周 輝 丁 銳 秦友蕾 曹 毅

1.江南大學(xué)機械工程學(xué)院，無錫，2141222.江南大學(xué)江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室，無錫，214122

面向多向3D打印的混聯(lián)機構(gòu)及其運動分析

周 輝1, 2丁 銳1, 2秦友蕾1, 2曹 毅1, 2

1.江南大學(xué)機械工程學(xué)院，無錫，2141222.江南大學(xué)江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室，無錫，214122

為解決多向3D打印裝備瓶頸問題，提出一種完全解耦五自由度混聯(lián)機構(gòu)作為3D打印的執(zhí)行機構(gòu)，該機構(gòu)由并聯(lián)模塊3-CPaRR和串聯(lián)模塊RRo組成，其中并聯(lián)模塊由3條相同CPaRR支鏈構(gòu)成，可實現(xiàn)空間的三維移動，串聯(lián)模塊RRo用于調(diào)整打印頭姿態(tài)，改善3D打印過程中的臺階現(xiàn)象、干涉問題?；诩s束螺旋理論，分析了3CPaRR&RRo機構(gòu)自由度，并通過ADAMS建模對其進行了驗證。然后運用D-H法求得混聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)方程，對機構(gòu)的位姿正解表達式求導(dǎo)，得到了機構(gòu)的雅可比矩陣和末端速度方程，分析了機構(gòu)在工作空間內(nèi)的奇異性問題，通過對模型運動仿真，繪制出了機構(gòu)末端輸出速度曲線，驗證了上述分析的正確性。

多向3D打印；混聯(lián)機構(gòu)；完全解耦；螺旋理論；運動學(xué)

0 引言

3D打印技術(shù)(增材制造)誕生于20世紀80年代中后期[1]，它是根據(jù)三維 CAD設(shè)計數(shù)據(jù)，采用分層、疊加成形的方式逐層增加材料來生成三維實體的。3D打印在復(fù)雜結(jié)構(gòu)件制造、文物修復(fù)、生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，是傳統(tǒng)制造技術(shù)的有益補充[2]。目前，大部分3D打印都采用單向分層熔融沉積技術(shù)，即打印頭姿態(tài)固定，沿著垂直于打印頭方向運動，這種方法具有軌跡規(guī)劃簡單、制造速度較快、成本低等優(yōu)點。但這種打印模式也存在明顯的缺點：打印的產(chǎn)品表面質(zhì)量比較差，易出現(xiàn)不光滑的臺階形狀[3]；在有些現(xiàn)有零件上增加幾何特征比較困難；打印的產(chǎn)品力學(xué)性能具有方向性。為了解決這些問題，人們提出了在打印過程中調(diào)整打印頭姿態(tài)的技術(shù)，即多向3D打印(multi-direction 3D printing)技術(shù)。多向3D打印技術(shù)可以顯著改善單向3D打印過程中的臺階現(xiàn)象、干涉問題和材料特性的方向性。

實現(xiàn)多向3D打印技術(shù)的關(guān)鍵是3D打印設(shè)備。商用的3D打印設(shè)備大多是基于三平動的串聯(lián)機構(gòu)，這些設(shè)備可實現(xiàn)單向分層3D打印。為了實現(xiàn)多向分層3D打印，一些具有更高自由度的3D打印設(shè)備相繼出現(xiàn)，它們主要通過兩類方法實現(xiàn)多向3D打印，一類是通過旋轉(zhuǎn)工件平臺，配合打印頭的三自由度平動[4-5]；另外一類是通過增加打印頭的自由度[6-9]，使其具備改變姿態(tài)的能力。但由于這些均為串聯(lián)式結(jié)構(gòu)，具有誤差累積的特點，精度低，懸臂式結(jié)構(gòu)剛度差，所以這類裝備的打印質(zhì)量和效率均不理想。這些缺點促使學(xué)者們開始研究開發(fā)并聯(lián)式3D打印設(shè)備,出現(xiàn)了一些基于Delta、Stewart機構(gòu)的并聯(lián)式3D打印設(shè)備[10]，這些并聯(lián)機構(gòu)雖然可以用于多向3D打印，但存在動力學(xué)模型復(fù)雜、路徑規(guī)劃難、柔性差、對簡單的打印任務(wù)驅(qū)動超冗余且經(jīng)濟性差等缺點。然而，完全解耦混聯(lián)機構(gòu)很好地解決了上述串并聯(lián)式結(jié)構(gòu)的問題，不僅具有高精度，高剛度的特征，而且控制簡單。

