章建躍

(人民教育出版社 100081)

3 繼承基礎(chǔ)上的發(fā)展與創(chuàng)新

3.1 找準(zhǔn)問題，明確方向

從上述分析可以看到，我國立體幾何教材在教學(xué)內(nèi)容的精簡、實(shí)用上已經(jīng)做了大量工作，努力做到教材結(jié)構(gòu)體系的嚴(yán)謹(jǐn)性，特別重視利用立體幾何教材培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，因此在定理的證明、例題解答上強(qiáng)調(diào)“已知—求證—證明”、“∵—∴”、“如果—那么”等等，重視嚴(yán)格的邏輯表達(dá)示范與訓(xùn)練.教材的語言表述精煉，沒有“閑言碎語”，更沒有“套話”“廢話”.顯然，在教材改革中，這些都是值得繼承的優(yōu)點(diǎn).

然而，以往教材存在的問題也非常明顯：無論是概念還是定理，基本上是直接呈現(xiàn)結(jié)論，“掐頭去尾燒中段”，在“發(fā)現(xiàn)和提出問題”上幾乎沒有什么引導(dǎo)；以演繹的方式呈現(xiàn)定理的證明、例題的解答，以“示范+模仿”為主，在“如何用概念、性質(zhì)解決問題”、“如何找到證明方法”、“解題思路是如何想到的”等上面幾乎沒有什么作為.

上述問題在2004年出版的“人教A版”教材中已經(jīng)關(guān)注到，并進(jìn)行了積極的改革，但離新一輪課改中提出的要求，即：幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的“四基”、“四能”；提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界；促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展；在學(xué)生形成正確人生觀、價(jià)值觀、世界觀等方面發(fā)揮獨(dú)特作用，尚有差距.為此，我們要在繼承我國數(shù)學(xué)教材優(yōu)良傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上，全面落實(shí)立德樹人的基本要求，充分挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科特有的育人價(jià)值，以數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在邏輯為依據(jù)構(gòu)建教材結(jié)構(gòu)體系，努力揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，并以學(xué)生認(rèn)知規(guī)律為基礎(chǔ)合理安排學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地生根.

3.2 加強(qiáng)“獲得數(shù)學(xué)研究對(duì)象”的過程

需要強(qiáng)調(diào)，“獲得數(shù)學(xué)研究對(duì)象”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一步，其中的核心任務(wù)是獲得基本概念，即要明確概念的內(nèi)涵和外延.針對(duì)以往教材中存在的直接告訴概念的弊端，為了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，形成用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的視角和方法，教材必須在“如何構(gòu)建歸納概括過程，使學(xué)生通過自主的數(shù)學(xué)抽象獲得研究對(duì)象”上加強(qiáng)思考.無論是教材編寫還是課堂教學(xué)，都必須充分認(rèn)識(shí)“獲得研究對(duì)象”的重要性，因?yàn)檫@是“數(shù)學(xué)化”的關(guān)鍵一步，是后續(xù)一切學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).為此，要注意通過恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，構(gòu)建有利于學(xué)生觀察與分析事物的數(shù)形屬性、歸納共同本質(zhì)屬性并概括到同類事物中去的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在具體情境中展開認(rèn)識(shí)活動(dòng)，并在“什么是幾何對(duì)象的結(jié)構(gòu)特征”、“如何觀察”、“如何歸納”等方面加強(qiáng)引導(dǎo)，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象過程獲得研究對(duì)象.

例“基本立體圖形”結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí).

我們把棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)和球叫做“基本立體圖形”，認(rèn)識(shí)它們的結(jié)構(gòu)特征的過程就是獲得立體幾何研究對(duì)象的過程.所謂“結(jié)構(gòu)特征”是指組成相應(yīng)立體圖形的基本元素(點(diǎn)、線、面)及其基本關(guān)系，而認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)特征則需要經(jīng)歷一個(gè)從宏觀到微觀逐步精細(xì)化的過程.其中的要點(diǎn)概述如下：

數(shù)學(xué)基本思想立體圖形組成元素之間的關(guān)系可以從不同角度進(jìn)行刻畫，因此其結(jié)構(gòu)特征也可以有多種表現(xiàn)形式.要選擇刻畫一類立體圖形的充要條件作為定義(包含的要素關(guān)系要盡量少，既有完備性又有純粹性)，實(shí)現(xiàn)對(duì)物體的數(shù)學(xué)抽象，再以此為出發(fā)點(diǎn)，研究其他特征，獲得立體圖形的性質(zhì).

