唐雪芳

[摘要]數(shù)學(xué)概念是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基石，具有抽象性、多元性、層次性、系統(tǒng)性等諸多特性。在學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中，我們既要遵循數(shù)學(xué)概念本體的特質(zhì)，也要研究學(xué)生獲得概念的學(xué)習(xí)心理。在教學(xué)中，教師要探析概念的形成過(guò)程，發(fā)掘概念的內(nèi)涵和外延，引領(lǐng)學(xué)生深刻把握概念間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生靈活運(yùn)用概念去解決問(wèn)題。由此。讓學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)抽象概念的“精準(zhǔn)化建構(gòu)”！

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué)概念：概念獲得：精準(zhǔn)化建構(gòu)

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)科教學(xué)中。數(shù)學(xué)概念具有基礎(chǔ)性、先導(dǎo)性。它既是數(shù)學(xué)知識(shí)的基本單元。同時(shí)也是學(xué)生展開數(shù)學(xué)思維的基本單位。在教學(xué)中。教師必須把握數(shù)學(xué)概念的特質(zhì)。研究學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念的基本方式。探尋學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行“精準(zhǔn)化建構(gòu)”的策略。

高中數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵及其特質(zhì)

高中數(shù)學(xué)概念是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、規(guī)律等形成的具有本質(zhì)意義的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)概念建基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。其形成依賴于學(xué)生的自主性、合作性、探究性的數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等。

1.數(shù)學(xué)概念的“過(guò)程性”特質(zhì)

高中數(shù)學(xué)概念兼具“過(guò)程屬性”和“對(duì)象屬性”。即高中數(shù)學(xué)的概念既表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)的活動(dòng)、數(shù)學(xué)的操作過(guò)程。又可以凝聚為特定的思維對(duì)象、建構(gòu)對(duì)象。例如，“橢圓”概念既表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)諸如天體行星、衛(wèi)星運(yùn)行軌道的認(rèn)識(shí)。對(duì)畫橢圓實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程的理解。同時(shí)更表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)“橢圓”概念的本質(zhì)理解——“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”。對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程的感悟。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中。如果我們將數(shù)學(xué)概念看作一個(gè)探究過(guò)程意味著數(shù)學(xué)概念的意義是動(dòng)態(tài)的：將數(shù)學(xué)概念看成對(duì)象則意味著數(shù)學(xué)概念具有鮮明的本質(zhì)屬性！

2.數(shù)學(xué)概念的“表象性”特質(zhì)

高中數(shù)學(xué)概念具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和廣博的數(shù)學(xué)外延。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中往往依賴于概念表象來(lái)進(jìn)行思維。例如?！皵?shù)列”的概念在教學(xué)時(shí)為了讓學(xué)生直觀感受到“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”（見(jiàn)蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修5第二章）。教師必須充實(shí)教材中的素材。讓學(xué)生觀察、比較。獲得“等差數(shù)列”和“等比數(shù)列”的表象支撐。豐富、鮮活的概念表象讓高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)不再是“抽象化”定義，而是一系列形象化、操作化的具體確證與表征。

3.數(shù)學(xué)概念的“系統(tǒng)性”特質(zhì)

高中數(shù)學(xué)概念是彼此關(guān)聯(lián)的。由此形成了數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)密體系及豐富的數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)。在教學(xué)中。教師要善于從系統(tǒng)的角度去引導(dǎo)學(xué)生研究概念。讓學(xué)生織成“概念網(wǎng)”。例如?！皬?fù)數(shù)”概念是非常抽象的。很多學(xué)生沒(méi)有精準(zhǔn)把握。究其根本是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)“數(shù)系擴(kuò)充史”沒(méi)有把握。在教學(xué)中。筆者用“若x²=-1。求x的值”這一習(xí)題喚醒學(xué)生對(duì)“復(fù)數(shù)”的認(rèn)知——“復(fù)數(shù)”概念并不高深。只是“數(shù)集”發(fā)展到一定歷史階段的必然_在高中數(shù)學(xué)中。存在著許多相互關(guān)聯(lián)的概念。如空間角和平面角。平行向量和平行線段，方程與不等式，映射與函數(shù)。等等。

高中數(shù)學(xué)概念的“精準(zhǔn)化建構(gòu)”

高中數(shù)學(xué)概念的“精準(zhǔn)化建構(gòu)”指學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延進(jìn)行深度探尋、精細(xì)加工。如果學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的獲得僅停留在死記硬背的基礎(chǔ)上，那么學(xué)生將難以形成強(qiáng)的遷移能力。由此常常導(dǎo)致概念的生搬硬套、機(jī)械運(yùn)用或運(yùn)用不當(dāng)?shù)?。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的“精準(zhǔn)化建構(gòu)”要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵、外延、限制條件、肯定例證、否定例證等有著精準(zhǔn)的把握。

1.展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程

在高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中。許多教師采用“效率高”的“告訴式教學(xué)”。讓學(xué)生占有而不是理解概念。其實(shí)。學(xué)生不是一張白紙，學(xué)生生活中的數(shù)學(xué)感悟、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“先在概念”都能在學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)新概念時(shí)被有效激活。例如。許多學(xué)生對(duì)“橢圓的第二定義”感到費(fèi)解。教材上的“第二定義”也顯得比較突兀。教學(xué)時(shí)。筆者從橢圓的第一定義的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)。引領(lǐng)學(xué)生自己進(jìn)行公式推導(dǎo)。將橢圓的第二定義建立在標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)之上。讓學(xué)生觀察第二定義中方程的幾何特征。思考方程式中的分子代表什么。分母代表什么。由此學(xué)生自然理解了橢圓的第二定義不僅如此。學(xué)生深刻領(lǐng)悟到橢圓的第一定義與第二定義在本質(zhì)上是一致的。在后續(xù)學(xué)習(xí)中。如學(xué)習(xí)“雙曲線”時(shí)。學(xué)生也能實(shí)現(xiàn)方法上的遷移。自己推理出第二定義的方程式。進(jìn)而深刻理解雙曲線的第二定義。

