寇劍鋒，徐 緋，馮 威

（西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，陜西西安710072）

基于應(yīng)變能法的單搭接螺栓剪切模型＊

寇劍鋒，徐 緋，馮 威

（西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，陜西西安710072）

為了簡化復(fù)雜結(jié)構(gòu)在沖擊數(shù)值分析中的大量螺栓連接，可用等效的載荷位移模型代替復(fù)雜的螺栓連接關(guān)系，本文中針對單搭接螺栓連接在剪切載荷下建立了連接本構(gòu)關(guān)系。首先通過對有預(yù)緊力的單搭接螺栓進(jìn)行實驗和精細(xì)有限元模擬，揭示了螺栓剪切載荷位移曲線的特征并針對不同特征階段進(jìn)行了相應(yīng)的物理機(jī)理分析。在此基礎(chǔ)上對于載荷位移曲線的界面黏結(jié)、部分滑移、整體滑移階段提出了連接本構(gòu)模型的基本形式和各階段的參數(shù)估算方法。在部分滑移階段考慮了4個方面的剛度貢獻(xiàn)，其中部件對螺栓的支撐剛度是三維非軸對稱變形問題，理論求解非常困難，本文中通過應(yīng)力分布研究，采用應(yīng)變能法解決了螺栓的支撐剛度的估算問題。提出的單搭接螺栓剪切模型物理含義明確，參數(shù)估算簡單，準(zhǔn)確度高。

固體力學(xué)；剪切剛度；本構(gòu)模型；螺栓連接；應(yīng)變能

在結(jié)構(gòu)裝配中，螺栓是最常見的連接方式之一，在大型結(jié)構(gòu)的沖擊數(shù)值分析中，由于螺栓和螺栓孔在尺度上通常與被連接結(jié)構(gòu)相差較大，全面精細(xì)建模復(fù)雜，計算工作量大，所以實際工程計算中需要對連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化［1－3］。目前，常采用彈簧或者梁單元簡化螺栓連接，這種簡化一方面不能準(zhǔn)確地描述螺栓的復(fù)雜連接行為，另一方面這些彈簧或者梁單元的剛度也無法準(zhǔn)確給出，這種簡化的處理方法還不能計及螺栓預(yù)緊力與摩擦力的影響，而研究資料顯示預(yù)緊力和摩擦力與連接剛度密切相關(guān)［4］。因此，為了在大型結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析中既經(jīng)濟(jì)又準(zhǔn)確描述螺栓行為，需要建立連接結(jié)構(gòu)的連接本構(gòu)模型。

雖然螺栓連接無處不在，但以往的文獻(xiàn)對螺栓連接關(guān)系，即載荷位移曲線變化的物理機(jī)理研究不足［5］。特別是螺栓在剪切載荷作用下的接觸和連接是復(fù)雜的多尺度非線性問題，不同的外力作用下螺栓的載荷傳遞形式有很大差異。小載荷下振動問題的載荷傳遞通常是在螺栓預(yù)緊力作用下，被連接的兩個部件之間的微觀界面摩擦傳遞，在這個過程中界面產(chǎn)生微滑移，數(shù)值模擬中常用彈簧阻尼模型［6－7］描述連接關(guān)系。桑迪國家實驗室基于微滑移／微摩擦理論得到簡潔的四參數(shù)的Iwan模型［8］，主要關(guān)注部件相互間界面的能量耗散；H.Tian等［9］、黃開放等［10］通過假設(shè)微球體接觸表面，計算得到了界面的剛度，但模型參數(shù)的給出較為困難。隨著載荷的增加，部件相互間的界面發(fā)生了宏觀滑移，但兩個部件分別與螺母之間的界面保持黏結(jié)，載荷主要通過螺母與部件之間的界面和螺桿的彎曲變形傳遞，這方面研究較匱乏。隨著載荷的繼續(xù)增加，載荷主要通過螺桿的剪切變形傳遞直至材料失效破壞，這個過程研究人員多關(guān)注大載荷下螺栓連接的失效模式以及極限載荷，這方面研究資料很多［5，11］，而對連接剛度較少提及。綜合發(fā)現(xiàn)螺栓連接在部件相互間的界面發(fā)生宏觀滑移后到螺桿與螺孔壁完全接觸前的載荷傳遞與變形狀態(tài)基本沒有文獻(xiàn)進(jìn)行討論。

