趙勝華

【摘 要】由“分?jǐn)?shù)和除法”的教學(xué)難點(diǎn)引發(fā)思考，嘗試研讀分?jǐn)?shù)概念的上位知識(shí)，把握分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)；解讀學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知障礙，厘清分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)體系；引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷規(guī)定“單位量”的重要性，體驗(yàn)“單位量”的相對(duì)性和動(dòng)態(tài)性，從而優(yōu)化分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)概念 認(rèn)知障礙 單位量 優(yōu)化教學(xué)

人教版五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”單元的第二節(jié)新授課“分?jǐn)?shù)和除法”是一節(jié)難上的課。用學(xué)生的話來描述：本來我有點(diǎn)懂的，越上越糊涂了。課后學(xué)生對(duì)于“把2平方米的花圃平均分給3個(gè)小組，每個(gè)小組分到這個(gè)花圃的（ ），每個(gè)小組分得（ ）平方米”這種類型的題目屢做屢錯(cuò)，屢改屢錯(cuò)。為什么會(huì)這樣呢？下面一起來看兩則教學(xué)實(shí)踐的案例。

初次教學(xué)實(shí)踐

【案例一】

環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)鋪墊

把一些餅平均分給4個(gè)同學(xué)，每人分得幾個(gè)？每人分得這些餅的幾分之幾？

初步感知因總數(shù)不一定，每人分幾個(gè)無法確定，而每人分得的始終為這些餅的。

環(huán)節(jié)二：探究新知

1.等分1個(gè)餅。

（1）如果餅的個(gè)數(shù)是1個(gè)，那每人分得幾個(gè)？每人分得這些餅的幾分之幾？

引導(dǎo)學(xué)生列除法算式計(jì)算，比較兩個(gè)的不同。

（2）如果是這個(gè)餅分給3個(gè)人呢？分給7個(gè)人呢？

引導(dǎo)學(xué)生列式計(jì)算，強(qiáng)化用分?jǐn)?shù)單位表示商，凸顯兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位的不同意義。

2.等分3個(gè)餅。

如果把3 個(gè)餅平均分給4個(gè)人，每人分得多少個(gè)？

3.等分任意個(gè)餅。

把（ ）個(gè)餅平均分給（ ）個(gè)人，每人分得多少個(gè)？

學(xué)生自己填數(shù)，列算式計(jì)算，教師根據(jù)學(xué)生的匯報(bào)板書。

4.觀察板書，歸納并用字母表示分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

【案例二】

環(huán)節(jié)一：直接設(shè)疑，引出核心問題

出示“平均分”，提問：你學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)中，哪些數(shù)跟“平均分”有關(guān)？

引出課題：分?jǐn)?shù)和除法有什么關(guān)系？

環(huán)節(jié)二：探索研究分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系

2.把3塊餅平均分給4個(gè)小朋友，每人分得多少塊？

（2）師生一起操作再次驗(yàn)證3小塊為塊。

3.把3塊餅平均分給5個(gè)小朋友，每人分得多少塊？

引導(dǎo)學(xué)生列出除法算式，形成板書。

4.觀察板書（如下圖）。

（1）引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)和表示具體數(shù)量的分?jǐn)?shù)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，并嘗試?yán)斫鉃槭裁纯梢杂眠@樣的分?jǐn)?shù)表示除法的商。

（2）小結(jié)：在除法里，被除數(shù)表示總數(shù)，除數(shù)表示份數(shù)；而表示具體數(shù)量的分?jǐn)?shù)，分子就是總數(shù)，分母就是平均分的份數(shù)。因此，被除數(shù)相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。

5.建立模型，用符號(hào)表示分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。

環(huán)節(jié)三：練習(xí)反思，體驗(yàn)分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系有什么用？

教學(xué)反思

上面兩節(jié)課的引入和探究看似不同，實(shí)則兩位教師對(duì)“分?jǐn)?shù)的定義”及對(duì)學(xué)生的認(rèn)知情況的判斷是相似的。兩位教師都基于“分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義”，借助操作、觀察、比較，從“具體量”和“分率”的角度理解算理，然后通過不完全歸納得出分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系。案例一中的教師停留在“被除數(shù)相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母”的表面形式，案例二的教師借助推演嘗試引導(dǎo)學(xué)生理解“表示具體數(shù)量的分?jǐn)?shù)，分子就是總數(shù)，分母就是平均分的份數(shù)”，實(shí)踐的效果表明僅是教師的一廂情愿，學(xué)生并不領(lǐng)情。此外，筆者還收集了十余個(gè)該課案例，教學(xué)設(shè)計(jì)及實(shí)踐效果與上述案例大同小異。

案例二的教師課后有這樣一句自我評(píng)價(jià)，“因?yàn)槲覍?duì)學(xué)生的問題估計(jì)不足，試教效果并不十分理想”。筆者認(rèn)為這是由兩個(gè)原因造成的：首先是教師對(duì)“分?jǐn)?shù)概念”的體系認(rèn)識(shí)不清晰；其次是教師對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)“分?jǐn)?shù)意義”思維上的障礙點(diǎn)判斷有誤。具體分析如下。

