張 強，劉曉宇，汪玉蘭，何 鳴

（遵義師范學(xué)院工學(xué)院，貴州遵義563006）

一種斜齒輪嚙合剛度的簡易求解方法

張 強，劉曉宇，汪玉蘭，何 鳴

（遵義師范學(xué)院工學(xué)院，貴州遵義563006）

通過對斜齒輪副嚙合過程進行分析，得到其嚙合線總長度的計算公式；并假定輪齒變形和受載均在接觸線長度方向上呈均勻分布，由此推導(dǎo)出斜齒輪時變嚙合剛度的近似計算公式。最后通過實例計算，對比了該方法與參考文獻所給方法計算結(jié)果的差異，結(jié)果表明該方法計算過程簡單，求解結(jié)果較為精確。

斜齒輪；嚙合過程；時變嚙合剛度；接觸線

在對齒輪傳動系統(tǒng)進行動力學(xué)分析時，確定系統(tǒng)的動態(tài)激勵往往是首要問題[1]。根據(jù)來源不同，齒輪系統(tǒng)的動態(tài)激勵主要分為外部激勵和內(nèi)部激勵。外部激勵主要是指驅(qū)動系統(tǒng)的主動力矩和負載設(shè)備的阻力矩；內(nèi)部激勵主要是指在齒輪嚙合過程產(chǎn)生的一些動態(tài)激勵，包括誤差激勵、嚙合沖擊激勵和剛度激勵。在這些激勵中，剛度激勵由于時變性和復(fù)雜性使其成為齒輪動態(tài)激勵求解的一大難題，尤其是對于斜齒輪而言，其嚙合過程中的輪齒變形在空間中呈螺旋狀分布，且是非線性的，因此求解難度非常大。從目前來看，對于斜齒輪剛度激勵的求解通常都是基于輪齒彈性變形理論[1-3]，常用的方法有積分法[4]和有限元法[5]。利用這兩種方法可以獲得十分精確的數(shù)值解，但是過程相當復(fù)雜，通常都需要高配置的計算機經(jīng)過長時間的計算后方可求得，因此大大增加了求解的經(jīng)濟成本和時間成本。針對現(xiàn)行方法需要進行大量計算等問題，本文提出了一種簡單、高效的斜齒輪嚙合剛度近似解法，并通過與常規(guī)方法的求解結(jié)果進行比較，論證了該方法的可行性。

1 斜齒輪副嚙合過程分析

斜齒輪副的嚙合過程如圖1所示。假設(shè)上面的齒輪為主動輪，下面的齒輪為從動輪,ro1、ro2分別為它們的基圓半徑，E1代表從動輪前端面的齒廓（實線部分），E2代表從動輪后端面的齒廓（虛線部分），兩者的齒形錯位角記為1，假設(shè)某端面的齒闊由進入嚙合到退出嚙合過程中所轉(zhuǎn)過的角度為2，N1、N2分別為理論嚙合線的起始點和終止點，B1、B2分別為實際嚙合線的起始點和終止點，n1為主動輪的轉(zhuǎn)速。

圖1 斜齒輪副嚙合過程

根據(jù)傳動過程中的幾何關(guān)系可得：

式中，mn為斜齒輪的法向模數(shù)；z1為主動輪的齒數(shù)；z2為從動輪的齒數(shù)；at為端面的壓力角；an為法向的壓力角；為斜齒輪的螺旋角；B為齒寬。

為了更加直觀、方便地對其嚙合過程進行分析，將其嚙合平面按基圓進行展開，如圖2所示。斜齒輪副的后端面首先在H點處進入嚙合，隨著主動輪的轉(zhuǎn)動，嚙合部位逐漸由一個點變成一條線，稱為接觸線，而且當斜齒輪副的前端面也處于嚙合狀態(tài)時，其接觸線達到最長，記為lmax；隨著嚙合的進行，后端面的齒廓在I點率先退出嚙合，直到前端面的齒廓在B2點退出嚙合時，兩個輪齒完全脫離嚙合。