對工程實際中火箭導(dǎo)彈等結(jié)構(gòu)，在受到?jīng)_擊載荷的作用下，需要分析沖擊產(chǎn)生的應(yīng)力波對其中精密部件的影響［12］。例如，火箭飛行達(dá)到一定高度后的整流罩解鎖分離，分離動載荷經(jīng)過含連接的結(jié)構(gòu)傳遞，有時會使得精密部件如剪斷鎖緊彈射筒和兩半罩的鎖緊銷提前斷裂，導(dǎo)致彈射筒無法正常起爆［13］。還有研究發(fā)現(xiàn)應(yīng)力波的傳播特性與螺栓的連接關(guān)系及其連接剛度密切相關(guān)，是否考慮螺栓的連接剛度，會使應(yīng)力波傳播問題中計算和實驗在結(jié)構(gòu)相同監(jiān)測點的最大加速度相差25%以上［1，14］。由于螺栓連接的非線性，不同載荷階段對應(yīng)不同的載荷傳遞形式，相應(yīng)的連接剛度也會發(fā)生變化，所以在數(shù)值分析中需要給出螺栓連接從低載荷到較高載荷過程中的本構(gòu)關(guān)系。

對于上述問題，本文中采用實驗和數(shù)值模擬相結(jié)合的分析手段，研究單搭接螺栓連接結(jié)構(gòu)在受剪過程中的變形機(jī)理，在此基礎(chǔ)上得到本構(gòu)模型的基本形式，對連接剛度進(jìn)行詳細(xì)的理論推導(dǎo)，給出了本構(gòu)模型各階段的參數(shù)確定方法，最后針對不同結(jié)構(gòu)與材料參數(shù)對本文建立的單搭接螺栓剪切本構(gòu)模型及其參數(shù)進(jìn)行了數(shù)值驗證。

1 螺栓連接剪切變形機(jī)理

首先對螺栓連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行了實驗研究。實驗件設(shè)計如圖1所示，部件為45鋼，在連接區(qū)的厚度為6mm，表面粗糙度為1.6μm，用8.8級M4的螺栓連接，對螺栓施加3.0N·m的預(yù)緊力矩。實驗用電子萬能試驗機(jī)夾持住實驗件兩端夾持區(qū)并拉伸，由試驗機(jī)的力傳感器得到載荷，由引伸計測量得到兩個部件的相對位移。同時建立與實驗相同邊界與載荷條件的精細(xì)有限元模型，模型采用六面體實體單元，上下兩個部件之間的界面設(shè)置0.2的摩擦因數(shù)，上下部件分別與螺母之間的界面設(shè)置0.1的摩擦因數(shù)，對螺栓施加通過《機(jī)械設(shè)計手冊》查得3.0N·m預(yù)緊力矩下約為4kN預(yù)緊力，在模型一端夾持區(qū)約束，另外一端夾持區(qū)施加位移載荷，通過有限元結(jié)果分析界面相互作用情況。

