王新掌， 郝少帥， 許孝卓， 李紅磊

(河南理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南 焦作 454000)

雙晶壓電懸臂梁俘能器的建模與仿真*

王新掌， 郝少帥， 許孝卓， 李紅磊

(河南理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南 焦作 454000)

針對(duì)雙晶片懸臂梁式壓電俘能器的優(yōu)化問(wèn)題，考慮懸臂梁末端位移與質(zhì)量塊質(zhì)心位移的差異，對(duì)Roundy數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了修正。通過(guò)ANSYS有限元軟件對(duì)俘能器建模并進(jìn)行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析，當(dāng)質(zhì)量塊長(zhǎng)度逐漸變大時(shí)，修正后數(shù)學(xué)模型對(duì)俘能器一階固有頻率和輸出電壓有更好的預(yù)測(cè)精度。研究了質(zhì)量塊形狀和負(fù)載對(duì)俘能器輸出特性的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)在質(zhì)量塊質(zhì)量不變時(shí)，提高質(zhì)量塊的質(zhì)心高度能提高俘能器的發(fā)電能力，對(duì)俘能器的結(jié)構(gòu)優(yōu)化具有借鑒意義。

懸臂梁； 壓電俘能器； ANSYS； 諧響應(yīng)分析

0 引 言

壓電振動(dòng)俘能器是利用壓電陶瓷的正壓電效應(yīng)來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)械能向電能轉(zhuǎn)換，與其它形式如電磁式、靜電式[1]振動(dòng)俘能器相比，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、成本低及能量密度大等優(yōu)點(diǎn)，在軍事、醫(yī)療和建筑等領(lǐng)域已開(kāi)展了相關(guān)的研究[2～4]。

為了對(duì)振動(dòng)式壓電發(fā)電機(jī)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，國(guó)內(nèi)外Roundy S[5],Erturk A[6],Kim M[7],賀學(xué)鋒等人[8]對(duì)懸臂梁式微型壓電振動(dòng)能采集器的理論模型已經(jīng)開(kāi)展了一些研究。另外，朱波[9]、龔俊杰[10]和姜德龍等人[11]通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)分析了壓電層和金屬層厚度、長(zhǎng)度以及質(zhì)量塊質(zhì)量大小對(duì)俘能器輸出特性的影響規(guī)律，而在保持質(zhì)量塊質(zhì)量不變前提下，只改變質(zhì)量塊形狀對(duì)俘能器輸出特性的影響卻很少有分析。

針對(duì)雙晶壓電懸臂梁式俘能器的集總參數(shù)模型，由于Roundy S等人[5]忽略了懸臂梁末端位移與質(zhì)量塊質(zhì)心位移的差異，導(dǎo)致在質(zhì)量塊與梁長(zhǎng)度相當(dāng)時(shí)，模型有較大的誤差。本文在Roundy模型的基礎(chǔ)上，考慮了質(zhì)量塊質(zhì)心位移與懸臂梁末端位移的差異，建立了修正后的數(shù)學(xué)模型，并利用ANSYS有限元分析軟件建模對(duì)Roundy模型和修正后的模型的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，同時(shí),研究了質(zhì)量塊長(zhǎng)度以及當(dāng)質(zhì)量塊質(zhì)量不變時(shí)質(zhì)心高度對(duì)俘能器一階固有頻率、電壓及功率輸出的影響規(guī)律，為懸臂梁壓電俘能器的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的指導(dǎo)。

1 懸臂梁壓電俘能器理論模型

典型的壓電雙晶懸臂梁結(jié)構(gòu)如圖1 所示，金屬層的上下面表面都貼有壓電陶瓷，固定端固定于基座中，梁的自由端附有質(zhì)量塊。

圖1 壓電雙晶懸臂梁結(jié)構(gòu)

圖2 數(shù)學(xué)模型

將俘能器簡(jiǎn)化為一個(gè)彈簧—質(zhì)量塊單自由度系統(tǒng)。

根據(jù)材料力學(xué)，梁的等效慣性矩為

(1)

