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液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的混沌預(yù)測及控制

2017-03-14 03:49劉浩然姜甲浩
中國機(jī)械工程 2017年5期
關(guān)鍵詞:控制參數(shù)液壓缸幅值

劉 彬 李 鵬 劉 飛 劉浩然 姜甲浩

1.燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院,秦皇島,0660042.燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,秦皇島,066004

液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的混沌預(yù)測及控制

劉 彬1李 鵬1劉 飛2劉浩然2姜甲浩1

1.燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院,秦皇島,0660042.燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,秦皇島,066004

針對液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的混沌問題,建立了一種液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)控制模型,通過Melnikov方法得到了液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌的臨界條件。通過仿真分析發(fā)現(xiàn),當(dāng)線性控制參數(shù)發(fā)生變化時(shí),系統(tǒng)發(fā)生混沌的臨界條件也會(huì)發(fā)生變化,同時(shí)當(dāng)線性控制參數(shù)增大時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)得到提高。

液壓缸;約束系統(tǒng);Melnikov方法;混沌;控制

0 引言

在實(shí)際液壓系統(tǒng)中,整個(gè)系統(tǒng)所有的元部件都具有非線性,只是所呈現(xiàn)的程度略有不同,因此理想的線性系統(tǒng)是不存在的。在液壓系統(tǒng)中,含有許多非線性因素,例如閥的靜態(tài)特性、死區(qū)、飽和、非線性增益、齒隙和摩擦等,所以液壓系統(tǒng)是一個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),其運(yùn)行過程中因油液的可壓縮性而形成的動(dòng)態(tài)液壓剛度、液壓剛度的非線性會(huì)使運(yùn)動(dòng)過程中系統(tǒng)的固有頻率不恒定,響應(yīng)穩(wěn)定區(qū)域變得復(fù)雜,從而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行[1-2]。

國內(nèi)外學(xué)者對液壓系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究所依據(jù)的理論多是經(jīng)典控制理論和線性動(dòng)力學(xué)理論。其中,SEO等[3]采用反饋線性化控制液壓傳動(dòng)系統(tǒng),替代真實(shí)系統(tǒng)中非線性因素,同時(shí)改善了PID控制的精度和瞬態(tài)響應(yīng)。傅曉云等[4]以某水下航行器舵機(jī)液壓伺服系統(tǒng)為研究對象,通過簡化建立了舵機(jī)液壓系統(tǒng)的線性化模型,對該液壓伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性、抗干擾能力進(jìn)行了仿真分析。文獻(xiàn)[5-7]以控制閥為研究對象,從單一元件的角度分析問題,探索了因控制閥相關(guān)參數(shù)的改變而引起的自激振動(dòng)、分岔和混沌等非線性動(dòng)力學(xué)行為[5-7]。王林鴻等[8-9]用混沌理論中的相空間重構(gòu)、關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)等非線性動(dòng)力學(xué)研究方法,對貌似隨機(jī)的液壓缸運(yùn)行的動(dòng)態(tài)時(shí)間序列信號進(jìn)行分析,揭示了其混沌振動(dòng)特征。

本文以液壓缸非線性剛度約束作用下的系統(tǒng)為研究對象,建立了一種液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)控制模型,著重研究了液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的混沌預(yù)測,同時(shí)引入線性控制參數(shù),分析了線性控制參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

1 液壓缸非線性彈簧力

本文主要考慮一類雙作用單活塞液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的振動(dòng)特性,該種液壓缸只在活塞的一側(cè)裝有活塞桿,因而兩腔的有效面積不同,往返的運(yùn)動(dòng)速度和作用力也不相等,液壓缸活塞運(yùn)動(dòng)改變了兩腔液體的有效長度,引起了液壓油的剛度變化。由于活塞桿的彈性模量是液壓油彈性模量的近百倍,故可將活塞桿視為剛體,液壓缸等效剛度主要表現(xiàn)為液壓油的剛度。其變化規(guī)律為[8]

(1)

式中,a、b為液壓缸的工況參數(shù);L為液壓缸的有效行程;βe為液壓油的體積模量;Ai為液壓缸活塞兩側(cè)的有效面積,i=1,2;L1為無桿腔的初始有效長度;x為系統(tǒng)顫振位移,為量綱一的量;Vil為閥與缸某一側(cè)之間液壓管路中液壓油的體積,i=1,2。

