張良飛,姚文娟

(上海大學(xué)土木工程系,上海 200444)

拉壓不同模量矩形板的雙向彎曲問題

張良飛,姚文娟

(上海大學(xué)土木工程系,上海 200444)

拉壓不同模量矩形板的雙向彎曲的中性軸可以從兩個(gè)彎曲方向考慮.基于不同模量理論,利用靜力平衡方程推導(dǎo)了不同模量矩形板的中性軸位置,再利用Kantorovich變分法求解了不同模量矩形板的撓曲線方程,并將得到的數(shù)值解和有限元解進(jìn)行比較,二者較為吻合.計(jì)算結(jié)果表明,當(dāng)拉壓不同模量的差異較大時(shí),不同模量彎曲矩形板的撓度不宜采用相同模量經(jīng)典板殼理論.該方法為分析不同模量矩形板和其他結(jié)構(gòu)形式的板的彎曲問題提供了求解思路,并為其在工程中的應(yīng)用提供了一定的理論參考.

Kantorovich變分法;不同模量;雙向彎曲

工程上廣泛應(yīng)用的許多材料,如混凝土、金屬、石墨、塑料、生物材料等都具有拉壓不同模量特性,特別是近幾年發(fā)展起來的復(fù)合材料以及聚合材料的不同模量之比高達(dá)4,其雙模量特性所引發(fā)的力學(xué)性質(zhì)差異已經(jīng)到了不容忽視的程度.因此,由雙模量材料制成的結(jié)構(gòu)力學(xué)研究備受關(guān)注.最初的雙模量問題的研究是由美國(guó)學(xué)者Jone[1]、Bert[2]及前蘇聯(lián)學(xué)者Ambartsumyan[3]提出,1986年Ambartsumyan[3]發(fā)表了拉壓不同模量彈性問題的專著,總結(jié)了雙模量的基本概念和基本假設(shè),并提出了主應(yīng)力的正負(fù)為拉壓判定準(zhǔn)則.

早期,對(duì)于有限元的研究還主要基于有限元數(shù)值的方法.Rafaele等[4]和Patel等[5]基于Bert[2]提出的雙模量模型——以纖維的縱向應(yīng)變的正負(fù)為拉壓判定準(zhǔn)則,分析了雙模量層壓復(fù)合板應(yīng)力計(jì)變形;針對(duì)有限元方法迭代速度慢的問題,He等[6]應(yīng)用了剪切模量法提高了計(jì)算速度;Yang等[7-8]用光滑技術(shù)處理雙模量模型,避免了迭代中應(yīng)力狀態(tài)的判斷從而簡(jiǎn)化了計(jì)算,并建立了初應(yīng)力有限元及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型[8].

根據(jù)雙模量材料特殊的非線性特點(diǎn),Yao等利用流動(dòng)坐標(biāo)系統(tǒng)結(jié)合分段積分法推導(dǎo)了雙模量彎壓柱[9]、橫力彎曲梁[10]、擋土墻的中性軸[11]、應(yīng)力和位移的解析解;何曉婷等[12-13]采用簡(jiǎn)化等效剛度法對(duì)不同模量彎曲梁和柱進(jìn)行了分析;Qu[14]通過引入Yao的等效彈性模量,推導(dǎo)了雙模量土工格室變形表達(dá)式.

對(duì)于薄板彎曲問題,高潮等[15]基于不同彈性理論,采用有限元數(shù)值方法分析了彎曲板;吳曉等[16-17]用變分法研究了不同模量圓板和矩形板的彎曲問題,在研究過程中簡(jiǎn)化了對(duì)于中性軸位置確定的步驟,并假設(shè)雙向彎曲截面上的中性軸在同一平面.實(shí)際上不同模量板雙向彎曲時(shí)中性層不在同一平面上,且其位置的確定不僅依賴于結(jié)構(gòu)材料,而且還與結(jié)構(gòu)形狀、邊界條件、外荷載等有關(guān),是諸多因素所致的具有非線性現(xiàn)象的力學(xué)問題,至今尚未有學(xué)者對(duì)此問題進(jìn)行解析研究.本工作首先基于Ambartsumyan[3]的不同模量理論,利用靜力平衡方程推導(dǎo)出不同模量彎曲板的中性軸方程,計(jì)算得到中性軸位置的數(shù)值解;接著用Kantorovich變分法研究了不同模量彎曲板變形問題;最后分析了拉壓不同模量對(duì)四邊固支矩形板彎曲變形的影響.