本文基于文獻[11-12]構(gòu)型方法提出一種完全解耦3T2R五自由度混聯(lián)機構(gòu)，將其作為多向3D打印機的結(jié)構(gòu)本體，同時對其運動性能進行了分析研究。

1 多向3D打印機構(gòu)描述

多向3D打印機的結(jié)構(gòu)本體采用一種新型3CPaRR&RRo混聯(lián)機構(gòu)，其中C為圓柱副、Pa為平行四邊形鉸鏈、R為轉(zhuǎn)動副、RRo為兩個轉(zhuǎn)動副軸線交于公共點，它由并聯(lián)模塊3-CPaRR和串聯(lián)模塊RRo構(gòu)成，并聯(lián)模塊3-CPaRR能夠?qū)崿F(xiàn)空間的三維移動，主要用以保證3D打印設(shè)備具有良好的剛性、較快的打印速度，可單獨作為單向3D打印設(shè)備的執(zhí)行機構(gòu)，串聯(lián)模塊RRo用于打印過程中調(diào)整打印頭姿態(tài)，改善3D打印過程中的臺階現(xiàn)象、干涉問題。多向3D打印機構(gòu)CAD模型如圖1所示。并聯(lián)模塊3-CPaRR由3條完全相同支鏈CPaRR將動平臺和支架相連，每條分支都具有5個自由度，3條支鏈中與定平臺連接的3個圓柱副，其軸線相互垂直，3D打印頭通過兩個交于一點的轉(zhuǎn)動副和動平臺連接。

圖1 多向3D打印機構(gòu)CAD模型Fig.1 A CAD model of mechanism for multi-direction 3D printing

如圖2所示，將每個支鏈的每個運動副進行編號，可以表示成第i條支鏈的第j個運動副，串聯(lián)模塊的轉(zhuǎn)動副為R4、R5。3條支鏈中圓柱副為Ci1、平行四邊形鉸鏈為Pai2、轉(zhuǎn)動副Ri3的軸線互相平行，2個轉(zhuǎn)動副Ri4、Ri3的軸線垂直，與動平臺連接的轉(zhuǎn)動副Ri4軸線相互垂直(i=1,2,3)，3條支鏈的第一個圓柱副Ci1正交放置。按照圖2所示，將定坐標系OXYZ設(shè)在定平臺3個相互垂直的軸上,軸心為O，以第1條支鏈為例，則C11平行于Y軸，Pa12中4個轉(zhuǎn)動軸線平行于Y軸，R13平行于Y軸。R14平行于動平面與轉(zhuǎn)動副R13垂直。串聯(lián)模塊的轉(zhuǎn)動副R4軸線平行于Y軸，轉(zhuǎn)動副R4、R5軸線垂直并且兩個軸線交于一點。

圖2 3CPaRR&RRo混聯(lián)機構(gòu)Fig.2 A 3CPaRR&RRo hybrid mechanism

2 混聯(lián)機構(gòu)的約束分析

2.1 混聯(lián)機構(gòu)3CPaRR&RRo的自由度分析

運用修正的Grübler-Kutzbach通用自由度計算公式[13]：

(1)

式中,M為機構(gòu)的自由度；d為機構(gòu)的階數(shù)；n為包括機架的構(gòu)件數(shù)目；g為運動副的數(shù)；fi為第i個運動副的自由度；μ為過約束數(shù)；ζ為局部自由度。

將3CPaRR&RRo混聯(lián)機構(gòu)導(dǎo)入到ADAMS中的Model Verify模塊驗證上述機構(gòu)自由度，經(jīng)驗證機構(gòu)自由度數(shù)為5。

對于混聯(lián)機構(gòu)中的并聯(lián)模塊，如圖2所示$ij為第i條支鏈的第j個運動副的運動螺旋。3CPaRR并聯(lián)機構(gòu)中的Pa平行四邊形鉸鏈可用一個等效廣義移動副替代，則支鏈可認為由4個運動副CPRR組成。并聯(lián)機構(gòu)的等效支鏈一的運動螺旋系為

(2)

其中，d12、f12、d13、f13、e14、f14為非零實數(shù)。

由式(2)運動螺旋可得約束螺旋系為

(3)

支鏈二的運動螺旋系為

(4)

其中，d22、e22、d23、e23、d24、f24為非零實數(shù)。

由式(4)運動螺旋可得約束螺旋系為

(5)

