2017年11月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2391凸四邊形A1A2A3A4在直線l同一側(cè)，A1A3與A2A4是凸四邊形的兩條對角線，△A2A3A4,△A1A3A4,△A1A2A4及△A1A2A3的面積分別是S1,S2,S3,S4.Ai至直線l的距離為di(i=1,2,3,4),則d1S1+d3S3=d2S2+d4S4.

(江蘇如皋市教師進(jìn)修學(xué)校 徐道 226500)

證明設(shè)A1→A2→A3→A4→Ai逆時針排列，Ai(xi,yi),yi>0,i=1,2,3,4,直線l的方程為y=0.

考察行列式

由于D第一列與第三列對應(yīng)元素相等，故D=0.

又由行列式的性質(zhì)

yl=di(i=1,2,3,4).

故d1S1-d2S2+d3S3-d4S4=0,結(jié)論獲證.

2392如圖，PAB、PCD分別是⊙O的兩條割線，交⊙O于點(diǎn)A、B、C、D，AD與BC相交于點(diǎn)Q.若點(diǎn)M、N分別滿足四邊形MAQC，四邊形NBQD都是平行四邊形.證明:P、M、N三點(diǎn)共線.

(重慶市合川太和中學(xué) 袁安全 401555)

證明如圖所示.

連接AC、BD、PQ、PM、PN.

則BN=QD,AM=QC.

易知△PAC∽△PDB，

①

又易知△QAC∽△QBD，

②

由①,②得

又易得∠PBN=∠PBD+∠DBN

=∠PCA+∠ACB=∠PCQ.

于是△PBN∽△PCQ,

故∠BPN=∠CPQ.

又由①，②可得

而∠PAM=∠PBC=∠ADC=∠PDQ,

從而△PAM∽△PDQ,

進(jìn)而∠APM=∠DPQ.

于是∠BPN=∠CPQ=∠DPQ=∠APM.

故P、M、N三點(diǎn)共線.

(浙江溫州市區(qū)馬鞍池東路1-408 陳克瀛 325000)

解n可唯一地表為n=3rb，其中r，b∈N+，(3 ,b)=1. 我們來證明以下兩個結(jié)論：

證對r施行數(shù)學(xué)歸納法.

r=1時，由1k+2k≡2?0 ( mod 3 )知結(jié)論成立；

假定r=d時結(jié)論成立；

今證r=d+1時結(jié)論也成立. 對此用反證法.

如果存在正偶數(shù)m，使得

(1)

變換(1)的左端和式得

(2)

用二項式定理展開(2)的右端并注意到：

“正整數(shù)u≥2?3d+1| 3du(特別地有

3d+1| 3dm)”之后，

對(2)取模3d+1得

由此和(1)并根據(jù)同余式的性質(zhì)推出

而這與歸納法假定矛盾！這就證明了結(jié)論對于r=d+1也成立 . 命題A得證 .

證b=1時，命題B即命題A.

以下設(shè)b>1. 用反證法. 如果存在正偶數(shù)m，使得

(3)

另一方面，對等式

由此和(3)以及“( 3 ,b)=1?( 3r,b)=1”

這與命題A矛盾！故命題B獲證.

由B即知，不存在滿足題述條件的正偶數(shù).

注奇數(shù)n(n>1 )不是3的倍數(shù)，則

2394在等邊三角形ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，P為線段BD上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，延長線段AP交該三角形的外接圓于點(diǎn)Q，延長線段QD交AQ的垂直平分線MN于點(diǎn)M,證明：

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

證明如圖，連接AD,AM及QB,QC.

在△AQM中，QM的中點(diǎn)記為D′，

則AD′與MN的交點(diǎn)O′為該三角形的重心.

OO′∥DD′，即NM∥QM，這顯然矛盾.

因此D,D′兩點(diǎn)重合，D為QM的中點(diǎn).

在四邊形BQCM中，

因?qū)蔷€BC與QM相互平分，

故該四邊形為平行四邊形，

從而有QB=MC，QC=MB.

在圓內(nèi)接四邊形ABQC中，由托勒密定理得

AB·QC+CA·QB=BC·AQ,

因AB=BC=CA, 故QC+QB=AQ.

在△BCQ中，易知

∠BQC=120°,∠BQP=∠CQP=60°,

又由三角形面積公式得

綜上可得

2395已知△ABC三邊長,面積,半周長,外接圓及內(nèi)切圓半徑分別為a,b,c,Δ,s,R,r.則

(1)

(黃兆麟 天津水運(yùn)高級技工學(xué)校 300456)

那么有

(2)

而顯然有 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,

兩邊平方整理可得

≥3abc(a+b+c)，

即不等式鏈(2)成立.從而命題不等式鏈(1)獲證.

2017年12月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2396形如n=16a(16b+15)(a,b∈N)的正整數(shù)不能表示成14個整數(shù)的四次方和.

(浙江省富陽二中 許康華 311400)

2397如圖，四邊形ABCD對角線相交于點(diǎn)O且AO=λOC．記∠ABO=∠1，∠ADO=∠2，∠CBO=∠3，∠CDO=∠4．求證：

(重慶市長壽龍溪中學(xué) 吳 波 401249)

2398設(shè)a,b,c>0,a+b+c≤3,求證：

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000)

2399如圖，已知⊙O上四點(diǎn)A、B、C、D，BA交CD于E，AC交BD于F，EF交⊙O于H、G，K為EF中點(diǎn)，以點(diǎn)A、K、C作圓交EG于T，求證：HF=TG.

(江西師范高等?？茖W(xué)校 王建榮 335000，溫州私立第一實驗學(xué)校 劉沙西 325000)

2400設(shè)△ABC中的三邊長分別為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，求證：

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)