沈曙昀，王 立，郭三敏，閆旭旭，朱家明

(1.安徽財經大學統(tǒng)計與應用數(shù)學學院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財經大學外國語學院，安徽 蚌埠 233030；3.安徽財經大學會計學院，安徽 蚌埠 233030)

基于幾何方法對太陽影子定位的研究

沈曙昀1，王 立2，郭三敏3，閆旭旭3，朱家明1

(1.安徽財經大學統(tǒng)計與應用數(shù)學學院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財經大學外國語學院，安徽 蚌埠 233030；3.安徽財經大學會計學院，安徽 蚌埠 233030)

目的 針對視頻中物體的太陽影子與軌跡變化數(shù)據，分析太陽影子變化規(guī)律并建立數(shù)學模型，確定拍攝的地點和日期。方法 (1)對已知地點、時間與影子坐標情況下的投影問題，利用相似三角形原理建立影子長度變化模型，分析影子長度的變化規(guī)律，使用壽星天文歷軟件采集數(shù)據，得到模型結果。(2)對已知時間與影子坐標情況下的投影問題，對經度與緯度進行估計分析，建立模擬Analemmatic日晷模型。利用二次擬合和太陽影子長度變化規(guī)律，使用MATLAB求解，給出太陽影子定位。(3)對未知地點、時間情況下的投影問題，使用坐標系轉換和空間向量建立地平系幾何模型，結合模擬Analemmatic日晷模型和二次擬合方法，利用MATLAB求解，得到時間與太陽影子定位的經緯度值。結果 (1)2015年10月22日北京時間9∶00～15∶00時之間天安門廣場3 m高的直桿的太陽影子長度變化曲線圖，曲線端點：9∶00，影子長度為6.59 m；15∶00，影子長度為6.70 m。曲線最低影子長度為3.58 m，此時時間為12∶13。(2)文獻[1]中直桿所在的地區(qū)為111.04 °E與4 °N以及111.04 °E 與29～35 °N范圍內，直桿可能處在中國南海、常德市、十堰市、商洛市和宜昌市。(3)文獻[1]日期為9月26日，直桿位于塔吉克斯坦；日期為1月1日，直桿位于中國南海。結論 通過分析視頻中太陽陰影軌跡的幾何屬性來進行地理位置估計計算，利用幾何關系建立3種模型，對問題進行由淺入深的分析。在3D角度和測量條件未知的情況下也可以使用上述研究方法，這使得該方法具有廣泛的應用和更大的靈活性。

太陽影子定位；模擬Analemmatic日晷模型；二次擬合；MATLAB

隨著網絡的進步，越來越多的人將自己生活的所見拍攝成視頻發(fā)布到網絡上，但多數(shù)視頻的拍攝地點和拍攝日期無法確定。于是如何確定視頻的拍攝地點和拍攝日期成為視頻數(shù)據分析的一個新的研究課題。太陽影子定位技術就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝地點和日期的一種方法[1]。目前,國內對于太陽影子定位問題的研究相對較少，而國外的研究成果較為豐富。Van Gool等人研究了陰影機型物體的模式識別[2]；Kriegman和Belhumeur[3]提出了投影物體結構與陰影之間的幾何關系；除此之外,還有對戶外相機進行校準的研究方法，例如文獻[4]和[5]陰影對于視頻理解是很重要的對象,這是因為它能提供重要的幾何線索,但是在3D 視覺應用中陰影問題沒有得到廣泛的關注。目前為止，經緯度估計的方法主要有3種類型:基于特征匹配的方法；光度測量方法；幾何測量方法。本文根據文獻[1]中所提供的數(shù)據，利用幾何方法與Analemmatic日晷投影原理來分析影子長度變化與時間和地點之間的關系，建立相關模型以實現(xiàn)太陽影子定位。

1 分析太陽影子長度變化的規(guī)律

1.1 研究思路

為了便于研究視頻中太陽影子的變化，首先給定假設： 太陽光線不受云層、地形等因素的影響，直桿延長線經過地心，假設所有數(shù)據來源科學、準確；其次，就相關知識構建空間坐標系；最后結合全國大學生數(shù)學建模競賽A題所給的數(shù)據進行擬合，可求得太陽影子長度的變化規(guī)律。

圖1 太陽光平面投影坐標圖

1.2 研究方法

在地平坐標系中(見圖1)，h為地平緯度(也稱太陽高度角)，地平線以上為正，地平線以下為負。α為地平經度(也稱方位角)。

太陽赤緯角以年為周期，用δ表示，范圍為[+23 °26′, -23 °26′]。太陽時角用ω表示，規(guī)定中天(經過當?shù)刈游缛Φ臅r間)時角為0 °，上午時角為負值，下午時角為正值，每小時時角變動為15 °[6]。

研究太陽和地球的運動一般采用地平坐標系和赤道坐標系，根據《天文算法》中坐標變換的描述[7]，計算本地地平坐標公式：

tan(a)=sin(ω)/(cos(ω)sin(φ)-tan(δ)cos(φ))

sin(h)=sin(δ)sin(φ)+cos(δ)cos(φ)cos(ω)

(1)

