蔡勇全

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.集合A=x|x≤4，x∈R，B=x|x+5x-a≤0，則“AB”是“a>4”的（ ）.

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知向量a，b滿足|a|=3，|b|=23，a⊥（a+b），則a與b的夾角為（ ）.

A.π2 B.2π3 C.3π4 D.5π6

3.對于任意的兩個數(shù)對a，b和c，d，定義運算a，bc，d=ad-bc，若1，-1z，zi=1-i，則復(fù)數(shù)z為（ ）.

A.2+i B.2-i C.i D.-i

4.公因式只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).例如：2與7，1與4互質(zhì).在1，2，3，4，5，6，7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的不同排列方式共有（ ）種.

A.576 B.720 C.864 D.1152

圖15.一個正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱）的三視圖如圖1所示，則這個正三棱柱的體積為（ ）.

A.3 B.23 C.43 D.63

6.已知函數(shù)fx=sinωx+φ（ω>0，φ<π2）的最小正周期為π，將該函數(shù)的圖象向左平移π6個單位后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)fx的圖象（ ）.

A.關(guān)于點π12，0對稱

B.關(guān)于直線x=5π12對稱

C.關(guān)于點5π12，0對稱

D.關(guān)于直線x=π12對稱

7.設(shè)直線l：mx+m-1y-1=0（m為常數(shù)），圓C：x-12+y2=4，則（ ）.

A.當(dāng)m變化時，直線l恒過定點-1，1

B.直線l與圓C有可能無公共點

C.若圓C上存在關(guān)于直線l對稱的兩點，則必有m=0

D.若直線l與圓C有兩個不同交點M，N，則線段MN的長度的最小值為23

圖28.如圖2所示的程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入a，b，i的值分別為6，8，0，則輸出a和i的值分別為（ ）.

A.0，3 B.0，4 C.2，3 D.2，4

9.設(shè)m為正整數(shù)，x+y2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，x+y2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則m=（ ）.

A.5 B.6 C.7 D.8

10.已知集合x，y|2x+y-4≤0，x+y≥0，x-y≥0表示的平面區(qū)域為Ω，若在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點Px，y，則點P的坐標(biāo)滿足不等式x2+y2≤2的概率為（ ）.

A.3π32 B.3π16 C.π32 D.π16

11.過雙曲線x2a2-y2b2=1（b>a>0）的左焦點F-c，0（c>0）作圓x2+y2=a2的切線，切點為E，延長FE交拋物線y2=4cx于點P，O為坐標(biāo)原點，若OE=12（OF+OP），則雙曲線的離心率為（ ）.

A.3+32 B.1+52 C.52 D.1+32

12.已知函數(shù)fx=x3+2bx2+cx+1有兩個極值點x1，x2，且x1∈-2，-1，x2∈1，2，則f-1的取值范圍是（ ）.

A.-32，3 B.32，6

C.3，12 D.-32，12

二、填空題：本題共4小題，每小題5分.

13.將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分為6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組的數(shù)據(jù)的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和為27，則n=___ .

14.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若c·cosB=b·cosC，且cosA=23，則sinB=____.

15.若函數(shù)fx=2x-a，x≤0，lnx，x>0有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是___.

16.已知正方形ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，且E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，B1C1的中點，則下列命題正確的是（寫出所有正確命題的序號）___.

①以正方體的頂點為頂點的三棱錐的四個面最多只有三個面是直角三角形；

②當(dāng)點P在直線FG上運動時，AP⊥DE；

③當(dāng)點Q在直線BC1上運動時，三棱錐A-D1QC的體積不變；

④若點M是平面A1B1C1D1內(nèi)到點D與到點C1距離相等的點，則點M的軌跡是一條線段.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sn=32an+n-3.

（Ⅰ）求證：數(shù)列an-1是等比數(shù)列；

（Ⅱ）令cn=log3a1-1+log3a2-1+…+log3an-1，對任意n∈N*，是否存在正整數(shù)m，使1c1+1c2+…+1cn≥m3都成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

18.（本小題滿分12分）某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”.為了了解本次競賽學(xué)生成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計.如圖3，按照50，60，60，70，70，80，80，90，90，100的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在50，60，90，100的數(shù)據(jù)）.

圖3

（Ⅰ）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；

（Ⅱ）在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上（含80分）的同學(xué)中隨機抽取3名同學(xué)到市政廣場參加環(huán)保知識宣傳的志愿者活動，設(shè)ξ表示所抽取的3名同學(xué)得分在80，90的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

圖419.（本小題滿分12分）如圖4，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于F.

（Ⅰ）求證：PA∥平面EDB；

（Ⅱ）求證：PB⊥平面EFD；

（Ⅲ）求二面角C-PB-D的大小.