研究內(nèi)容確定立體圖形的組成元素，研究元素之間的基本關(guān)系，再通過不斷增加條件，實(shí)現(xiàn)對(duì)幾何圖形“從粗到細(xì)”的分類，獲得基本立體圖形結(jié)構(gòu)特征的系統(tǒng)認(rèn)識(shí).

過程與方法從觀察與分析一些具體幾何圖形組成元素的形狀、位置關(guān)系入手，歸納共同屬性，抽象出本質(zhì)屬性而得到分類標(biāo)準(zhǔn)，再概括到同類物體而形成抽象概念.

研究結(jié)果

(1)基本立體圖形的分類——從幾何體的組成元素入手，把空間幾何體分為多面體、旋轉(zhuǎn)體.

(2)多面體的分類——從多面體組成元素的形狀、位置關(guān)系入手.例如：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.類似的有棱錐、棱臺(tái).

(3)棱柱的分類——按“側(cè)棱是否垂直于底面”把棱柱分為直棱柱、斜棱柱.

(4)直棱柱的分類——按“底面是否為正多邊形”把直棱柱分為正棱柱和其他直棱柱.

(5)正棱柱的分類——按“底面正多形的邊數(shù)”把正棱柱分為正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱…….

當(dāng)然，還可以根據(jù)需要給出其他分類，例如從直棱柱中分出長方體，再從長方體中分出正方體；從斜棱柱中分出平行六面體；等等.

以上是從立體圖形組成元素的形狀、位置關(guān)系所反映的定性特征描述立體圖形的結(jié)構(gòu)，我們還可以從組成元素的數(shù)量關(guān)系探尋不變量(式).例如歐拉定理：一個(gè)多面體有V個(gè)頂點(diǎn)、E條棱和F個(gè)面，則V-E+F=2.等價(jià)地，如果從維數(shù)角度表達(dá)，一個(gè)三維凸多面體的組成元素包括V個(gè)頂點(diǎn)(0維)、E條棱(1維)、F個(gè)面(2維)、S個(gè)體(3維)，它們的數(shù)量之間有如下關(guān)系：V-E+F-S=1，其中S=1.

這里，以“結(jié)構(gòu)特征”為主題，以“組成元素的形狀、位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系”為研究內(nèi)容，從定性到定量，通過具體例子的觀察、分析，歸納出共性并概括到同類事物而得出結(jié)構(gòu)特征，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，這就是落實(shí)“四基”“四能”的過程，也是直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的過程.實(shí)際上，最終的目標(biāo)都聚焦在理性思維上，要使學(xué)生逐步養(yǎng)成有結(jié)構(gòu)地、有邏輯地思考的習(xí)慣.為此，應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”放在心上，要在“從哪些角度循序漸進(jìn)地觀察”上加強(qiáng)引導(dǎo).例如，在“空間幾何體”的分類中，可以作如下引導(dǎo)：所謂空間幾何體的結(jié)構(gòu)，是指它由哪些基本幾何元素組成，這些元素的形狀如何，有怎樣的位置關(guān)系等等.觀察一個(gè)物體，將它抽象成空間幾何體，并描述它的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)先從整體入手，想象組成物體的每個(gè)面的形狀、面與面之間的關(guān)系，并注意利用平面圖形的知識(shí).又如，在對(duì)多面體結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)中，可作如下引導(dǎo)：所謂多面體的結(jié)構(gòu)特征，主要指多面體組成元素的形狀和位置關(guān)系.因此，觀察一個(gè)多面體的結(jié)構(gòu)特征，就是要觀察它的各個(gè)面的形狀，以及各個(gè)面及其交線的位置關(guān)系.