根據三角形邊角關系和太陽高度角的計算公式[8]，影子長度變化模型有：

(2)

其中影子長度L′=A′，φ為測量點O的緯度。

根據天文學中固定指標計算公式[9]，則有公式(3)和(4)：

(3)

ω=15(ST-12)

(4)

其中n為日期天數(shù)，ST為真太陽時，即為測量點的當?shù)貢r間。

1.3 結果分析

結合公式(2)、(3)、(4)得：太陽高度角直接決定影子的長度，當太陽高度角h越大，影子長度越短；反之影子長度越長。當δ與ω固定，φ越接近太陽直射點的緯度，影子長度越短。當φ與ω固定，δ不斷增大，影子長度減小至最短；δ不斷減小，影子長度不斷增加到最長長度。當φ與δ固定時，ω不斷增大，影子長度增加；反之影子長度減少。

根據模型求解2015年10月22日北京時間9∶00～15∶00時天安門廣場(39 °54′26′′N,116 °23′29′′E)3米高的直桿的太陽影子長度。使用壽星天文歷軟件采集北京時間9∶00～15∶00時之間對應時間點的δ、ω數(shù)值，取步長為900 s。10月22日時，n=295。已知L=3，使用Excel計算得表1：

表1 時間與影子長度變化表

使用Excel作圖，得到太陽影子長度變化曲線圖,如圖2。

圖2 太陽影子長度變化曲線圖

由圖2知，9∶00時，影子長度為6.59 m，15∶00時，影子長度為6.70 m；曲線最低影子長度為3.58 m，此時時間為12時13分。

2 基于模擬Anemmatic日晷模型太陽影子定位中經緯度的確定

2.1 研究思路

首先分別對經度與緯度進行分析，得到相關的計算公式；其次，對文獻[1]中數(shù)據進行二次擬合，利用太陽影子長度變化規(guī)律，得到最小影子長度對應的測量點時間；最后，將最小影子長度對應的測量點時間帶入公式中，利用MATLAB求解，可以給出太陽影子定位。

2.2 研究方法

1)經度計算

測量點的經度=最高太陽高度角下時間對應的時角+標準時間所對應時區(qū)的中央子午線經度。對數(shù)據進行二次擬合可以得到最小影長對應的測量點時間。測量點的經度計算公式：

γ=γ′-15(ST-T)

(5)

其中γ′為標準時間所在區(qū)間的中央子午線經度，為標準時間，此處為北京時間。

2)緯度計算

圖3 指示立桿投影

如圖3所示，建立投影日晷方位圖，指示立桿位于A點，影長為AB，交于投影日晷得時間線為AC。有OD=AG=sinω，CD=sinφcosω，指示立桿A點距O點的距離OA=DG=tanδcosφ。根據平行線等分線段定理得：

(6)

已知影子在地平坐標系上的x、y坐標，求得不同時間段影子的長度。將時間數(shù)值化，利用Excel對時間與影子長度的數(shù)值進行二次擬合，得到圖4。

圖4 時間與影子長度擬合圖

由圖4知，時間(t)與影子長度(L′)的函數(shù)式：

L′=0.1489t2-3.7519t+24.128

當L取最小值時，ST=t=12.598 7。以北京時間作為標準時間，其中央子午線位于東經120 °，4月18日正午時間T=12。由公式(4)換算后的時角公式為ω=15 °(MT-12.598 7)。利用壽星天文歷軟件取得數(shù)據，其中步長取180s。根據公式(6)，設sinφ=Z,則：

2.3 結果分析

考慮到一元二次方程aZ2+bZ+c=0的系數(shù)在變化，利用MATLAB進行編程求解，求出sinφ與φ。

結合所求的經緯度，在地圖上對求得的經緯范圍進行劃分。根據谷歌地圖定位的范圍圈定，得到1個區(qū)域和4個可能區(qū)域，分別為中國南海、常德市、十堰市、商洛市和宜昌市。

3 基于地平系幾何模型對未知時間情況下的影子定位

3.1 研究思路

首先，結合空間向量與地平系幾何模型，利用幾何分析方法對未知時間下的太陽影子變化問題建立影子定位模型；其次，對文獻[1]中相關數(shù)據進行二次擬合，得到最小影長對應的測量點時間；最后，結合模擬Anemmatic日晷模型，利用MATLAB求解[10]，可以給出時間與太陽影子定位的經緯度值。

3.2 研究方法

表2 z值及對其應的地理緯度φ數(shù)值表

圖5 地平坐標系幾何模型圖

地平坐標系幾何模型：地平坐標系的地平面原點是觀察者所處的位置，指示立桿和太陽的坐標都轉換為地平坐標系，進而利用日晷投影的原理求出指示立桿的經緯度和測量日期。

(7)

(8)

由附件2和附件3的影子在地平坐標系上的x、y坐標，利用勾股定理求得不同時間段影子的長度。將時間數(shù)值化，利用Excel對時間與影子長度的數(shù)值進行二次趨勢擬合，得到圖6。

