王紹菊 張學(xué)艷 朱鏡紅 張芳芳 姚 斌

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650500)

水柱法模擬平拋運(yùn)動中粘滯力對水流初速度的影響及修正

王紹菊 張學(xué)艷 朱鏡紅 張芳芳 姚 斌

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650500)

利用水平噴出的細(xì)水柱可直觀地顯示平拋運(yùn)動軌跡，實(shí)驗(yàn)簡單，可操作性強(qiáng).現(xiàn)有的模擬實(shí)驗(yàn)通常忽略了空氣阻力和粘滯力對水柱模擬平拋運(yùn)動中的影響.在分析空氣阻力和粘滯力理論的基礎(chǔ)上，通過對水柱平拋實(shí)驗(yàn)的測量和計(jì)算，獲得了粘滯力對水流初速度的影響，并求出了粘滯力影響的修正函數(shù).

平拋運(yùn)動 水柱法 粘滯力 修正函數(shù)

利用水柱模擬平拋運(yùn)動的方法，能一次性描繪出平拋物體的運(yùn)動軌跡，并能求得平拋物體運(yùn)動的初速度，完全滿足教材中“研究平拋運(yùn)動”實(shí)驗(yàn)的要求[1].在該類實(shí)驗(yàn)中，水從容器的出水口流出之前，由于流體之間以及水與容器之間的相對運(yùn)動，將受到粘滯力[2]的作用，造成實(shí)驗(yàn)中的初速度與理論上的初速度有所偏差.為了說明粘滯力對平拋運(yùn)動中初速度的影響，本文將從理論分析和實(shí)驗(yàn)分析的角度，比較水柱模擬平拋運(yùn)動中實(shí)驗(yàn)獲得的出水初速度與無粘滯力情況下的理論初速度，獲得相應(yīng)的修正值和修正公式，為利用水柱模擬平拋運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)分析提供理論參考.

1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示.在容器下部開一小孔B，小孔B的線度與容器內(nèi)水表面A至小孔所處深度h相比很小，且容器橫截面積較大，水在從小孔流出的過程中h幾乎保持不變，因此可認(rèn)為，在實(shí)驗(yàn)過程中從小孔B流出的初速度不變.

圖1 實(shí)驗(yàn)原理圖

2 理論分析

2.1 空氣阻力的影響分析

實(shí)驗(yàn)中水自孔口B流出，將受到重力和空氣阻力的作用.由于水流出孔口B之后以水柱的形狀在空中形成平拋軌跡，因此可把水柱看作很多個(gè)水滴所組成.于是，利用斯托克斯定律[3]可求出水滴所受的空氣阻力為

f=6πηvr=1.024×10-6N

(1)

其中η=1.81×10-5Pa·s(實(shí)驗(yàn)時(shí)環(huán)境溫度20 ℃下的空氣粘滯系數(shù))，v為實(shí)驗(yàn)中水滴的運(yùn)動速度(最大為3 m/s)，r=0.001 m(水滴的半徑).而水滴所受重力G為

(2)

其中ρ為水的密度1×103kg·m-3，g=10 m/s2.由此可得，水滴在空氣中受到的最大空氣阻力僅為水滴重力的2.4%.因此，在本實(shí)驗(yàn)中，空氣阻力對于水柱的影響可以忽略不計(jì)，則水流出孔口B之后的運(yùn)動可看作平拋運(yùn)動.

2.2 粘滯力的影響分析

當(dāng)將水看成理想流體時(shí)，則水流動過程中將不受粘滯力的影響，運(yùn)用伯努利方程[4]

(3)

(p0為大氣壓，v理為小孔B處的出口速度)求出在深度為h的開孔處水流初速度理論值為

(4)

而在實(shí)際中，水從孔口B流出之前，由于流體之間的相對運(yùn)動以及流體相對于容器的運(yùn)動，水將受到粘滯力的作用，造成從孔口B流出的流速v測小于看作理想流體時(shí)的流速v理，將這個(gè)差值記為Δv=v理-v測.這個(gè)差值Δv即反映了水從孔口B流出之前受粘滯力的影響情況.