實驗載荷位移曲線如圖2所示，隨著載荷增加，曲線斜率發(fā)生幾次明顯的變化。發(fā)生變化的原因難以直接通過實驗分析，為此我們利用有限元仿真計算研究曲線斜率變化的原因。通過螺栓連接安裝和受力過程的有限元仿真計算得到了載荷位移曲線，如圖2所示，與實驗曲線吻合較好。根據(jù)有限元計算的載荷位移曲線斜率可將曲線分為4個階段，每個階段的界面接觸狀態(tài)分別如圖3（a）～（d）所示。每階段的分圖中，左邊表示部件間的界面，右邊表示螺母與上部件間的界面，螺母與下部件的界面與其對稱，紅色表示界面沒有發(fā)生滑移，綠色表示界面發(fā)生了滑移。圖3（a）所示為第1階段：界面黏結(jié)階段，該階段位移幾乎不變，連接剛度較大，部件相互間的界面和螺母與部件之間的界面都沒有發(fā)生滑移，載荷主要通過兩個部件相互間的界面?zhèn)鬟f。圖3（b）所示為第2階段：部分滑移階段，該階段內(nèi)剛度逐漸降低，部件之間的界面全部發(fā)生滑移，螺母與部件之間的界面仍有很大部分黏結(jié)在一起，這個階段的載荷主要通過螺母與部件之間界面摩擦和螺桿的彎曲剛度傳遞。圖3（c）所示為第3階段：整體滑移階段，該階段內(nèi)載荷保持不變，剛度幾乎為零，部件相互間的界面和螺母與部件之間的界面全部發(fā)生了滑移。圖3（d）所示為第4階段：螺桿剪切階段，該階段剛度突然增大，螺桿和部件的孔壁完全接觸，載荷主要通過螺桿的剪切剛度傳遞。對于火箭導(dǎo)彈等結(jié)構(gòu)爆炸分離時產(chǎn)生的沖擊波幅值由于衰減較快通常在被考察部件附近不會導(dǎo)致螺栓變形進(jìn)入圖2所示的第4階段［13］，所以本文中針對剪切螺栓連接載荷位移曲線的前三階段開展研究工作。

圖1 單搭接剪切試樣Fig.1 Single lap shear specimen

圖2 載荷位移曲線Fig.2 Load－displacement curves

圖3 接觸面狀態(tài)Fig.3 Status of interface

2 本構(gòu)模型及其參數(shù)確定

基于上節(jié)對螺栓剪切載荷位移曲線每個階段的受力分析，初步確定單搭接螺栓剪切本構(gòu)模型的表達(dá)式見式（1），基本形式見圖4，其中δ為部件之間在螺孔中心處的相對位移，F(xiàn)為螺栓傳遞的釘載，μ1為兩個部件之間的摩擦因數(shù)，μ2為部件與螺母之間的摩擦因數(shù)，Ppre為螺栓的預(yù)緊力，k0為界面黏結(jié)階段的剛度，k1為部分滑移階段的剛度，k2為整體滑移階段剛度。

圖4 本構(gòu)模型Fig.4 Constitutive model

可以看出，上述本構(gòu)模型計及摩擦因數(shù)和預(yù)緊力，它們影響在多大載荷下螺栓進(jìn)入部分滑移階段和整體滑移階段。另外，確定該本構(gòu)模型還需各階段的剛度，其中整體滑移階段的剛度k2為0，k0和k1采用下列方法計算。

2.1 k0的確定

k0為界面黏結(jié)階段的連接剛度，主要為部件之間的界面切向剛度。根據(jù)分形模型與Hertz接觸理論得出在小載荷下界面的切向剛度為［15］：

D為分形維數(shù)，它與界面加工方法以及粗糙度Ra相關(guān)［16］，對于磨削表面：

h為界面的切向載荷與法向壓力比，μ為界面摩擦因數(shù)，ψ為微接觸面積分布的域擴(kuò)展因子。ac為微接觸臨界接觸面積，意為微球體發(fā)生屈服時的接觸面積：

其中Г為粗糙表面的幅度系數(shù)，D＝1.5時，其與表面粗糙度Ra的關(guān)系為［17］Ra＝0.811Г1／2，κ為較軟材料的硬度Η與屈服強(qiáng)度σy之間的系數(shù)，γ為較軟材料的屈服強(qiáng)度σy與材料當(dāng)量彈性模量E之間的比例系數(shù)。am為微接觸最大接觸面積，與界面的法向壓力相關(guān)［18］：

式（2）～（6）顯示通過兩接觸材料的彈性模量、剪切模量、屈服強(qiáng)度、表面粗糙度以及界面的摩擦因數(shù)可求得k0的值，在隨后的第3節(jié)進(jìn)行算例驗證。