20.（本小題滿分12分）已知點F1-1，0，F(xiàn)21，0，動點G滿足GF1+GF2=22.

（Ⅰ）求動點G的軌跡Ω的方程；

（Ⅱ）已知過點F2且與x軸不垂直的直線l交（Ⅰ）中的軌跡Ω于P、Q兩點.在線段OF2上是否存在點Mm，0，使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)fx=ex-ax-1（a∈R）.

（Ⅰ）求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）函數(shù)Fx=fx-xlnx在定義域內(nèi)是否存在零點？若存在，請指出有幾個零點；若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）若gx=lnex-1-lnx，當(dāng)x∈0，+∞時，不等式fgx

請考生在第22～23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知在直角坐標(biāo)系xOy中，圓錐曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ，y=3sinθ（θ為參數(shù)），定點A0，-3，F(xiàn)1，F(xiàn)2為圓錐曲線C的左、右焦點.

（Ⅰ）以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求經(jīng)過點F1且平行于直線AF2的直線l的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中直線l與圓錐曲線C交于M、N兩點，求F1M·F1N.

23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)fx=2x+2-x-2.

（Ⅰ）求不等式fx>2的解集；

（Ⅱ）若對于x∈R，fx≥t2-72t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D

8.D 9.B 10.A 11.B 12.C

二、填空題

13.60 14.306 15.0，1 16.②③④

三、解答題

17. 解 （Ⅰ）當(dāng)n=1時，S1=a1=32a1-2，解得a1=4，當(dāng)n≥2時，由Sn=32an+n-3得Sn-1=32an-1+n-4.

兩式相減，得Sn-Sn-1=32an-32an-1+1，即an=3an-1-2（n≥2），則an-1=

3an-1-1，故數(shù)列an-1是以a1-1=3為首項、3為公比的等比數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知an-1=3n，cn=log3a1-1+log3a2-1+…+log3an-1=1+2+…+n=nn+12.

所以1cn=2nn+1=21n-1n+1，則有1c1+1c2+…+1cn=

21-12+12-13+…+1n-1n+1=21-1n+1，由1c1+1c2+…+1cn≥m3對任意n∈N*都成立，得21-1n+1≥m3，即m≤61-1n+1對任意n∈N*都成立，又m∈N*，所以m的值為1，2，3.

18. 解 （Ⅰ）由題意知，樣本容量n=80.016×10=50，y=250×10=0.004，x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.04=0.030.

（Ⅱ）由題意可知，分?jǐn)?shù)在80，90有5人，分?jǐn)?shù)在90，100有2人，共7人.抽取的3名同學(xué)中得分在80，90的學(xué)生人數(shù)ξ的可能取值為1，2，3，則

Pξ=1=C15C22C37=535=17，Pξ=2=C25C12C37=2035=47，Pξ=3=C35C37=1035=27，所以ξ的分布列如下：

19.解 如圖5所示，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)DC=1.

（Ⅰ）連結(jié)AC，交BD于G，連結(jié)EG.依題意得

20. 解 （Ⅰ）由GF1+GF2=22，且F1F2<22知，動點G的軌跡是以F1-1，0，

F21，0為焦點的橢圓，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），c=a2+b2，由題知，c=1，a=2，則b2=a2-c2=2-1=1，故動點G的軌跡Ω的方程是x22+y2=1.

21. 解 （Ⅰ）由fx=ex-ax-1可得f ′x=ex-a.當(dāng)a≤0時，對任意x∈R，有f ′x>0，所以函數(shù)fx在區(qū)間-∞，+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，由f ′x>0可得x>lna，由f ′x<0可得x0時，函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間為lna，+∞，單調(diào)減區(qū)間為-∞，lna.

22.解 （Ⅰ）因為圓錐曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ，y=3sinθ（θ為參數(shù)），所以圓錐曲線C的普通方程為x24+y23=1，所以可得A0，-3，F(xiàn)1-1，0，F(xiàn)21，0，且k=3，l：y=3x+1，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=3ρcosθ+3，即2ρsinθ-π3=3.

23.解 （Ⅰ）由題意，fx=-x-4，x<-1，3x，-1≤x<2，x+4，x≥2，當(dāng)x<-1時，-x-4>2，解得x<-6，所以x<-6；當(dāng)-1≤x<2時，3x>2，解得x>23，所以232，解得x>-2，所以x≥2.綜上所述可知，不等式fx>2的解集為x|x>23或x<-6.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，fxmin=f-1=3，若對于x∈R，fx≥t2-72t恒成立，則只需fxmin=-3≥t2-72t2t2-7t+6≤0，解得32≤t≤2，所以實數(shù)t的取值范圍為[32，2]