區(qū)域是一維區(qū)間或者n維長方體的問題[11]，針對譜方法這一缺點，為了克服譜方法只能求解一維空間或n維長方體問題，一些研究人員做了一些研究。例如Orszang[12]提出了映照法，此方法是做一些合適的函數(shù)變換把將要求解的區(qū)域轉(zhuǎn)變成長方體空間，從而符合譜方法的基函數(shù)定義范圍，從而可以進行數(shù)值計算。如果遇到復(fù)雜的求解區(qū)域，映照法并不適用，此時可以采用拼接法，即將一個復(fù)雜的求解區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域。在簡單子區(qū)域上使用譜方法計算，再把若干個簡單區(qū)域聯(lián)合求解。但是這個方法也有它的缺點，不適合于簡單的區(qū)域。

隨著譜方法的日益成熟，譜方法又有了一些新的發(fā)展。在河槽中的流動，球殼上的非對稱流等相關(guān)的研究領(lǐng)域得到了顯著的發(fā)展。

通過很多學(xué)者的研究，譜方法已經(jīng)在理論研究方面取得了一些重要的研究成果，使得譜方法得到了進一步的發(fā)展空間，但是差分法和有限元法的研究相比，譜方法還有一定的差距，特別是在非線性情形下，或問題不是周期情況下的譜方法，特別是譜方法在求解偏微分方程數(shù)值解方面也需要更多深入的研究。

二、譜方法的穩(wěn)定性和收斂性理論

我們首先來建立譜方法求解偏微分方程的一般框架。為此我們先來介紹Lax-Milgram定理和它相應(yīng)的推廣Babuska定理和Lax-Richtmyer等價性定理[11]。

Lax-Milgram定理：設(shè)雙線性泛函a（u，v）滿足[11]：

（1）a‖u‖ ≤a（u，u），？坌u∈V （強制性）。

（2）a（u，v）≤β‖u‖ ‖v‖ ，？坌u，v∈V （有界性）。

其中α、β是正常數(shù)，則線性邊值問題：求u∈V，使a（u，v）=〈f，v〉，？坌v∈V存在唯一解而且有‖u‖ ≤

c‖f‖ 。V′是V的對偶空間。

Lax-Milgram定理可以證明解的唯一性，同時說明了解關(guān)于右端f的穩(wěn)定性、連續(xù)性、依賴性。定理中的條件對泛函要求嚴(yán)格，我們將條件擴展成要求更低的inf-sup條件，就有了Babuska定理。在定理中，U、V分別是兩個Hilbert空間，定理如下：

Babuska定理：若對雙線性泛函a（u，v），u∈U，v∈V，存在常數(shù)α、β、M使得[12]：

（1）a（u，v）≤M‖u‖ ‖v‖ ，？坌u∈U，v∈V。

（2）0< a（u，v），？坌v≠0，v∈V。

（3）0

則雙線性泛函問題：求u∈U，使a（u，v）=〈f，v〉，？坌v∈V有唯一解，且有估計式‖u‖ ≤ ‖f‖ ′

Lax-Richtmyer等價性定理概括為：一個適定的線性問題的相容逼近收斂的充要條件是逼近的同時是穩(wěn)定的。

Lax-Richtmyer定理的應(yīng)用在于若構(gòu)造的近似格式是相容的，近似格式的收斂性可以轉(zhuǎn)化為研究近似格式的穩(wěn)定性。

三、結(jié)語

本文對譜方法理論做了一個簡單的介紹，當(dāng)然譜方法仍在繼續(xù)發(fā)展中，它的應(yīng)用前景很廣泛，也極具實用價值。

參考文獻：

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