2.2 k1的確定

k1為部分滑移階段的連接剛度，即k1＝ΔF／Δδ，這個階段增加的載荷ΔF通過部件與螺母間的界面作用到螺栓上，受力與變形分析見圖5。將螺桿作為短粗梁，梁兩端的力偶（ΔF，－ΔF）會讓螺桿產(chǎn)生彎曲變形和剪切變形，從而分別使A、B兩點在水平方向增加位移Δδb和Δδs，對應(yīng)的剛度為kb和ks。另外，這對力偶會在螺桿根部產(chǎn)生附加力矩ΔFL／2，這個力矩會使與螺桿相接的螺母部件產(chǎn)生Δθebn的變形。這個附加力矩通過螺母傳遞到部件上，又會使部件產(chǎn)生的Δθebc變形，這兩個變形導(dǎo)致螺桿發(fā)生Δθ的偏轉(zhuǎn)，進(jìn)而導(dǎo)致A、B兩點在水平方向出現(xiàn)由螺母變形導(dǎo)致的位移Δδebn和由部件變形導(dǎo)致的位移Δδebc，因此，k1由螺桿彎曲剛度kb、螺桿剪切剛度ks、部件對螺母的支撐剛度kebc以及螺母對螺桿的支撐剛度kebn組成，其表達(dá)式為：

（1）kb代表螺桿彎曲剛度，通過經(jīng)典梁彎曲變形理論得到：

（2）ks代表螺桿的剪切剛度，由于螺桿一般是短粗梁，所以橫向剪切變形不能被忽略，剪切剛度為：

圖5 螺栓變形示意圖Fig.5 Diagram of bolt deformation

式（8）～（9）中：E和G分別為螺栓的楊氏模量和剪切模量，L為螺桿的長度，ζ為Timoshenko剪切修正系數(shù)，對于圓柱，其值為6（1＋ν）／（7＋6ν），ν為材料的泊松比。

（3）kebc代表部件對螺母的支撐剛度。部件的支撐剛度一直是螺栓連接計算中的難題，螺栓受拉情況下的支撐剛度是一個軸對稱問題，S.A.Nassar等［19］、楊國慶等［20］等通過部件的應(yīng)力假設(shè)以及軸向位移積分得到部件軸向支撐剛度。而螺栓剪切是非軸對稱問題，難以簡化為二維問題直接求位移。在線彈性假設(shè)下，這里通過應(yīng)變能法求部件的剪切支撐剛度。

假設(shè)螺栓為剛體，由能量平衡可知，外力做功等于部件應(yīng)變能的增加量，kebc有如下表達(dá)形式：

所以，只要得到在部分滑移階段由ΔF導(dǎo)致的應(yīng)變能U，就可以得到部件對螺母的支撐剛度。應(yīng)變能可由應(yīng)力在整個變形體內(nèi)積分求得：

為了得到合理的應(yīng)力假設(shè)，對部件的應(yīng)力分布進(jìn)行有限元數(shù)值分析。在圖6中以螺栓軸線為中心線建立圓柱坐標(biāo)，圖中z向應(yīng)力σz是支撐螺母的主要應(yīng)力，分析中忽略其他應(yīng)力分量的影響。

圖6 連接結(jié)構(gòu)的應(yīng)力假設(shè)Fig.6 Hypothesis of stress for connection structure

在預(yù)緊力作用下，假設(shè)σz分布為錐體形狀，如圖6所示，其中虛線為錐體的母線，其半頂角為α，α一般取30°～45°［20－21］，RN為螺母與部件接觸區(qū)半徑，RB為螺桿半徑，RH為螺孔半徑，H為螺母厚度。

假設(shè)σz沿著環(huán)向φ的分布為：

沿著徑向r分布：由于最大接觸應(yīng)力在螺母與部件接觸的邊緣即r＝RN處，所以在r＜RN和r＞RN區(qū)域內(nèi)有不同的分布表達(dá)式，具體為：

式中：Rz為在z處錐體的半徑：

沿著軸向z的分布為：

假設(shè)分布（Hyp.）和有限元結(jié)果（FEM）對比如圖7所示，表明假設(shè)分布形式能夠比較好地描述實際應(yīng)力分布。

圖7 部件假設(shè)應(yīng)力分布與有限元應(yīng)力分布比較Fig.7 Stress comparison of hypothesis with FEM on component