順便指出，對(duì)基本幾何圖形結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，實(shí)質(zhì)是對(duì)幾何圖形的分類，關(guān)鍵是建立分類標(biāo)準(zhǔn).更進(jìn)一步地，分類是理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵一環(huán)：一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的具體例子不勝枚舉，按某種特征對(duì)它們分類，可以確定一種研究這個(gè)結(jié)構(gòu)的邏輯順序(按類各個(gè)擊破)，形成一個(gè)新方法來證明關(guān)于這個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)果.有時(shí)，分類本身就給出了某種結(jié)果的證明，例如正多面體只有五類：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.從這樣的高度認(rèn)識(shí)“基本立體圖形”的內(nèi)涵，才能真正把握這一內(nèi)容的育人價(jià)值，才能使我們聚焦“元素”、“關(guān)系”、“結(jié)構(gòu)”、 “分類”這些關(guān)鍵詞設(shè)置問題，啟發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 體現(xiàn)研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，結(jié)構(gòu)功能良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)才有不斷同化新知識(shí)的能力和持續(xù)的知識(shí)自我生長能力，才有強(qiáng)大的遷移能力，才能在創(chuàng)造性解決問題中發(fā)揮作用.由于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是由數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)化而來的，所以為學(xué)生提供結(jié)構(gòu)體系合理的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)就成為教材編寫中必須認(rèn)真處理的問題.這里的結(jié)構(gòu)體系既指教材的整體結(jié)構(gòu)，又指一個(gè)章節(jié)、單元的邏輯結(jié)構(gòu)，其合理性要從數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯和學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的心理邏輯兩方面來考量.而構(gòu)建一個(gè)章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，則要按研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路，根據(jù)研究對(duì)象的特點(diǎn)，選擇合適的類比對(duì)象，確定研究內(nèi)容，構(gòu)建研究路徑，探尋研究方法，獲得研究結(jié)論.

例如，我們可以類比“平面幾何圖形”，形成“空間幾何圖形”的研究內(nèi)容和路徑：具體實(shí)例中組成元素、位置關(guān)系的分析——定義——表示——分類——性質(zhì)——特例(定義、判定、性質(zhì))——度量——聯(lián)系與應(yīng)用.其中，定義、性質(zhì)等，都是研究對(duì)象的抽象結(jié)構(gòu)的反映，是變化(變換)中的不變性(不變量)，而研究方法也可以從平面幾何中得到借鑒，有時(shí)甚至可以直接延用.

3.4 在“一般觀念”(big idea)上加強(qiáng)引導(dǎo)

總的來說，教材應(yīng)注重以反映數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)、符合學(xué)生認(rèn)知水平的問題，引導(dǎo)學(xué)生開展探究性學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生通過類比、聯(lián)想、特殊化、一般化等思維活動(dòng)發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，形成研究思路，找到研究方法.為了使學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)思維思考世界”，要發(fā)揮“一般觀念”的作用，以加強(qiáng)“如何思考”、“如何發(fā)現(xiàn)”的啟發(fā)和引導(dǎo)，特別是在概念的抽象要做什么、“幾何性質(zhì)”“代數(shù)性質(zhì)”“函數(shù)性質(zhì)”指什么等問題上要及時(shí)引導(dǎo)，以使學(xué)生明確思考方向，實(shí)現(xiàn)“有邏輯的思考”.

下面通過例子說明“一般觀念”的內(nèi)涵.

例“一般觀念”在發(fā)現(xiàn)空間直線、平面位置關(guān)系的性質(zhì)中的作用.

幾何學(xué)的基本研究對(duì)象可分為兩類：物體的形狀、物體的位置，“形狀的性質(zhì)”、“位置的性質(zhì)”是幾何的研究主題.

柱、椎、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征就是“物體的形狀”這一幾何對(duì)象的基本性質(zhì)，是一類幾何圖形組成元素的形狀和(定性、定量)關(guān)系的反映.

空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系是刻畫空間物體位置的基礎(chǔ)，以“平面三公理”為出發(fā)點(diǎn)，關(guān)鍵是空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系.其中，“平面三公理”用“點(diǎn)在直線上”、“點(diǎn)(直線)在平面內(nèi)”、“兩個(gè)平面相交(公共點(diǎn)、公共直線)”等最直觀、最基本的位置關(guān)系刻畫了平面的“平”、直線的“直”以及“平”與“直”的一致性及相互轉(zhuǎn)化；“平行關(guān)系”是歐氏空間平直性的反映；“垂直關(guān)系”是歐氏空間對(duì)稱性的反映.

如何理解“位置關(guān)系的性質(zhì)”？或者說，“位置關(guān)系的性質(zhì)”是如何表現(xiàn)的？

我們先來分析一下“平行線的性質(zhì)”：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ).這里的“性質(zhì)”是兩條平行線與“第三條直線”相交，形成一些角，然后看在“兩條直線平行”這一位置關(guān)系下，這些角之間有什么確定的關(guān)系(第三條直線可以任意改變，在變化過程中出現(xiàn)的角的關(guān)系的不變性).