圖2 斜齒輪副按基圓展開

2 斜齒輪副的接觸線長度計算

在圖2中，由斜齒輪副的傳動原理可知：

其中，lHI為H點到I點的距離；a為斜齒輪副的端面重合度，Pb為斜齒輪副的基節(jié)，b為基圓的螺旋角。據(jù)此可知，一對斜齒輪副的接觸線長度l1(t)在嚙合過程中先是逐漸變長，然后保持不變，接著再逐漸變短，直至為零，如圖3所示。

圖3 單對斜齒輪副接觸線長度變化曲線

假設(shè)接觸線由零變?yōu)樽铋L所需的時間為t1，再由最長逐漸變?yōu)榱闼璧臅r間為t2，則在圖3中t1代表橫坐標從B1'點到B1點所經(jīng)歷的時間，t2代表橫坐標從B1點到B2點所經(jīng)歷的時間。因為主動輪的轉(zhuǎn)速為n1，故而有：

由圖3可知，在一個嚙合周期內(nèi)單對斜齒輪副接觸線長度的數(shù)學(xué)表達式為：

將式（1）、（2）、（9）帶入式（10）中即可求得單條接觸線長度的完整表達式，它只與齒輪副的參數(shù)以及主動輪的轉(zhuǎn)速有關(guān)。通常斜齒輪副的重合度均大于2，這意味著任意時刻至少有2對齒同時參與嚙合。由于每對齒廓的接觸線在嚙合過程中都是一致變化的，因此其總的接觸線長度可以由每對齒廓的接觸線進行合成。假設(shè)一對輪齒的嚙合周期為Tm，則有：

下面以一對斜齒輪副為例，假設(shè)其重合度為2.7573，因此在一個嚙合周期內(nèi)，參與嚙合的齒對數(shù)會存在雙齒對與三齒對的交替變化，其多齒對下的接觸線長度變化如圖4所示。將圖4中多對輪齒的接觸線在同一時刻進行合成，可以得到總的接觸線長度變化情況，如圖5所示。由圖5可知，斜齒輪副的總接觸線長度存在周期性變化，主要是由于嚙合齒對的交替變化所致，當同時參與嚙合的齒對較多時，總的接觸線相對較長，反之則較短。

圖4 多對輪齒的接觸線變化情況

圖5 斜齒輪副總接觸線長度變化曲線

斜齒輪副總接觸線長度的數(shù)學(xué)表達式為：

根據(jù)文獻[6]可知，齒輪副的嚙合剛度是指使一對或幾對同時嚙合的精確輪齒在1mm齒寬上產(chǎn)生1um撓度所需的嚙合線上的載荷。因此，嚙合剛度主要是指輪齒載荷與輪齒變形的比值關(guān)系。假如在輪齒嚙合的過程中，輪齒上所受到的載荷沿接觸線方向呈均勻分布，并且輪齒的變形沿接觸線方向也是呈均勻分布的，則兩者的比值（即嚙合剛度）就只與接觸線的長度有關(guān)，并且呈正比關(guān)系，即當接觸線越長時，輪齒的嚙合剛度也越大，意味著輪齒發(fā)生單位變形所需要的力就越大，有關(guān)的數(shù)學(xué)表達式如下：

式中，k(t)為時變嚙合剛度，與時間有關(guān)；l(t)為總的接觸線長度，也具有時變特性；k0為比值系數(shù)。由此可知，嚙合剛度的時變特性主要是由接觸線的時變特性所致，而接觸線的時變特性主要是由嚙合齒對的交替變化所致，三者的時變周期完全一致，都為輪齒的嚙合周期T。將式（13）寫成傅里葉級數(shù)的形式有：

式中，km為斜齒輪副的平均嚙合剛度，an、bn為傅里葉系數(shù)，其計算公式為：

實際計算時，可先計算出斜齒輪副總的接觸線長度l(t)，并求出其均值l，然后再由國標 GB/ T3480-1997[6]查得斜齒輪副的平均嚙合剛度km，利用式（13）可由l和km求出比值系數(shù)k0，從而得到k(t)，最后再由式（14）、（15）便可得到時變剛度的近似數(shù)值解。