因此，部件的三維應(yīng)力分布可表示為：

利用z＝0處的力矩平衡關(guān)系：

同時將式（17）右端積分為代數(shù)表達(dá)式，求解可獲得三維應(yīng)力分布中Fz的表達(dá)式：

利用三維應(yīng)力分布計算部件的彈性應(yīng)變能，這個過程中對為r＜RN和r＞RN區(qū)域分別積分如下：

將（19）代入（10）并消去ΔF，最終得到部件對螺母的支撐剛度：

（4）kebn代表螺母對螺桿的支撐剛度。

與求kebc方法相同，首先根據(jù)有限元分析結(jié)果得到螺母的假設(shè)應(yīng)力分布為：

式中：n取5。

在每個坐標(biāo)系方向假設(shè)分布與有限元對比如圖8所示，在φ向和z向假設(shè)分布形式能夠較好描述實際應(yīng)力分布，r向的應(yīng)力分布在r較小時有一定誤差，但由于應(yīng)變能是應(yīng)力的平方在體積上的積分，假設(shè)應(yīng)力分布與真實應(yīng)力分布誤差主要處于小半徑、低應(yīng)力區(qū)域，對于應(yīng)變能的結(jié)果影響有限。

圖8 螺母假設(shè)應(yīng)力分布與有限元應(yīng)力分布比較Fig.8 Stress comparison of hypothesis with FEM on nut

利用三維應(yīng)力分布計算得部件的彈性應(yīng)變能，這個過程中對為r＜RB和r＞RB區(qū)域分別積分如下：

進(jìn)而得到螺母對螺桿的支撐剛度：

至此，通過部件與螺栓的幾何參數(shù)、彈性模量、硬度、屈服強(qiáng)度以及界面粗糙度采用式（2）、（7）分別得到界面黏結(jié)階段剛度k0和部分滑移階段k1，結(jié)合預(yù)緊力和摩擦因數(shù)以及已知為0的整體滑移階段剛度k2就能完整給出本文中提出的螺栓剪切模型。

3 驗 證

圖2顯示，精細(xì)有限元模型能夠準(zhǔn)確模擬連接結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為，所以采用精細(xì)有限元模型對本文中建立的單搭接螺栓連接剪切本構(gòu)模型進(jìn)行驗證。

模型采用8.8級M6螺栓連接，螺栓的彈性模量為200GPa；兩個被連接部件為45鋼，彈性模量為210GPa，屈服強(qiáng)度為360MPa，硬度為200MPa，厚度均為12mm。對螺栓施加10kN的預(yù)緊載荷，該載荷為螺栓屈服載荷的55%，部件之間以及部件與螺母之間的摩擦因數(shù)為0.1。部件的表面粗糙度Ra為1.6，取擴(kuò)展因子ψ＝1.2，由式（2）計算得到在低切向載荷下，k0＝3.54×107N／mm。由式（7）計算得到k1＝7.86×103N／mm。

有限元計算得到的載荷位移曲線與預(yù)測載荷位移曲線如圖9所示，位移為上下螺母與部件接觸區(qū)域中心點的位移差。

圖9顯示，該模型預(yù)測結(jié)果與有限元結(jié)果主要在部分滑移階段有偏差，偏差的大小可用這個階段的剛度k1的誤差描述。下面分別分析螺栓和部件不同選材、不同螺栓直徑、不同部件厚度對k1的誤差影響。

圖9 預(yù)測結(jié)果與有限元結(jié)果對比Fig.9 Comparison of prediction with FEM

表1 不同結(jié)構(gòu)選材k1驗證Table 1 Verification of k1for different material

表1中分別對螺栓和部件選用工程中常用的材料鋁合金和鋼進(jìn)行驗證，兩個被連接部件等厚，均為15mm，螺栓直徑為10mm，鋼的彈性模量為210GPa，鋁的彈性模量為70GPa。分析結(jié)果顯示，材料的彈性模量對k1的誤差影響不大，都在9%左右。

表2 不同螺栓直徑k1驗證Table 2 Verification of k1for different bolt diameters

表2對不同的螺栓直徑進(jìn)行驗證，兩個被連接部件的厚度均為15mm，部件和螺栓的材料都為鋼材，其模量為210GPa，分析結(jié)果顯示，螺栓直徑影響k1的誤差，直徑增大會導(dǎo)致誤差變大。螺栓直徑小于10mm時，誤差小于10%，直徑為16mm時，誤差增大至28%。