一、分?jǐn)?shù)是一個(gè)兼具多重意義的數(shù)學(xué)概念

Kieren的研究提出分?jǐn)?shù)的五個(gè)構(gòu)想（subconstructs），即部分/整體、比率、商、度量和運(yùn)作。這五個(gè)構(gòu)想不但彼此互相關(guān)聯(lián)，而且還可以從不同的觀點(diǎn)來解釋分?jǐn)?shù)的意義，其中“部分/整體”是分?jǐn)?shù)發(fā)展的基礎(chǔ)。國(guó)內(nèi)外大部分的研究者認(rèn)同了這個(gè)觀點(diǎn)。張丹教授認(rèn)為這五個(gè)構(gòu)想揭示了分?jǐn)?shù)作為“量”和“率”兩個(gè)維度，需要從四個(gè)方面來完成對(duì)分?jǐn)?shù)多重意義的認(rèn)識(shí)。如下圖：

“比率”是指部分與整體的關(guān)系和部分與部分的關(guān)系。對(duì)比率的理解，可以幫助學(xué)生完成對(duì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)以及通分、約分等相關(guān)知識(shí)的理解。

“度量”指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累積。

“商”主要是指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果，它使學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)由“過程”凝聚到“對(duì)象”，即分?jǐn)?shù)也是一個(gè)數(shù)，有大小，也可以和其他數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算。

以上四個(gè)方面沒有先后之分、主次之別。換而言之，學(xué)生要完成對(duì)于分?jǐn)?shù)多重意義的建構(gòu)必須使這四者相輔相成。即不能簡(jiǎn)單地理解為到了某個(gè)階段就必須或者只能達(dá)成對(duì)某個(gè)維度的學(xué)習(xí)，其他維度將不再涉及。

現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，一般都采用以下的定義：將單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)。表示把單位“1”平均分成多少份的數(shù)p（p≠0）叫作分母，表示取了多少份的數(shù)q叫作分子。分?jǐn)?shù)寫成，讀作p分之q。

“份數(shù)定義”的好處是直觀、明白易懂，強(qiáng)調(diào)了“平均”，特別是對(duì)“幾分之幾”做了貼切的說明，對(duì)理解以后的分?jǐn)?shù)運(yùn)算也有很重要的價(jià)值。但是，用“份數(shù)”來定義分?jǐn)?shù)，也有不少缺點(diǎn)。首先，一份或幾份的說法，仍然和自然數(shù)靠得很近，沒有顯示出這是一種新的數(shù)。其次，平均分一個(gè)大餅之后其中的一份或幾份的說法，常讓學(xué)生誤解為分?jǐn)?shù)總是小于1（比一個(gè)大餅?。Ｔ俅?，由于分大餅或其他直觀圖的思維定勢(shì)，不能適當(dāng)選擇單位量。

分?jǐn)?shù)的真正來源，在于自然數(shù)除法的推廣。分?jǐn)?shù)是由除不盡引起的，除得盡仍是整數(shù)，除不盡就需要增添新數(shù)。“份數(shù)定義”顯示過程，“商定義”表示結(jié)果，由“份數(shù)定義”到“商定義”是數(shù)系的擴(kuò)充，這就是“分?jǐn)?shù)和除法”這節(jié)課的目標(biāo)。

數(shù)學(xué)知識(shí)的根本特點(diǎn)在于其很強(qiáng)的邏輯性和嚴(yán)密性。教學(xué)的結(jié)果，不僅應(yīng)當(dāng)掌握單個(gè)概念，而且還應(yīng)當(dāng)掌握每個(gè)具體課題和整個(gè)數(shù)學(xué)課程的完整的概念體系，數(shù)學(xué)理論的演繹結(jié)構(gòu)，使數(shù)學(xué)概念構(gòu)成了一個(gè)具有嚴(yán)密層級(jí)的體系。因此，幫助學(xué)生進(jìn)行分?jǐn)?shù)多維意義的關(guān)聯(lián)與整合，形成完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，教師首先要建立準(zhǔn)確的概念體系，才能使教學(xué)有的放矢。

二、學(xué)生理解單位量的困難

數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系是非常緊密的，每一部分不是孤立存在，它是前面知識(shí)的繼承和發(fā)展，又是后面知識(shí)的基礎(chǔ)和鋪墊。站在整體的角度梳理教材“顯性”和“隱形”相結(jié)合的體系，小學(xué)階段的“分?jǐn)?shù)”教學(xué)可分為五個(gè)階段（如右上圖）。

這五個(gè)階段各有側(cè)重，相互滲透、相互補(bǔ)充，共同幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解的不斷發(fā)展和整體建構(gòu)。由此可見，平均分的“等分概念”對(duì)于五年級(jí)學(xué)生是重點(diǎn)但不是難點(diǎn)。那么學(xué)生的思維障礙在哪里呢？