支鏈三的運動螺旋系為

(6)

其中，e32、f32、e33、f33、d34、e34為非零實數(shù)。

由式(6)運動螺旋可得約束螺旋系為

(7)

并聯(lián)機構(gòu)3CPaRR約束螺旋系為

(8)

式(8)表明，3條支鏈對動平臺作用了3個力偶。這3個力偶彼此線性無關(guān)，剛好限制了動平臺上的3個轉(zhuǎn)動，所以此并聯(lián)模塊可以實現(xiàn)空間三維移動，再加上串接在動平臺上的兩個轉(zhuǎn)動，此混聯(lián)機構(gòu)具有三移兩轉(zhuǎn)五個自由度。

2.2 機構(gòu)輸入運動副選擇

選取與定平臺相連的三個在空間相互垂直的圓柱副的移動特征為輸入，對于串聯(lián)模塊的RRo驅(qū)動副分別是R4、R5。根據(jù)螺旋理論的并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動選取方法，如果輸入運動選取正確，當輸入運動副被約束時，則動平臺的約束螺旋系的最大線性無關(guān)數(shù)為6[14]。此時，限制這三個圓柱副移動特征后，對每條支鏈的運動螺旋分別求其反螺旋，可得到動平臺的約束螺旋系為

(9)

顯然式(9)中約束螺旋矩陣的秩是6，此時的動平臺自由度是0。將3CPaRR&RRo混聯(lián)機構(gòu)導(dǎo)入到ADAMS中的Model Verify模塊，設(shè)定3個圓柱副以及與機構(gòu)末端連接的兩個轉(zhuǎn)動副RRo為5個驅(qū)動副，5個驅(qū)動副驅(qū)動時其機構(gòu)的自由度為0，故輸入運動副選取正確。

2.3 消極運動副判定

設(shè)固定在動平臺上的點F的角速度矢量為ωn，線速度矢量為vn，則動平臺的運動螺旋為

(10)

將支鏈1的運動螺旋系代入式(10)中，可得

(11)

由于并聯(lián)模塊只能三維移動，所以ωn=(0，0，0)T，代入式(11)中可得

(12)

由此可以看出支鏈1的轉(zhuǎn)動副R14的轉(zhuǎn)動速度為0。同理可知，支鏈2與支鏈3的轉(zhuǎn)動副R24、R34的轉(zhuǎn)動速度為0。因此并聯(lián)模塊各支鏈與動平臺連接的轉(zhuǎn)動副在機構(gòu)發(fā)生運動時均不發(fā)生轉(zhuǎn)動,是個消極的運動副。并聯(lián)機構(gòu)3CPaRR可以簡化為完全對稱的3-CPaR機構(gòu)。

3 多向3D打印機構(gòu)的運動學(xué)分析

3.1 并聯(lián)模塊位置分析

如圖3所示，將定坐標系OXYZ設(shè)在定平臺上，動坐標系fxyz設(shè)置在動平臺的幾何中心上，動平臺長為lx，寬為ly。支鏈一中圓柱副C11的起始點位于A0，距O點距離為Dx，圓柱副C11的移動輸入為q1。支鏈二中起始點距O點距離為Dy，圓柱副C21的移動輸入為q2。支鏈三中起始點距O點距離為Dz，圓柱副C31的移動輸入為q3。設(shè)支鏈一中第一個零件AB的長度為a，平行四邊形鉸鏈中構(gòu)件BC的長度為b，零件CD的長度為c，連桿DE的距離為d，E點距離動平臺中心點f的距離為h，由于機構(gòu)具有三條相同的支鏈，故支鏈二、支鏈三具有與支鏈一相同的參數(shù)，三條支鏈中，圓柱副C11、C21與平面OXY所成

圖3 3CPaRR并聯(lián)模塊運動參數(shù)Fig.3 Kinematic parameters of 3CPaRR parallel mechanism

角度分別為θ11、θ21，平行四邊形鉸鏈Pa12、Pa22與平面OXY所成角度分別為α1、β1，圓柱副C31軸線和平行四邊形鉸鏈Pa32與平面OYZ所成角度分別為θ31、γ1。

根據(jù)圖5的幾何關(guān)系，可得動平臺中心點f的坐標。對于第一條支鏈:

f=(Dx-q1，acosθ11+(b+c)cosα1+
d，asinθ11+(b+c)sinα1+h)

(13)

對于第二條支鏈:

f=(acosθ21+(b+c)cosβ1+0.5lx，Dy-q2，
asinθ21+(b+c)sinβ1+d)