去掉“平行線”這一具體的位置關(guān)系，從思想方法上進(jìn)行抽象，這就是：研究兩個(gè)幾何元素某種位置關(guān)系的性質(zhì)，就是探索在這種位置關(guān)系下的兩個(gè)幾何元素與其他同類幾何元素所形成的圖形中出現(xiàn)的確定關(guān)系(不變性)，具體方法是讓“其他幾何元素”動(dòng)起來，看“變化中的不變性”.這就是“一般觀念”，它在研究“位置關(guān)系的性質(zhì)”中可以引導(dǎo)思考方向，使學(xué)生獨(dú)立自主地發(fā)現(xiàn)性質(zhì)成為必然.

例如，“直線與平面平行的性質(zhì)”，就是以“直線a∥平面α”為條件，探究其他直線或平面與a，α之間是否形成確定關(guān)系.例如，容易發(fā)現(xiàn)，α內(nèi)的直線b與直線a或者平行或異面：

當(dāng)b∥a時(shí)，b可以看成是由a，b所確定的平面β與平面α的交線，而且只要β是過a的平面，那么它與α的交線一定與a平行，這樣就得到性質(zhì)：直線a∥平面α，過a的平面β與α的交線是b，則a∥b.

當(dāng)b與a異面時(shí)，過a作平面β⊥平面α，設(shè)β∩α=c，則c與b一定相交，它們的夾角就是異面直線a，b的夾角；設(shè)c，b的交點(diǎn)為A，過A作α的垂線交a于B，則線段AB就是異面直線a，b的公垂線段.根據(jù)這些條件，借助直線的方向向量、平面的法向量等，可以推導(dǎo)直線a與平面α的距離公式.

由上所述可見，有了“一般觀念”的引領(lǐng)，學(xué)生對(duì)直線與平面平行的性質(zhì)的探索可以有廣闊的思路，而直觀想象、歸納推理、演繹推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等的培養(yǎng)就自然而然地體現(xiàn)其中了.

4 幾何課程改革的未來之路

基礎(chǔ)教育階段的幾何課程，研究對(duì)象是空間中物體的形狀和位置.

綜合幾何是基礎(chǔ).總體思路上，先要把空間物體抽象成幾何基本概念和基本性質(zhì)，再用歸納推理、演繹推理達(dá)到對(duì)幾何性質(zhì)的有效掌握，然后用這些概念和性質(zhì)解決各種問題，但在抽象幾何概念、研究幾何性質(zhì)時(shí)，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)基本思想的引領(lǐng)、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，并要把歸納幾何要素、發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系、提出幾何性質(zhì)等作為幾何教學(xué)的關(guān)鍵任務(wù).

綜合幾何的特點(diǎn)是，除了尺規(guī)而不借助其他工具，通過演繹推理得出結(jié)論，對(duì)人類智力有極大的挑戰(zhàn)性，引人入勝，成為許多人喜歡上數(shù)學(xué)的源，但同時(shí)也成為大量學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失敗的根.平面幾何成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成敗的分水嶺.因此普及意義下的幾何課程必須加以改造，基本思路應(yīng)該是盡快地使用直角坐標(biāo)系、向量等工具，使幾何代數(shù)化、算法化.

首先，平面幾何的改革是關(guān)鍵.其邏輯基礎(chǔ)部分(點(diǎn)、直線、平面的關(guān)系，疊合和平行等三組公理(基本性質(zhì)))要結(jié)合學(xué)生的直觀感知經(jīng)驗(yàn)形成基本認(rèn)識(shí).用于培養(yǎng)邏輯推理能力的平面幾何內(nèi)容，要以精簡實(shí)用為原則，兼顧學(xué)生的學(xué)習(xí)可能性、后續(xù)學(xué)習(xí)的必要性.三角形的內(nèi)容要完整(全等、相似、等腰三角形和直角三角形等，定性性質(zhì)、定量關(guān)系與求解公式)，平行四邊形關(guān)注平直性，圓關(guān)注對(duì)稱性，使學(xué)生建立基本的幾何觀念.可以考慮在平面幾何中引入向量工具，用向量解決一些論證、計(jì)算問題.

立體幾何部分，目前的課程已經(jīng)比較理想，空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征聚焦在基本結(jié)構(gòu)上，點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系聚焦在平行和垂直，借助向量、空間直角坐標(biāo)系計(jì)算距離、角度等，用向量(坐標(biāo))運(yùn)算解決論證幾何的問題.