以式(1)所示的液壓缸動(dòng)態(tài)剛度模型為例,對其在原點(diǎn)(液壓缸處于未工作狀態(tài)時(shí)活塞的位置,即活塞的初始位置)處進(jìn)行泰勒級數(shù)展開:

(2)

式中,k1為無桿腔的等效剛度;k2為有桿腔的等效剛度。

彈簧彈性勢能U具有對稱性,可以表示為

(3)

則彈簧力可以表示為

(4)

彈簧力F1(x)可以表示為

F1(x)=κ1x+κ2x3

(5)

2 約束系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)線性控制模型

考慮一類液壓缸非線性剛度約束作用,建立一類液壓缸非線性剛度約束作用下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)控制模型,如圖1所示,其中,m為系統(tǒng)的等效質(zhì)量,c為系統(tǒng)的線性阻尼系數(shù),k為系統(tǒng)的線性剛度系數(shù),k(x)為液壓缸的非線性剛度,F(xiàn)為外激勵(lì)幅值,ηα為引入系統(tǒng)的控制輸入量,常數(shù)η為控制器輸入方向,α為控制器參數(shù)。根據(jù)廣義Lagrange原理,可以列出液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)量綱一動(dòng)力學(xué)平衡方程如下:

(6)

圖1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)控制模型Fig.1 The dynamic control model of the system

圖1所示模型中考慮一類雙作用單活塞液壓缸非線性剛度k(x)的約束作用,同時(shí)系統(tǒng)加入線性控制輸入量ηα對系統(tǒng)進(jìn)行反饋控制。

3 非線性剛度約束系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

為便于計(jì)算,將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(式(6))簡化成如下形式:

(7)

將式(7)寫為狀態(tài)方程形式:

(8)

其中,ε為一個(gè)小的量綱一參數(shù)。

當(dāng)ε=0時(shí),系統(tǒng)為一個(gè)Hamilton系統(tǒng)[10],其Hamilton量為

(9)

由無阻尼未擾動(dòng)方程

(10)

式(10)的微分形式為

(11)

可以得到系統(tǒng)的特征方程為

(12)

從而可得

(13)

由圖2可以看出:當(dāng)τ<0、κ2>0時(shí),系統(tǒng)有兩條同宿軌,同宿軌內(nèi)部的奇點(diǎn)是中心,同宿軌內(nèi)部的軌道是包圍一個(gè)中心的閉軌,而同宿軌外部的軌道是包圍三個(gè)奇點(diǎn)的閉軌。由圖3可以看出:當(dāng)τ>0、κ2>0時(shí),系統(tǒng)是一個(gè)單勢阱的系統(tǒng),系統(tǒng)只有一個(gè)平衡點(diǎn)(0,0)——中心,此時(shí)系統(tǒng)做穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng),不存在Smale馬蹄意義下的混沌。因此,本文以下內(nèi)容主要分析當(dāng)τ<0、κ2>0時(shí)系統(tǒng)存在Smale馬蹄意義下混沌的情況。

(a)勢能曲面

(b)相軌跡圖2 當(dāng)τ<0,κ2>0時(shí)系統(tǒng)的勢能曲面和相軌跡Fig.2 Potential energy surface and phase trajectory of the system when τ <0,κ2>0

(a)勢能曲面

(b)相軌跡圖3 當(dāng)τ>0,κ2>0時(shí)系統(tǒng)的勢能曲面和相軌跡Fig.3 Potential energy surface and phase trajectory of the system when τ>0,κ2>0

4 系統(tǒng)的混沌預(yù)測

(14)

所以有

(15)

(16)

通過積分可得出兩條同宿軌道關(guān)于時(shí)間的表達(dá)式:

(17)

同宿軌道對應(yīng)的Melnikov函數(shù)為

(18)

(19)

最后得到

(20)

當(dāng)M(t0)=0時(shí),可以得到

(21)

經(jīng)過化簡可以得到

(22)

混沌無處不在,無時(shí)不有,只是它的顯現(xiàn)需要條件,當(dāng)液壓系統(tǒng)超出所謂的常態(tài)時(shí),液壓系統(tǒng)漸變或突變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)。系統(tǒng)由常態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦绲呐R界值,稱為系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的臨界條件。顯然,當(dāng)式(23)成立時(shí),所考慮的擾動(dòng)系統(tǒng)具有Smale馬蹄變換意義下的混沌。據(jù)此可以計(jì)算出該系統(tǒng)發(fā)生混沌行為時(shí)的臨界參數(shù)值,進(jìn)而根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)發(fā)生混沌的臨界條件關(guān)系,預(yù)測系統(tǒng)混沌的發(fā)生。