(14)

對于第三條支鏈:

f=(asinθ31+(b+c)sinγ1+d，acosθ31+
(b+c)cosγ1+0.5ly，Dz-q3)

(15)

由式(13)～式(15)可得

(16)

由此可以得到3CPaRR機構(gòu)的運動學(xué)正解為

(17)

由式(13)可以得到運動學(xué)的逆解為

(18)

3.2 串聯(lián)模塊位置分析

串聯(lián)機構(gòu)位置分析通?；贒-H方法[15]，該方法通過建立D-H參數(shù)來描述連桿間的相對關(guān)系，并將其用矩陣表示，通過連桿矩陣復(fù)合變換求解出末端的變換矩陣，建立運動方程[16]。

如圖4所示，建立各連桿的坐標系，對應(yīng)的D-H參數(shù)如表1所示。

圖4 串聯(lián)模塊坐標系分布Fig.4 Coordinate system of modules in series

關(guān)節(jié)iαi-1(°)ai-1(mm)di(mm)θi(°)29000θ23-9000θ3

將D-H坐標參數(shù)代入式(18)可以求解出連桿的齊次變換矩陣為

機構(gòu)末端相對于坐標系1的變換矩陣為

(19)

坐標系1相對于動平臺的變換矩陣為

(20)

那么機構(gòu)末端相對于并聯(lián)模塊動平臺的變換矩陣，也即串聯(lián)機構(gòu)正運動學(xué)方程為

(21)

3.3 混聯(lián)機構(gòu)位置分析

(22)

(x0,y0,z0)為并聯(lián)機構(gòu)動平臺上點f相對于靜坐標系坐標原點O的位置。T為3CPaRR&RRo混聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)正解。所以

則此混聯(lián)機構(gòu)的位置方程為

(23)

把式(16)代入式(23)中可以得到

(24)

(25)

式中,sα=sinα，cα=cosα，sβ=sinβ，cβ=cosβ，sγ=sinγ，cγ=cosγ。

將歐拉角公式和機構(gòu)的姿態(tài)方程對應(yīng)起來，可以得到：

(26)

由式(26)可以得到混聯(lián)機構(gòu)姿態(tài)ɑ、β、γ的正解為

(27)

4 混聯(lián)機構(gòu)速度分析

混聯(lián)機構(gòu)的速度為機構(gòu)位置對時間的一階導(dǎo)數(shù)，故對式(23)求導(dǎo)可得末端執(zhí)行器的線速度為

(28)

混聯(lián)機構(gòu)的角速度為機構(gòu)的姿態(tài)對時間的一階導(dǎo)數(shù)，故對式(27)求導(dǎo)可得末端執(zhí)行器的角速度為

(29)

由式(25)可得

(30)

(31)

則機構(gòu)的雅可比矩陣為

(32)

觀察發(fā)現(xiàn)式(32)為一個5×5的對角矩陣，由完全解耦定義可知當速度雅可比矩陣為對角陣時，混聯(lián)機構(gòu)的運動具有完全解耦性。

五自由度3CPaRR&RRo混聯(lián)機構(gòu)的奇異問題可以通過J矩陣的秩進行分析判斷[15]。由于此雅可比矩陣為一個5×5對角陣，故可以確定該多向3D打印機構(gòu)在工作空間內(nèi)不存在奇異位形。

5 多向3D打印機構(gòu)的運動學(xué)仿真

為了能更加直觀地反映所提出機構(gòu)為完全解耦混聯(lián)機構(gòu)，以及證明上述理論分析的正確性，對圖1所示的機構(gòu)在ADAMS軟件中進行速度仿真。設(shè)機構(gòu)并聯(lián)單元中的3個驅(qū)動副C11、C21、C31的輸入線位移方程分別為：q1=8×10-3sin2πt，q2=6×10-3sin4πt，q3=-4×10-3sin8πt(0≤t≤1 s)。

將上述輸入位移方程代入式(28)中，可得到3D打印機構(gòu)的輸出速度方程，即v1=-1.6×10-2πcos2πt，v2=-2.4×10-2πcos4πt，v3=-3.2×10-2cos8πt(0≤t≤1 s)，圖5給出了機構(gòu)末端點的線速度仿真曲線，不難看出理論推導(dǎo)出的線速度v1、v2、v3與vx、vy、vz線速度仿真曲線相一致。

