劉琳霞，董蘊華

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原子干涉儀相對論效應的理論分析

劉琳霞，董蘊華

（河南工學院，河南 新鄉(xiāng) 453003）

利用高靈敏度的原子干涉儀開展廣義相對論效應的實驗研究，需要考慮各種相對論效應對原子干涉的影響。結合量子力學與廣義相對論，分析了原子干涉儀中的廣義相對論效應，以及相對論效應中的引磁效應。初步分析計算結果表明，在牛頓力學框架下，地球自轉引起原子的科里奧利加速度的量級為~10-4g，其相對論修正，即引磁效應的量級約為~10-13g。

原子干涉儀；相對論效應；原子波

0 引言

原子干涉儀的工作原理類似于光學干涉儀，它是利用物質波的特性來實現(xiàn)干涉的。但物質波的原子運動速度遠小于光速，其相干性較好，因此，原子干涉儀比光學干涉儀的靈敏度更高。由于其高靈敏度性，原子干涉儀在精密測量領域有廣泛的應用,如牛頓引力常數(shù)、重力加速度與轉動、導航定位等方面[1]。高精度的原子干涉儀也用來開展廣義相對論效應的實驗檢驗，包括等效原理的實驗檢驗、引力波的探測等[2]。

對于檢驗廣義相對論效應的實驗，需要考慮各種廣義相對論效應對原子干涉的影響。目前，雖然已有不少文獻分析和討論了原子干涉儀中的廣義相對論效應，但這些工作只關注某些特定的相對論效應[3]。在本文中，我們介紹了原子干涉儀廣義相對論效應及其研究方法，并結合量子力學與廣義相對論，初步分析了廣義相對論中的引磁效應對原子干涉的影響。

1 原子干涉儀的廣義相對論效應

1.1 研究現(xiàn)狀

對于原子干涉中廣義相對論效應的研究，早期的研究者有Varju小組[4]，主要是為解釋原子或中子干涉儀中的相對論效應。但是，要想全面分析原子干涉儀中與自旋相關的相對論效應，需要考慮實驗過程中激光與原子自旋的耦合效應。Wajima 和 Anandan等人分析了量子干涉儀中相對論的引力效應[5]，主要是用來估算中子干涉儀中由地球引力場的相對論修正部分帶來的干涉相移。Audretsch小組考慮了利用原子干涉儀測時空彎曲[6]，主要關注的是牛頓引力的主要階效應。Borde等人討論了物質波干涉儀與弱引力場作用的相對論相移，但方程的計算非常困難，且不能直接計算出與原子相關的廣義相對論效應。后來的Dimopoulos小組，利用廣義相對論分析了無自旋原子的干涉相移[7],他們考慮了光子與原子的相互作用，由于計算非常復雜，借助計算機平臺，給出了忽略地球自轉效應的干涉相移標量表達式。

以上對于原子干涉儀相對論效應的討論，都不是針對特定的、切實可行的實驗，而是側重于計算方法。因此，對于原子干涉儀，除了需要研究有限光速效應的分歧，還要研究適用于原子三維運動的相對論理論計算模型，來分析具體的某個實驗。

1.2 引磁效應

最近實驗證實了廣義相對論預言的引磁（時空拖曳）效應。當一個宏觀物體(尤其是大質量物體)旋轉時，會引起周圍時空的扭曲,這在形式上類似于電動力學的磁現(xiàn)象,根據(jù)廣義相對論，這種效應被稱為引力磁場（引磁）效應。引磁場可通過兩種方式影響物體的運動，一是產(chǎn)生一個作用在旋轉物體質心的引磁力，改變物體的運動軌跡[8]；二是產(chǎn)生一個力矩作用在旋轉物體上，使物體轉動軸的指向在自由落體過程中發(fā)生改變[9]。這些經(jīng)典系統(tǒng)的理論和實驗研究進展，啟發(fā)人們開始思考經(jīng)典時空背景引力場中的量子系統(tǒng)的引力效應，如原子干涉儀實驗。原子干涉儀實驗可高精度地檢驗等效原理和其他微弱的廣義相對論效應。目前對量子系統(tǒng)引磁效應的研究工作較少，初步的估計表明引磁效應對量子系統(tǒng)的影響非常微弱，因此實驗上利用量子系統(tǒng)對引磁效應進行探測也應該十分困難。