5 仿真分析

針對式(6)液壓缸非線性剛度約束作用下系統(tǒng)量綱一動(dòng)力學(xué)平衡方程,取仿真參數(shù)m=1、c=0.3、k=0.2、κ1=-1.2、κ2=1、ω=1.2。以下對液壓缸非線性剛度約束作用下的系統(tǒng)混沌特性進(jìn)行仿真分析。

5.1 混沌預(yù)測分析

根據(jù)式(22)所示的系統(tǒng)發(fā)生混沌的臨界條件關(guān)系,在其他參數(shù)不變情況下,選取不同的控制輸入量ρ,分析系統(tǒng)混沌臨界條件的變化規(guī)律。按照式(22)所示的混沌預(yù)測條件可計(jì)算得到控制參數(shù)ρ取不同值時(shí)的混沌發(fā)生條件,如表1所示。

表1 不同控制參數(shù)下的混沌條件Tab.1 Chaotic conditions under different control parameters

當(dāng)選取不同控制參數(shù)ρ時(shí),以外激勵(lì)幅值F為分岔參數(shù),通過系統(tǒng)的分岔圖,分析不同控制參數(shù)下系統(tǒng)發(fā)生混沌的臨界條件。

從圖4~圖7可以看出,當(dāng)控制參數(shù)ρ=-0.4時(shí),系統(tǒng)分岔行為隨外激勵(lì)幅值F變化而變化。隨著外激勵(lì)幅值F的增大,系統(tǒng)的分岔行為如下:周期運(yùn)動(dòng)→陣發(fā)性混沌→倍周期運(yùn)動(dòng)→混沌運(yùn)動(dòng)。由表1可以看出,當(dāng)控制參數(shù)ρ=-0.4時(shí),計(jì)算得到系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌的外激勵(lì)幅值條件為F≥0.2527,通過將此時(shí)的系統(tǒng)分岔圖與表1對照分析可知系統(tǒng)在F≥0.2527時(shí)進(jìn)入混沌。

圖4 ρ=-0.4時(shí)的系統(tǒng)分岔圖Fig.4 System bifurcation diagram when ρ=-0.4

由圖5可以看出,當(dāng)控制參數(shù)ρ=0時(shí),系統(tǒng)分岔行為隨外激勵(lì)幅值F的變化而變化。隨著外激勵(lì)幅值F的增大,系統(tǒng)的分岔行為如下:周期運(yùn)動(dòng)→陣發(fā)性混沌→倍周期運(yùn)動(dòng)→混沌運(yùn)動(dòng)→倍周期運(yùn)動(dòng)→混沌運(yùn)動(dòng)。由表1可以看出,當(dāng)控制參數(shù)ρ=0時(shí),計(jì)算得到系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌的外激勵(lì)幅值條件為F≥0.3182,通過將此時(shí)的系統(tǒng)分岔圖與表1對照分析可知系統(tǒng)在F≥0.3182時(shí)進(jìn)入混沌。

由圖6可以看出,當(dāng)控制參數(shù)ρ=0.4時(shí),系統(tǒng)分岔行為隨外激勵(lì)幅值F變化而變化。隨著外激勵(lì)幅值F的增大,系統(tǒng)的分岔行為如下:周期運(yùn)動(dòng)→倍周期運(yùn)動(dòng)→混沌運(yùn)動(dòng)→倍周期運(yùn)動(dòng)→混沌運(yùn)動(dòng)。由表1可以看出,當(dāng)控制參數(shù)ρ=0.4時(shí),計(jì)算得到系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌的外激勵(lì)幅值條件為F≥0.3914,通過將此時(shí)的系統(tǒng)分岔圖與表1對照分析可知系統(tǒng)在F≥0.3914時(shí)進(jìn)入混沌。

圖5 ρ=0時(shí)的系統(tǒng)分岔圖Fig.5 System bifurcation diagram when ρ=0

圖6 ρ=0.4時(shí)的系統(tǒng)分岔圖Fig.6 System bifurcation diagram when ρ=0.4

結(jié)合表1的計(jì)算結(jié)果和圖4~圖6所示的分岔圖可知,隨著線性控制參數(shù)ρ的增大,系統(tǒng)發(fā)生混沌的臨界外激勵(lì)幅值F增大。