圖5 末端輸出線速度仿真曲線Fig.5 Simulation curves of linear velocity of the end-effector

設(shè)串聯(lián)單元的兩個驅(qū)動副的輸入角位移方程分別為θ2=0.4sin2πt，θ3=0.2sin2πt，分別將2個輸入方程代入式(29)可得出驅(qū)動副的輸入角速度方程ω2=-0.8πcos2πt，ω3=0.4πcos2πt(0≤t≤1 s)。角速度ωy、ωz仿真曲線如圖6所示，此結(jié)果與推導(dǎo)出的輸入角速度方程ω2、ω3結(jié)果相同。

圖6 末端輸出角速度仿真曲線Fig.6 Simulation curves of angular velocity of the end-effector

上述理論分析以及運動仿真結(jié)果表明3CPaRR&RRo混聯(lián)機構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)三維移動輸入與輸出的一一對應(yīng)關(guān)系，同時該機構(gòu)末端還可以繞Y軸、Z軸轉(zhuǎn)動，用以調(diào)節(jié)機構(gòu)運動的姿態(tài)，具有精度高、運動完全解耦的優(yōu)點，因此可作為多向3D打印機的執(zhí)行機構(gòu)。

6 結(jié)論

(1) 3CPaRR&RRo混聯(lián)機構(gòu)采用了3條完全相同支鏈正交布置的并聯(lián)單元串接一個兩自由度的轉(zhuǎn)動頭，基于旋量理論，分析了3CPaRR&RRo混聯(lián)機構(gòu)末端輸出為三移兩轉(zhuǎn)五自由度的運動，通過ADAMS中Model Verify模塊得以驗證。

(2) 3CPaRR&RRo混聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動簡單，并聯(lián)模塊采用三個移動副，串聯(lián)模塊采用兩個轉(zhuǎn)動副?；贒-H法求解了機構(gòu)運動學(xué)方程，推導(dǎo)了機構(gòu)位置和姿態(tài)的正解，對其求導(dǎo)得到了機構(gòu)速度表達式。

(3) 利用運動影響系數(shù)求得3CPaRR&RRo混聯(lián)機構(gòu)速度雅可比矩陣，理論驗證了機構(gòu)的解耦性，并分析了機構(gòu)在工作空間的奇異問題。最后通過對機構(gòu)運動仿真，證明了理論分析的正確性。

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(編輯 王艷麗)

Hybrid Kinematics Mechanisms and Its Kinematic Analysis Oriented to Multi 3D Printing

ZHOU Hui1, 2DING Rui1, 2QIN Youlei1, 2CAO Yi1, 2

1.School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu, 214122 2.The Key Laboratory for Advanced Food Manufacturing Equipment Technology of Jiangsu Province,Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu, 214122

In order to solve the bottleneck problems of multi 3D printing equipment, a fully-decoupled five degree of freedom (5-DOF) HKM was presented as the actuator of 3D printing. HKM consisted of 3-CPaRR parallel module and RRoserial module, and the parallel module consisted of three identical CPaRR limb chains, it might realize three-dimensional translations, the serial module RRowas used to adjust the print head posture, improve 3D printing process step phenomenon and interference problems. Screw theory was applied to analyze the kinematic characteristics of mechanisms and to calculate the degrees of freedom of 3CPaRR&RRowhich were verified via the ADAMS software. The kinematic matrix of the hybrid mechanisms was carried out by using the D-H convention. The expression of the forward kinematics was deduced to obtain the Jacobian matrix and velocity equations, and the analysis of singularity was carried out. Moreover, simulation model was built with ADAMS, the velocities of the end-effectors of mechanisms were drawn. Thus, the validity of the theoretical analyses was proved.

multi 3D printing; hybrid kinematics mechanism(HKM); fully decoupled; screw theory; kinematics

2016-04-19

國家自然科學(xué)基金資助項目(50905075);江蘇省六大人才高峰項目(ZBZZ-012);機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室開放課題資助項目(MSV201407)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.05.001

周 輝，女，1973年生。江南大學(xué)機械工程學(xué)院講師。主要研究方向為機器人技術(shù)。發(fā)表論文30余篇。丁 銳，男，1992年生。江南大學(xué)機械工程學(xué)院碩士研究生。秦友蕾，男，1991年生。江南大學(xué)機械工程學(xué)院碩士研究生。曹 毅(通信作者)，男，1974年生。江南大學(xué)機械工程學(xué)院教授。E-mail:caoyi@jiangnan.edu.cn。