3 實例計算與誤差分析

以表1中所給的斜齒輪副為例，先根據(jù)齒輪副的參數(shù)查國標可得其平均嚙合剛度km=13.3548N/ (um·mm)，再求出平均接觸線長度l，可得其比值系數(shù)k0=0.3629，通過對k(t)進行六階多項式擬合可得如圖6所示的結(jié)果。

表1 斜齒輪副參數(shù)表

圖6 斜齒輪副的時變剛度及其六階多項式擬合曲線

為了進一步驗證該方法的合理性，將本次結(jié)果與文獻[7]所給方法計算出的結(jié)果進行對比，如圖7所示。

圖7 兩種方法所得結(jié)果對比

在圖7中，虛線是利用參考文獻所給方法的計算結(jié)果，實線是本方法的計算結(jié)果。從圖7可以看出，兩條曲線的變化趨勢十分相似，經(jīng)計算最大相對誤差max=0.0386，均值相對誤差=0.0058，可見兩者的計算結(jié)果非常接近。究其原因，主要是本方法仍采用國標中的計算公式來求解平均嚙合剛度，因此在計算結(jié)果中具有較高的均值逼近效果；其次，嚙合剛度的波動本質(zhì)上是由于嚙合齒對的交替變化所致，這一因素同樣會引起接觸線總長度的周期性變化，因此本方法利用接觸線長度的變化來擬合時變剛度的變化，因此在變化趨勢上也可取得較好的逼近效果，故而利用這種簡易方法可以較快地獲得時變嚙合剛度的數(shù)值解，且計算結(jié)果具有較高的參考價值。

4 結(jié)論

本文通過對斜齒輪副嚙合過程的分析，提出了通過計算嚙合線長度來近似求解時變嚙合剛度的簡易方法，即先求解嚙合線長度的表達式，再通過平均嚙合剛度求出常值系數(shù)，最后再對理論的時變剛度曲線進行六階多項式擬合即可得到所需的數(shù)值解。實例計算結(jié)果表明該方法簡單易行，計算結(jié)果具有較高的參考價值。

[1]李潤方,王建軍.齒輪系統(tǒng)動力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,1997.

[2]王建軍,張永忠,魏任之.齒輪輪齒彈性變形的計算方法評述[J].機械科學(xué)與技術(shù),1996,15(6):863-870.

[3]王龍寶.齒輪剛度計算及其有限元分析[D].鎮(zhèn)江:江蘇大學(xué), 2007.

[4]卜忠紅,劉更,吳立言.斜齒輪嚙合剛度變化規(guī)律研究[J].航空動力學(xué)報,2010,25(4):957-962.

[5]常樂浩,劉更,鄭雅萍,等.一種基于有限元法和彈性接觸理論的齒輪嚙合剛度改進算法[J].航空動力學(xué)報,2014,29(3): 683-688.

[6]GB/T3480-1997.中國機械工業(yè)標準[S].

[7]常樂浩,劉更,鄭雅萍,等.一種基于有限元法和彈性接觸理論的齒輪嚙合剛度改進算法[J].航空動力學(xué)報,2014,29(3): 683-688.

（責(zé)任編輯：朱 彬）

On the Simple Solution to of Helical Gear

ZHANG Qiang,LIU Xiao-yu,WANG Yu-lan,HE Ming
(Engineering School,Zunyi Normal College,Zunyi 563006,China)

The formula about the whole length of the meshing line is achieved after the analysis of the meshing course for gear pair.And if we suppose deformation and theloading assume even distribution in the direction ofcontactline,we can infertheapproximate formula for the meshing stiffness of helical gear,which is exemplified through some examples.After comparing the differences between the formula mentioned above and the one in the bibliography,we can find that the formula mentioned above is simpler and easier,and besides, the result from the formula is relatively accurate.

helical gear;meshing course;changing meshing stiffness;contact line

TH132

A

1009-3583（2017）-0118-04

2016-09-19

張 強，男，重慶人，遵義師范學(xué)院工學(xué)院講師，碩士。