由圖6知，時間(t)與影子長度(L′)的函數(shù)式為：

L′=0.0981t2-2.985t+23.319

圖6 擬合曲線

當L′取最小值時,t=15.2141，L′=0.6120。以北京時間作為標準時間，其中央子午線位于東經120 °，即T=12。利用公式(5)計算得γ′=71.79E。根據時角公式，可得測量地時角公式為：

ω=15°(ST-15.2141)

利用Excel求得原數(shù)據中每個時刻的時角ω，cosω都趨近于1，所以把公式(7)簡化：

3.3 結果分析

同理，對附件3中數(shù)據進行二次擬合，得到時間(t)與影子長度(L′)的函數(shù)式：

L′=0.2964t2-7.5507t+51.564

當L′取最小值時，ST=t=12.7373，L′=3.4760。L=12，γ=108.94E。當L取4 m，日期為1月1日，利用谷歌地圖可查(1 °N，108.94E)，處于中國南海區(qū)域。

4 結束語

本文的主要研究工作是通過分析視頻中太陽陰影軌跡的幾何屬性來進行地理位置估計計算，利用幾何關系建立3種模型，分別對已知時間與地區(qū)條件下影子長度變化問題、已知時間與影子長度變化條件下地區(qū)分布問題和已知影子長度變化下地區(qū)與時間確認問題，進行了由淺入深的分析，得到較為準確的結果。在3D角度和測量條件未知的情況下也可以使用本文的研究方法，這使得本文的方法具有廣泛的應用和更大的靈活性。但是由于較多涉及到幾何處理與公式轉化，模型計算量較大，若處理不當，會使得計算誤差較大。同時需注意，北京時間與北京本地時間是不同的兩個概念。上述研究方法經過適當修改，可以運用到天文、地理方面的定位問題。為實際測量太陽影子(不僅局限于桿的影子)的問題提供了一個較為科學的方法，在地理測繪中可以發(fā)揮了一定的作用。參考文獻：

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[12]劉來福,何青,彭芳麟,等.用Maple和MATLAB解決科學計算問題[M].北京：高等教育出版社，1999：318-321.

[13]百度文庫,探究如何用影子的長度和身高計算緯度[EB/OL].http://wenku.baidu.com/view/e4db2a14af1ffc4fff47ac67.html.2015.

[責任編輯：劉守義 英文編輯：劉彥哲]

Solar Shadow Positioning Based on Geometric Techniques

SHEN Shu-yun1,WANG Li2,GUO San-min3,YAN Xu-xu3,ZHU Jia-min1

(1.School of Statistics and Applied Mathematics, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu,Anhui 233030, China；2.School of Foreign Languages,Anhui University of Finance and Economics,Bengbu,Anhui 233030,China； 3.School of Accountancy,Anhui University of Finance and Economics,Bengbu,Anhui 233030,China)

Objective In view of the sun’s shadow and track changing of data of the object in the video,the changing rule of the sun’s shadow was analyzed and the mathematical model was established to determine the filming location and date.Methods (1)For a projection problem with known location,time and shadow coordinates,by using similar triangle principle to establish a change model of shadow length,the variation of the shadow length was analyzed,and the model results were obtained from data acquired by using the software-the longevity of the astronomy and calendar;(2)For the projection problem with known time and shadow coordinates,by evaluating the longitude and latitude,the sundial model of simulated Analemmatic was establish.By using the quadratic fitting,variation of sun shadow length and the MATLAB,the positioning coordinates of sun shadow were obtained.(3)For the projection problem with unknown location and time,by using coordinate transformation and space vector to establish horizon line geometric model,combining analog of Analemmatic sundials model with quadratic curve fitting method,and using MATLAB,the time and longitude and latitude values of the sun shadow position were obtained.Results (1)Between 9∶00-15∶00 of October 22,2015 Beijing time,the sun’s shadow length variation curve,and the curve ends of the 3-meter-high straight rod on Tiananmen Square were:on 9∶00,the shadow length was 6.59 m; on 15∶00,shadow lengths 6.70 m; on 12∶13 the curve for the lowest shadow lengths was 3.58 m. (2) In literature [1] the straight rod was located in the area between 111.04°E,4°N and 111.04°E,29°-35°N,and the straight rod might be in the South China Sea,Changde city,Shiyan city,Shangluo city and Yichang city.(3)In literature [1],on September 26,the straight rod was located in Tajikistan;on January 1,the straight rod was located in the South China Sea.Conclusions By analyzing the geometric properties of the sun shadow track in video to estimate location,three models were established by using the geometric relationship,and the problem was gradually analyzed.The research method of this paper applies to the condition with unknown 3D angle and measurement,which allows the method to have wide application and greater flexibility.

solar shadow positioning;sundial model of simulated Analemmatic;quadratic fitting;MATLAB

國家自然科學基金項目(11301001)；安徽財經大學教研項目(acjyzd201429)

沈曙昀(1996-)，女,安徽合肥人，安徽財經大學統(tǒng)計與應用數(shù)學學院在讀學生，研究方向:應用統(tǒng)計學。

朱家明(1973-)，安徽泗縣人，副教授，碩士，研究方向：應用數(shù)學與建模。

O 242

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.01.005

來稿日期：2016.05.11