1 拉壓不同模量彈性理論

1.1 基本概念和初始假設(shè)

在絕對(duì)值相同的拉應(yīng)力和壓應(yīng)力的作用下,材料會(huì)發(fā)生絕對(duì)值不同的拉應(yīng)變和壓應(yīng)變,即材料具有不同的拉伸彈性模量Et和壓縮彈性模量Ec.在軸向應(yīng)力作用下,材料在拉伸和壓縮時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的.

假設(shè)所研究的物體是變形連續(xù)的固體,物質(zhì)是均勻的、各向同性的,但由于主應(yīng)力符號(hào)的不同而產(chǎn)生不同的彈性性質(zhì),即一維拉伸時(shí)所研究材料的任何方向有彈性模量Et,一維壓縮時(shí)有Ec,材料在任意應(yīng)力狀態(tài)下只發(fā)生彈性小變形,并服從連續(xù)彈性介質(zhì)的一般規(guī)律.經(jīng)典彈性理論的基本方程和關(guān)系式保持不變,不同之處僅反映在物理方程(本構(gòu)關(guān)系)中.

研究對(duì)象為薄板,以如下兩個(gè)計(jì)算假定為基礎(chǔ):①垂直于中面方向的正應(yīng)變?chǔ)舲可以不計(jì);②應(yīng)力分量τzx,τzy和σz遠(yuǎn)小于其他3個(gè)應(yīng)力分量,其引起的形變可以不計(jì).

1.2 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

根據(jù)不同模量彈性理論,假定主應(yīng)變和主應(yīng)力分別為{σI}和{εI},在主方向上的本構(gòu)關(guān)系為式中,[a]為柔度矩陣,是由主應(yīng)力的符號(hào)確定;[D]為彈性矩陣,是由主應(yīng)變的方向確定.且這些矩陣滿足如下關(guān)系:

由不同模量彈性理論本構(gòu)關(guān)系可知,對(duì)于平面問題,[D]和[a]的矩陣單元可以表示如下.

2 中性軸位置的確定

圖1 計(jì)算模型Fig.1 Calculation model

由方程組(12)可知,不同模量薄板兩彎曲截面應(yīng)力改變符號(hào)的位置(由η1,η2決定)與拉壓模量比、拉壓泊松比、板邊彎矩之比有關(guān),方程組(12)是這些參量的非線性函數(shù),為二階非線性方程組,對(duì)其進(jìn)行求解可以得到中性軸位置的數(shù)值解.

3不同模量彎曲薄板的Kantorovich變分解

利用微分符號(hào)和變分符號(hào)的可交換性,對(duì)式(19)分部積分得

4 算例和討論

4.1 算例與計(jì)算結(jié)果

薄板尺寸為a=2 000 mm,b=1 000 mm,h=200 mm,受均布荷載q=2 MPa,M1= 20×106N·m,M2=5×106N·m.為了具體分析拉壓彈性模量對(duì)矩形板彎曲變形的影響,取如下材料彈性模量計(jì)算:①保持E=(Ec+Et)/2=4 000 MPa不變,不同模量比Et/Ec在1.5～5.0范圍內(nèi)變化;②保持Ec=1 000 MPa不變,Et/Ec在1.5～5.0范圍內(nèi)變化.

分別采用本工作推求的不同模量薄板撓曲線公式以及不同模量有限元數(shù)值解對(duì)四邊固支矩形薄板進(jìn)行求解,并用經(jīng)典板殼理論計(jì)算出同模量時(shí)板的撓度.有限元數(shù)值模擬用Ansys 12.0,采用8節(jié)點(diǎn)Solid185單元,利用小位移靜力分析進(jìn)行求解(部分結(jié)果見表1).

表1 不同模量矩形板中性軸位置、位移計(jì)算結(jié)果Table 1 Neutral axis location and displacement of rectangular plates with diferent modulus

4.2分析與討論

運(yùn)用本方法所推求的板中心處撓度與不同模量有限元模擬結(jié)果吻合較好(見表1及圖2),其誤差均在5%以內(nèi),驗(yàn)證了本方法的可靠性.