表3 不同部件厚度k1驗證Table 3 Verification of k1for different thicknesses

表3對不同部件厚度的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，表中螺栓直徑為10mm，部件和螺栓的材料都為鋼材，其模量為210GPa，分析結(jié)果顯示部件越厚，k1誤差越小。當(dāng)被連接兩部件總厚度大于40mm時，誤差小于10%，小于20mm時，誤差接近15%。

綜合表1～3的驗證結(jié)果顯示，k1的預(yù)測值都大于有限元值，其中螺栓和部件的選材對誤差影響較小，螺栓和部件的尺寸對誤差有影響。表2～3顯示，誤差與部件厚度／螺栓直徑（長細(xì)比）顯著相關(guān)，長細(xì)比大于2.0的情況下，給出的k1計算方法能夠得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果（誤差小于14%）。由于推導(dǎo)kebn和kcbn過程中，僅主要方向的應(yīng)力σz，計算中的應(yīng)變能小于實際應(yīng)變能，導(dǎo)致kebn和kcbn的預(yù)測結(jié)果比有限元支撐剛度偏大，又由于kebn和kcbn是k1的分量，并且長細(xì)比越小，kebn和kcbn的影響越大，所以k1隨著長細(xì)比減小，與有限元剛度偏差明顯。

4 結(jié) 論

（1）通過實驗和計算得到單搭接螺栓剪切結(jié)構(gòu)的載荷位移曲線，根據(jù)曲線斜率對不同階段進(jìn)行了物理解釋：連接載荷首先通過部件相互間的界面?zhèn)鬟f；當(dāng)部件相互間的界面發(fā)生滑移后，載荷通過螺母與部件之間的界面以及螺栓桿的彎曲傳遞；當(dāng)螺母和部件之間的界面發(fā)生滑移后，連接結(jié)構(gòu)都處于整體滑移階段，載荷不再繼續(xù)增加。

（2）提出了計及摩擦因數(shù)、預(yù)緊力、螺栓與部件尺寸、材料等參數(shù)的單搭接連接結(jié)構(gòu)的剪切本構(gòu)模型。給出了模型中參數(shù)的獲取方法。該模型適用于大型結(jié)構(gòu)在中低載沖擊應(yīng)力傳播數(shù)值分析中大量螺栓連接簡化。

（3）本構(gòu)模型針對部分滑移階段剛度k1的計算采用應(yīng)變能法獲得了部件對螺母的支撐剛度kebc以及螺母對螺桿的支撐剛度kebn的影響，這種方法能夠解決三維非軸對稱變形體對梁的支撐剛度問題。

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Study of strain energy based shear model for single lap bolt

Kou Jianfeng，Xu Fei，F(xiàn)eng Wei
（School of Aeronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，Shaanxi，China）

In simplifying large numbers of bolt connections in simulation to substitute the construction of the whole joint structure，it is essential to establish a joint constitutive model.In this paper，a shear constitutive model of the single lap bolt was established.Firstly，the curves of the load－displacement of the single lap shear bolt were obtained from experiments，and the corresponding physical mechanism was analyzed using the finite－element method.Then，the curve of the load－displacement was divided into several phases according to the physical mechanism.Based on the first three phases，the basic form of the shear constitutive model was proposed and the related parameters were determined in detail.In the second phase of the shear model，the support stiffness was solved by the strain energy method based on reasonable stress distribution hypothesis，which was a step most difficult to take.Finally，this constitutive model was verified by numerous examples.The results show that this shear model for the single lap bolt has the advantages of providing clear physical meaning，easy parameter estimation，and high accuracy.

solid mechanics；shear stiffness；constitutive model；bolt joint；strain energy

O342；V214.41；TB121國標(biāo)學(xué)科代碼：13015

A

10.11883／1001－1455（2017）01－0001－09

（責(zé)任編輯 曾月蓉）

2015－05－15；

2015－09－15

國家自然科學(xué)基金項目（11272266）；航空科學(xué)基金項目（2013ZD53049）

寇劍鋒（1984— ），男，博士研究生；通信作者：徐 緋，xufei＠nwpu.edu.cn。