在解決分?jǐn)?shù)問題時(shí)最重要的一個(gè)概念就是“單位量”，也就是“單位1”。從文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生無論在解決“部分/全部”“子集/集合”或數(shù)軸上的分?jǐn)?shù)問題時(shí)，都有確認(rèn)單位量的困難。Figueras將學(xué)生在處理“部分/全部”及“子集/集合”的分?jǐn)?shù)問題時(shí)，對(duì)確認(rèn)單位量的困難分成三種類型：（1）忽略給定的單位量。犯此類錯(cuò)誤的學(xué)生無法確認(rèn)問題中的單位量。（2）受分子控制。犯此類錯(cuò)誤的學(xué)生在解決分?jǐn)?shù)問題時(shí)，只考慮到問題中的分子（分割后的量），解題過程深受分子的影響。（3）受分母控制。犯此類錯(cuò)誤的學(xué)生在處理分?jǐn)?shù)問題時(shí)，只考慮到問題中的分母（分割份數(shù)），解題過程深受分母的影響。

從上面的兩個(gè)案例中，我們可以看到學(xué)生的具體分法雖然不一樣，但借助實(shí)踐操作都能準(zhǔn)確得出結(jié)果為“3小塊”。學(xué)生的困惑點(diǎn)在于受“份數(shù)定義”的影響，造成思維定勢(shì)，忽略給定的單位量，默認(rèn)總數(shù)為單位“1”。

綜合以上分析，筆者做了如下的實(shí)踐。

反思后再次教學(xué)實(shí)踐

【案例】

環(huán)節(jié)一：設(shè)疑引出核心問題

出示“平均分”，提問：你學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)中，哪些數(shù)跟“平均分”有關(guān)？

引出課題：分?jǐn)?shù)和除法有什么關(guān)系？

環(huán)節(jié)二：積極探索，研究分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系

1.出示題目：把3個(gè)餅平均分給4個(gè)人，每人分得多少個(gè)？

2.學(xué)生操作驗(yàn)證。

3.學(xué)生展示不同的分法和結(jié)果。

（1）教師不評(píng)價(jià)，配合學(xué)生的想法用動(dòng)畫演示分餅過程，凸顯分的方法不同，得到的塊數(shù)相同。

充分展示學(xué)生的不同意見，將矛盾集中到“3小塊究竟用哪個(gè)分?jǐn)?shù)來表示？”

（學(xué)生的思考都有根有據(jù)，所以誰也說服不了誰）

（3）教師干預(yù)。

師：對(duì)于“每個(gè)人分到3小塊”，大家意見是一致的。我們爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是有的同學(xué)認(rèn)為3個(gè)餅為單位“1”，其他同學(xué)認(rèn)為1個(gè)餅為單位“1”，誰也說服不了誰。不規(guī)定一下，我們的交流會(huì)很混亂。靜靜地想30秒，你們認(rèn)為應(yīng)該以誰為單位“1”比較合適？

生：?jiǎn)栴}“每個(gè)人分到幾個(gè)餅”，其實(shí)已經(jīng)在告訴我們1個(gè)餅為單位“1”了。

師：是的，很多時(shí)候大家表達(dá)的意思是一致的，但由于每個(gè)人設(shè)置的標(biāo)準(zhǔn)不同，就會(huì)很混亂，聰明的人這個(gè)時(shí)候就會(huì)“規(guī)定一下”，長(zhǎng)度單位厘米、分米、米就是這樣發(fā)明的。今天我們就規(guī)定“每人分到幾個(gè)餅？”是以1個(gè)餅為單位量（同單位“1”）。

環(huán)節(jié)三：優(yōu)化操作方法，腦海里先疊再分，豐富素材，不完全歸納出除法和分?jǐn)?shù)的關(guān)系。

實(shí)踐反思

實(shí)踐中壓縮操作時(shí)間，集中展示學(xué)生的不同分法，在較短的時(shí)間內(nèi)將矛盾集中到——“3小塊究竟以誰為單位量”。然后，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“規(guī)定”，凸顯確定單位量的重要性，為后續(xù)靈活合理解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題埋下伏筆。

前面案例中的兩位教師都嘗試從區(qū)分“具體量”和“分率”的角度引導(dǎo)學(xué)生理解，但是細(xì)心一點(diǎn)會(huì)發(fā)現(xiàn)，教材、教參等都沒有這兩個(gè)概念。我們只有在一些教師的教學(xué)案例中看到過，筆者認(rèn)為這是教師經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)的體現(xiàn)，其“合法”地位值得商榷。另外，教師用兩個(gè)更陌生、更抽象的概念來幫助學(xué)生建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義，讓學(xué)生如何“領(lǐng)情”？因此“確定單位量”才是“分?jǐn)?shù)和除法”這節(jié)課應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生突破的思維障礙點(diǎn)，從而進(jìn)一步建構(gòu)分?jǐn)?shù)的多重意義。

奧蘇伯爾說：“影響學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)該根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況進(jìn)行教學(xué)影響?！边@似乎更多的是在說學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，但這其中不僅對(duì)應(yīng)著學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)（知識(shí)儲(chǔ)備、思維方式），更隱藏著學(xué)生發(fā)展可能性的秘密。發(fā)現(xiàn)學(xué)生的“真問題”不是目的，由此減少人為的復(fù)雜，讓學(xué)生最大可能的發(fā)展，這才是教學(xué)的情懷。

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（浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)永興小學(xué) 311400）