計(jì)入不同模量后,隨著材料壓、拉模量比Et/Ec的變化,算例中薄板的板中心撓度呈有規(guī)律的變化(見圖2).當(dāng)雙模量的平均值E=(Et+Ec)/2保持不變,隨著Et/Ec的增大,不同模量板中心撓度呈非線性增大:當(dāng)Et/Ec從1.5增大到2.5時(shí),相應(yīng)的板中心撓度增大了4 mm;當(dāng)Et/Ec從2.5增大到5.0時(shí),板中心撓度增大了22 mm.如果Ec不變,當(dāng)Et/Ec增大時(shí),則板中心處的撓度呈非線性減小:當(dāng)Et/Ec從1.5增大到3.5時(shí),相應(yīng)的板中心撓度減小21 mm;當(dāng)Et/Ec從3.5增大到5.0時(shí),板中心撓度減小3 mm.這說明當(dāng)雙模量的平均值E=(Et+Ec)/2保持不變時(shí),隨著Et的增大,則Ec減小,板整體剛度分配不均勻,導(dǎo)致板中心撓度增大;如果Ec不變,當(dāng)Et/Ec增大時(shí),板的整體模量增大,則板的撓度減小;但當(dāng)Et/Ec繼續(xù)增大時(shí),拉、壓模量的離散性在增大,即不均性在增大,因此板中心撓度曲線最終趨于平緩.

圖2 E=4 000 MPa和Ec=1 000 MPa時(shí)利用本方法和有限元求解的板中心處撓度Fig.2 Finite element method solution and the proposed solution of displacement at the center of the plate when E=4 000 MPa and Ec=1 000 MPa

運(yùn)用本方法算得的不同模量板的撓曲線和運(yùn)用經(jīng)典板殼理論算得的相同模量板撓曲線如圖3和4所示.從圖中可以看出,撓曲線沿板長(zhǎng)邊方向均呈拋物線形狀.當(dāng)E=(Et+Ec)/2不變時(shí),隨著Et/Ec增大,不同模量板的撓度均大于相同模量板的撓度,且板撓度呈非線性增大趨勢(shì),沿板邊向板中心方向板的撓度在增大.當(dāng)Ec不變時(shí),隨著Et/Ec增大,薄板的撓度非線性減小,不同模量板撓度均小于相同模量板的豎向位移,沿板中心向板邊方向板的撓度在減小.

圖3 E=4 000 MPa時(shí)板撓曲線Fig.3 Displacement curves when E=4 000 MPa

圖4 Ec=1 000 MPa時(shí)板撓曲線Fig.4 Displacement curves when Ec=1 000 MPa

在本算例中,當(dāng)Et/Ec=2.5時(shí),保持E不變的不同模量板中心撓度為?34 mm,運(yùn)用經(jīng)典板殼理論算得相同模量板的中心撓度為?27.1 mm,二者之間相差達(dá)到25.5%,超過20%;當(dāng)Ec不變,增大Et時(shí)亦如此,故此時(shí)不宜再按照相同模量經(jīng)典理論計(jì)算.

5 結(jié)論

(1)在矩形薄板x和y方向作用有不同的彎矩時(shí),薄板雙向彎曲,中性層不在一個(gè)平面上.本工作將板沿板厚方向分3層(理論上分層越多,越接近真實(shí)受力狀態(tài)),每一層默認(rèn)為同一類應(yīng)力區(qū)域,引入不同模量的本構(gòu)關(guān)系,得到不同方向截面上的中性軸,用Kantorovich變分法計(jì)算出薄板的撓度曲線表達(dá)式.結(jié)果表明,這種近似計(jì)算的方法和不同模量有限元模擬方法較為吻合,二者誤差小于5%.

(2)在保持E=(Et+Ec)/2和Ec不變的兩種情況下,隨著Et/Ec增大,板的撓度表現(xiàn)出不同的變化趨勢(shì),前者呈非線性增大趨勢(shì),后者減小后趨于平緩.