1.3 計算方法

原子干涉儀通過激光操控原子測量引力場，是非常獨特的量子系統(tǒng)。引力場既影響原子的運動，也改變著激光的相位。關于原子干涉儀相對論效應的常用計算方法是由Kasevich提出的測地線計算法[10]，這一方法通過在原子干涉相位的半經(jīng)典近似計算基礎上直接引入相對論的修正。早期原子干涉儀的實驗精度不是很高，通常采用半經(jīng)典近似法計算干涉相位，這一方法在處理原子自由演化時，將原子作為點粒子計算其經(jīng)典軌跡。

考慮相對論效應時，Kasevich將原子和光子的經(jīng)典軌跡用測地線代替，從而可以計算干涉儀的相對論效應。這種半經(jīng)典近似方法的精度一般都不高，采用測地線方程雖然包含了相對論效應，但原子畢竟不能作為點粒子，原子的演化應由量子力學描述，原子波函數(shù)的極值點可近似為經(jīng)典軌跡。高精度計算干涉儀相位的方法需采用Borde的ABCD矩陣法計算原子演化的波函數(shù)[11]。

2 引磁效應計算分析

原子干涉儀的原子波函數(shù)的演化方程為

Dirac拉氏量為

相互作用表象下的哈密頓算符為

對于低速運動的質量源，如轉動的地球，線性化場方程和洛倫茲條件進一步寫為

引磁效應源于地球的自轉，由上式初步估計，在牛頓力學中，地球自轉引起原子的科里奧利加速度的量級為~10-4g，其相對論修正，即引磁效應的量級約為~10-13g。

結合原子干涉儀的工作原理，如果要嚴格計算引磁效應產(chǎn)生的相移，其計算過程非常復雜，需要借助計算軟件對過程進行編程計算，后續(xù)研究工作正在進行。

原子干涉儀的相對論效應可分為狹義相對論效應和廣義相對論效應。在實驗檢驗方面，狹義相對論效應由光速的有限性引起，通過改變原子初速度，可直接檢驗。廣義相對論效應的主要項由引力的非線性特征引起，主要效應為牛頓引力效應，實驗探測主要采用差分測量方式。

3 結論

分析了原子干涉儀中的相對論效應和計算方法，主要計算了原子干涉儀中由地球自轉引起的引磁效應。利用彎曲時空中的協(xié)變狄拉克方程，結合原子干涉儀的工作原理，初步估算出了引磁效應的量級約為~10-13g。雖然初步計算結果表明引磁效應比較小，但對于高精度的原子干涉儀相對論實驗還是有一定的影響，需要更嚴格的計算。

（責任編輯王 磊）

[1] Borde C J. Atomic clocks and inertial sensors[J]. Metrologia.2002,39(5):435-463.

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[3] Dimopoulos S, Graham P W, Hogan J M, Kasevich M A. Testing General Relativity with Atom Interferometry[J]. Phys. Rev. Lett. 2007,98(11):111102-111105.

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Theoretical Analysis of the Relativistic Effect of Atomic Interferometer

LIU Lin-xia，et al

(Henan Institute of Technology, Xinxiang 453003, China)

The effects of generalized relativistic effects on the atomic interferometer need to be considered, by using the highly sensitive atomic interferometer to carry out the experimental study of the general relativity effect. Combination of quantum mechanics and general relativity, the generalized relativistic effect in the atomic interferometer and the magnetic effect in the relativistic effect are analyzed. The results of preliminary analysis and calculation show that，in the Newtonian mechanics, Carioles acceleration of the atom causing by the rotation of the earth is about 10-4g. The relativistic correction, namely magnetic effect magnitude is about 10-13g.

atomic interferometer; relativistic effect; atomic wave

O412

A

1008–2093(2017)05–0001–04

2017-08-28

河南省高等學校青年骨干教師資助計劃項目(2014GGJS-132)

劉琳霞（1978―），女，河南開封人，副教授，博士，主要從事引力理論和實驗研究。