圖7 ρ變化時(shí)的分岔特性Fig.7 Bifurcation characteristic when the ρ changes

5.2 控制分析

圖7~圖10為線性控制參數(shù)ρ不同時(shí)系統(tǒng)的分岔特性圖。當(dāng)F=0.3時(shí),以線性控制參數(shù)ρ為分岔參數(shù),通過系統(tǒng)的分岔圖、相圖和Poincare截面,分析系統(tǒng)隨線性控制參數(shù)ρ變化的規(guī)律。

從圖7可以看出,當(dāng)線性控制參數(shù)ρ處于區(qū)間-0.5~1.5時(shí),隨著線性控制參數(shù)ρ的增大,系統(tǒng)的分岔行為由混沌運(yùn)動(dòng)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)。在圖8~圖10中,當(dāng)線性控制參數(shù)ρ=-0.2時(shí),系統(tǒng)Poincare截面是一些有界的離散點(diǎn)集,表明系統(tǒng)是混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)線性控制參數(shù)ρ=0.22時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期運(yùn)動(dòng),而對應(yīng)的Poincare截面為一個(gè)孤立的點(diǎn)。當(dāng)線性控制參數(shù)ρ=0.4時(shí),可看出系統(tǒng)相圖為一封閉曲線,在Poincare截面上表現(xiàn)為一孤立的點(diǎn),說明此時(shí)系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)。

(a)相圖

(b)Poincare截面圖8 ρ=-0.2時(shí)系統(tǒng)的相圖和Poincare截面Fig.8 Phase diagram and Poincare section of the system when ρ=-0.2

結(jié)合圖7~圖10的分岔圖、相圖和Poincare截面可以發(fā)現(xiàn),適當(dāng)?shù)卦龃笙到y(tǒng)的線性控制參數(shù)ρ,可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

6 結(jié)論

(1)考慮液壓缸的非線性剛度約束作用,建立了一種液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)控制模型。

(a)相圖

(b)Poincare截面圖9 ρ=0.22時(shí)系統(tǒng)的相圖和Poincare截面Fig.9 Phase diagram and Poincare section of the system when ρ=0.22

(a)相圖

(b)Poincare截面圖10 ρ=0.4時(shí)系統(tǒng)的相圖和Poincare截面Fig.10 Phase diagram and Poincare section of the system when ρ=0.4

(2)在此動(dòng)力學(xué)控制模型的基礎(chǔ)上,建立了系統(tǒng)的量綱一動(dòng)力學(xué)平衡方程,通過系統(tǒng)Melnkikov函數(shù)得到了系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌的臨界條件。仿真分析了不同線性控制參數(shù)ρ對系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌臨界條件的影響。

(3)分析了線性控制參數(shù)ρ變化下系統(tǒng)的分岔特性,得到了在一定范圍內(nèi),隨著線性控制參數(shù)ρ的增大,系統(tǒng)逐漸由混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。研究結(jié)果為這一類液壓缸非線性約束系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)控制提供了理論參考。

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(編輯 王艷麗)

Chaotic Prediction and Control of Hydraulic Cylinder Nonlinear Stiffness Constraint System

LIU Bin1LI Peng1LIU Fei2LIU Haoran2JIANG Jiahao1

1.School of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei, 066004 2.School of Information Science and Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei,066004

For the chaos of nonlinear stiffness constraint system of a hydraulic cylinder, a kind of dynamic control model of hydraulic cylinder nonlinear stiffness constraint system was established. The critical conditions of chaos in nonlinear stiffness constraint system of the hydraulic cylinder in the sense of Smale’s horseshoe transformation were obtained by Melnikov method. Through simulation analyses, it is found that when the linear control parameters are changed, the critical conditions for the occurrence of chaos in the system will also change. At the same time, the stability of the system may be improved when the linear control parameters are increased.

hydraulic cylinder; constraint system; Melnikov method; chaos; control

2016-04-19

河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(E2015203349)

TH113;O322

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.05.009

劉 彬,男,1953年生。燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)檐垯C(jī)振動(dòng)及測量技術(shù)。發(fā)表論文50余篇。E-mail:liubin@ysu.edu.cn。李 鵬,男,1990年生。燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院碩士研究生。劉 飛,男,1986年生。燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院博士研究生。劉浩然,男,1980年生。燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副教授。姜甲浩,男,1991年生。燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院碩士研究生。

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