高中數(shù)學(xué)概念是人類理論和實(shí)踐智慧的結(jié)晶。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中。必須引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的“數(shù)學(xué)化”過(guò)程。展現(xiàn)抽象概念、定義從無(wú)到有，由粗疏到精密的演變過(guò)程。讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的概念不僅僅“知其然”。更“知其所以然”。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知方式、數(shù)學(xué)思維方式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等。

2.對(duì)接學(xué)生的“概念系統(tǒng)”

通常情況下。學(xué)生面對(duì)嶄新的數(shù)學(xué)概念時(shí)都能調(diào)動(dòng)起自我的數(shù)學(xué)“前位概念”。對(duì)新概念進(jìn)行理性思辨。在這個(gè)意義上。學(xué)生的概念學(xué)習(xí)過(guò)程可以認(rèn)為是學(xué)生概念系統(tǒng)不斷擴(kuò)張、不斷修正的過(guò)程。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)條件讓學(xué)生的“前位概念”與“新概念”之間進(jìn)行同化與順應(yīng)。例如。“函數(shù)”概念在初中數(shù)學(xué)已經(jīng)有所研究。在高中數(shù)學(xué)還要研究在初中數(shù)學(xué)中，我們是從變化的、運(yùn)動(dòng)的視角去研究函數(shù)的。即對(duì)于自變量任取一個(gè)數(shù)值，都有一個(gè)函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)。而高中數(shù)學(xué)則是從集合、對(duì)應(yīng)的視角去研究函數(shù)的。即是將“原象集合”中的元素與“象集合”中的元素對(duì)應(yīng)起來(lái)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)。要將“函數(shù)概念”對(duì)接學(xué)生已有的“函數(shù)概念”。同時(shí)又必須提升和發(fā)展。即用圖像、公式、表格等表征函數(shù)的方式轉(zhuǎn)向用數(shù)學(xué)的抽象語(yǔ)言描述函數(shù)的本質(zhì)特征。對(duì)函數(shù)概念、特征（如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等）的理解學(xué)生要經(jīng)歷一個(gè)“概念同化”與“概念順應(yīng)”的過(guò)程。

3.對(duì)抽象概念進(jìn)行“意義賦予”

高中數(shù)學(xué)概念是抽象的。教學(xué)中需要聯(lián)系學(xué)生可理解的概念和學(xué)生生活中的事件原型等。幫助學(xué)生理解概念。這是一個(gè)對(duì)抽象概念進(jìn)行“意義賦予”的過(guò)程。如“函數(shù)”概念的講解可以聯(lián)系學(xué)生熟悉的數(shù)量關(guān)系。如行程問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系、氣溫變化中的函數(shù)關(guān)系、生產(chǎn)中的函數(shù)關(guān)系等。讓抽象的概念具體化。又如“指數(shù)函數(shù)”的引入。可以讓學(xué)生操作折紙，當(dāng)學(xué)生對(duì)折到7、8次時(shí)就無(wú)能為力了，這時(shí)可以讓學(xué)生思考：一張厚度為0.1毫米的紙張對(duì)折30次有多厚呢。如此。學(xué)生不但理解了指數(shù)函數(shù)的內(nèi)涵。還感受到了指數(shù)增長(zhǎng)的速度。體驗(yàn)到“指數(shù)爆炸”的威力?！耙饬x賦予”是對(duì)抽象概念的形象化揭示。對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行“意義賦予”能為學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念提供有力支撐。

4.在“概念結(jié)構(gòu)”中凸顯本質(zhì)內(nèi)涵

瑞士心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為。“數(shù)學(xué)是對(duì)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建而建立起來(lái)的”。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中。教師可以從數(shù)學(xué)概念的因果關(guān)系、屬種關(guān)系出發(fā)，在“概念結(jié)構(gòu)”中讓學(xué)生形成本質(zhì)化的理解和認(rèn)識(shí)。例如。教學(xué)“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”。教材上只是給出“指數(shù)冪”的定義。學(xué)生不理解其必要性和作用。為此，在教學(xué)時(shí)，筆者讓學(xué)生系統(tǒng)回顧了各種運(yùn)算的必要性：如乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算：乘方是乘法的簡(jiǎn)便運(yùn)算：為了將加減法統(tǒng)一為加法，我們引入了“相反數(shù)”的概念：為了將乘除法統(tǒng)一為乘法。我們引入了“倒數(shù)”的概念。由此，為了統(tǒng)一乘方和開方，我們引入了“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”的概念。教師對(duì)相關(guān)、類似的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行“集約處理”。有助于學(xué)生理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵和概念間的相互關(guān)聯(lián)。如此增進(jìn)了概念的“生成力”。

高中數(shù)學(xué)概念是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基石，具有過(guò)程性、抽象性、系統(tǒng)性等諸多特性。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解是由膚淺到深刻、由淺表到本質(zhì)的過(guò)程。高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)建基于學(xué)生的“生活理解”。發(fā)展于學(xué)生的“過(guò)程探究”。提升于概念的“集約結(jié)構(gòu)”。在這個(gè)過(guò)程中。要讓學(xué)生深刻體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的創(chuàng)造性、再生性。理解數(shù)學(xué)概念的豐蘊(yùn)意義。演繹出數(shù)學(xué)概念的生動(dòng)發(fā)展歷程！