3 實(shí)驗(yàn)方法及數(shù)據(jù)處理

本文基于流體連續(xù)性的特點(diǎn)用水代替金屬小球，用水柱模擬平拋物體運(yùn)動，通過自制設(shè)備進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，如圖1所示，水從B孔流出做平拋運(yùn)動，使用平面鏡將水柱模擬的拋物軌跡投影到描圖板上.待拋出的軌跡穩(wěn)定后迅速用鉛筆在坐標(biāo)紙上沿著投影軌跡描圖.該實(shí)驗(yàn)采用控制變量法，保證開孔大小及水密度不變的情況下，進(jìn)行深度分別為5，7，9，10，12，14，16，17，18，20 cm的拋物軌跡描繪及初速度計(jì)算.

由于不能確定水滴在出口時(shí)在曲線中的位置，也就是說不能確定豎直方向初速度為零的點(diǎn)，因此在數(shù)據(jù)處理時(shí)，不能運(yùn)用自由落體方程求解，則本文采用了殘缺軌跡[5]求平拋運(yùn)動的初速度的方法，原理如圖2所示.

圖2 出口速度計(jì)算原理圖

在曲線上任取兩點(diǎn)A和B，則可列出相應(yīng)的軌跡方程

(5)

則平拋運(yùn)動的初速度可得

(6)

表1 出口初速度的測量值

注：上表數(shù)據(jù)計(jì)算中g(shù)=10 m/s2.

不同深度對應(yīng)的出口初速度理論值可通過式(4)計(jì)算得出，如表2所示.

表2 出口初速度的理論值

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，初速度的理論值和實(shí)驗(yàn)值之間確實(shí)有較明顯的差值，在空氣阻力忽略的情況下，水受到的粘滯力即為影響該差值的原因，差值Δv=v理-v測，為了更直觀地表明粘滯力對實(shí)驗(yàn)的影響，本文作了Δv-h的關(guān)系研究，相關(guān)數(shù)據(jù)如表3所示.

表3 Δv-h修正數(shù)據(jù)

將Δv-h在5～20 cm范圍內(nèi)進(jìn)行了曲線擬合，如圖3所示.

圖3 Δv-h擬合曲線

4 結(jié)論

本文結(jié)合理論分析和實(shí)驗(yàn)分析，得出在忽略空氣阻力的情況下，粘滯力對孔口B處水流速度的影響.實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，在開孔深度h為5 cm～20 cm范圍內(nèi)，h越小，實(shí)驗(yàn)中孔口B處的水流速度受粘滯力的影響越大.究其原因是由于當(dāng)h越小時(shí)，水流元在出口處停留的時(shí)間就越長，因此所受粘滯力的影響就越大.分析圖3中的擬合曲線，可利用反比例函數(shù)描述粘滯力的影響，因此可得

對于本實(shí)驗(yàn)裝置，通過擬合曲線可求出各常數(shù)分別為a=1.506，b=-0.872 9，c=0.746 7.

1 張大昌.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修2．北京：人民教育出版社，2004

2 章梓雄,董曾南.粘性流體力學(xué).北京：清華大學(xué)出版社，2011

3 劉鶴年.流體力學(xué)(第2版).北京：中國建筑工業(yè)出版社，2004

4 靳鐵良.伯努利方程及其簡單推導(dǎo).內(nèi)江科技，2004, 25(6)：74～78

5 蔣守培.由殘缺軌跡求平拋運(yùn)動的初速度.物理教師，2012(1)：33～34

6 羅憧乾.流體力學(xué).北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2000

7 潘路.對“水的平拋”的幾點(diǎn)釋疑.物理教師，2010，31(11)：38～40

8 羅春焱，羅德剛，李偉.有關(guān)平拋運(yùn)動實(shí)驗(yàn)中測初速度方法的探究式教學(xué)與反思.物理教師，2014(5)：26～27

王紹菊(1992- )，女，碩士研究生，主要從事物理教學(xué)研究.

姚斌(1980- )，男，博士，副教授，主要從事大學(xué)物理教學(xué)研究和電磁理論研究.

2016-10-10)