(3)在本算例中,當(dāng)Et/Ec≥2.5時(shí),運(yùn)用經(jīng)典板殼理論算得的板位移值和不同模量數(shù)值解之間相差超過20%,此時(shí)不宜按照相同模量經(jīng)典理論計(jì)算,而應(yīng)采用不同模量理論.

[1]JONE R M.Stress-strain relations for materials with diferent moduli in tension and compression[J].J AIAA,1977,15:16-23.

[2]BERTCW.Modelsforfbrouscompositeswithdiferentpropertiesintensionand compression[J].J Engg Math Tech(ASME),1977,99:344-349.

[3]AMBARTsuMYAN S A.Elasticity theory of diferent modulus[M].Beijing:China Railway Press, 1986.

[4]RAFFAELE Z,FABRIZIO G.Damage evolution in bimodular laminated composites under cyclic loading[J].Compo Struct,2001,53:381-402.

[5]PATEL B P,LELE A V,GANAPATHI M,et al.Thermo-fexural analysis of thick laminates of bimodulus composites materials[J].Compo Struct,2004,63:11-20.

[6]HE X T,ZHENG Z L,SuN J Y,et al.Convergence analysis of a fnite element method based on diferent moduli in tension and compression[J].Int J Solids Struct,2009,46:3734-3740.

[7]YANG H T,ZHu Y L.Solving elasticity problems with bi-modulus via a smoothing technique[J].Chinese J Comput Mech,2006,23:19-23.

[8]YANG H T,Xu M L.Solving inverse bimodular problems via artifcial neutral network[J]. Inverse Problems Sci Eng,2009,17:999-1017.

[9]YAO W J,YE Z M.Analytical solution of bending-compression column using diferent tensioncompression modulus[J].Applied Mathematics and Mechanics(English Edition),2004,25: 901-909.

[10]YAO M J,YE Z M.Analytical solution for bending beam subject to later for with diferent modulus[J].Applied Mathematics and Mechanics(English Edition),2004,25:1107-1117.

[11]YAO W J,YE Z M.The analytical and numerical solution of retaining wall based on elastic theory of diferent modulus[J].Journal of Shanghai Jiao Tong University,2004,38:1022-1027.

[12]何曉婷,陳山林,孫俊貽.不同模量簡(jiǎn)支梁均布荷載下的彈性力學(xué)解[J].工程力學(xué),2007,24(10): 51-56.

[13]何曉婷,鄭周練,陳山林.拉壓不同模量彎壓柱的近似彈性力學(xué)解[J].重慶大學(xué)學(xué)報(bào),2008,31(3): 339-343.

[14]Qu C Z.Deformation of geocell with diferent tensile and compressive modulus[J].Elec J Geotech Eng,2009,14:1-14.

[15]高潮,劉相斌.用拉壓不同模量理論分析彎曲板[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),1998,15(4):448-455.

[16]吳曉,楊立軍,孫晉.雙模量圓板彎曲變形的計(jì)算分析[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào),2009,41(1): 88-92.

[17]吳曉,楊立軍,孫晉.雙模量圓板彎曲變形的計(jì)算分析[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào),2009,41(4): 485-488.

Biaxial bending of rectangular plates with diferent modulus

ZHANG Liangfei,YAO Wenjuan
(Department of Civil Engineering,Shanghai University,Shanghai 200444,China)

An eutral axis can be considered from two bending directions to solve the biaxial bending problem of rectangular plates with diferent modulus.Based on the diferent modulus theories,an equation of the neutral axis location is derived using the static equilibrium equation of rectangular plates with diferent modulus.The defection curve equation is solved with the Kantorovich method.Its solution agrees well with the fnite element solution.The result shows that the classical shell theory is not applicable in calculating defection of a rectangular plate when tensile and compressive modulus are quite diferent.The proposed method provides an approach to analyze the bending problem of other structure forms of plate with diferent modulus,and theoretical reference for engineering applications.

Kantorovich variational method;diferent modulus;biaxial bending

TU 36

A

1007-2861(2017)01-0128-10

10.3969/j.issn.1007-2861.2015.02.003

2015-01-03

姚文娟(1957—),女,教授,博士生導(dǎo)師,博士,研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)工程.E-mail:wenjuan@mail.shu.edu.cn