式中b=(tc+tsh)/2，ηs=csh/cp；csh與cp分別為金屬層和壓電層的彈性系數(shù)。

距固定端距離為x處的懸臂梁彎矩為

(2)

根據(jù)歐拉—伯努利梁方程，梁撓度方程為

(3)

取x=lb，積分求得懸臂梁末端撓度

(4)

考慮懸臂梁末端位移與質(zhì)量塊質(zhì)心位移的差異，這里忽略質(zhì)量塊變形，將其簡(jiǎn)化為一個(gè)理想剛性體，因此,質(zhì)量塊轉(zhuǎn)角與懸臂梁自由端轉(zhuǎn)角相同,則質(zhì)量塊質(zhì)心撓度為

(5)

由壓電層內(nèi)的平均應(yīng)力

(6)

壓電片應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系

σ=cpS

(7)

解得

(8)

zm=k2S

(9)

那么，懸臂梁的等效剛度為

(10)

系統(tǒng)的固有頻率為

(11)

俘能器的等效電容為

(12)

式中ε為壓電材料的介電常數(shù)；當(dāng)雙晶壓電片串聯(lián)時(shí)a=1，并聯(lián)時(shí)a=2。

系統(tǒng)在幅值為Ain、頻率為ω的加速度外加激勵(lì)下，在壓電片兩級(jí)加電阻負(fù)載R，最大輸出電壓為

(13)

當(dāng)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率相等，即ω=ωn時(shí)，輸出電壓為

(14)

電阻負(fù)載下的等效輸出功率為

(15)

上式對(duì)R求導(dǎo)，得最優(yōu)電阻負(fù)載為

(16)

從式(14)可看出，壓電俘能器的電壓輸出受到外激勵(lì)大小以及其結(jié)構(gòu)尺寸、壓電轉(zhuǎn)換系數(shù)和壓電耦合系數(shù)的影響。

從式(5)中可以看出:當(dāng)lm?lb，即質(zhì)量塊長(zhǎng)度相對(duì)于金屬基板長(zhǎng)度很小時(shí)，可以近似用懸臂梁末端位移代替質(zhì)量塊質(zhì)心位移；質(zhì)量塊長(zhǎng)度與金屬基板長(zhǎng)度相當(dāng)或者差別不大時(shí)，懸臂梁末端位移代替質(zhì)量塊質(zhì)心位移會(huì)產(chǎn)生很大誤差。

2 數(shù)值計(jì)算與ANSYS仿真分析

為了使懸臂梁承受更大的形變，選用韌性較大的磷青銅為基板，質(zhì)量塊采用磷青銅，壓電陶瓷采用PZT—5H。

根據(jù)表1的材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)運(yùn)用有限元分析軟件ANSYS對(duì)雙晶壓電懸臂梁進(jìn)行耦合場(chǎng)分析。壓電片端為固定端，質(zhì)量塊端為自由端，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，得到系統(tǒng)的固有頻率。然后，在懸臂梁固定端施加加速度幅值為0.2 gn(1 gn=9.8m/s2)，激勵(lì)頻率為系統(tǒng)的固有頻率的正弦激勵(lì)，通過(guò)諧響應(yīng)分析得到系統(tǒng)的電壓—頻率響應(yīng)曲線。

表1 壓電懸臂梁參數(shù)表

2.1 質(zhì)量塊長(zhǎng)度對(duì)頻率和電壓影響

固定金屬基板和壓電片的尺寸不變，僅改變質(zhì)量塊的長(zhǎng)度，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，得到系統(tǒng)開(kāi)路情況下的固有頻率、輸出電壓與質(zhì)量塊長(zhǎng)度的關(guān)系。

由圖3可看出，雙晶串聯(lián)和并聯(lián)的固有頻率相等，并且隨著質(zhì)量塊長(zhǎng)度的增加而變?。粓D4則表明雙晶串聯(lián)時(shí)的輸出電壓是并聯(lián)時(shí)的2倍，并隨著質(zhì)量塊長(zhǎng)度的增加而變大。由于質(zhì)量塊的厚度和寬度不變，隨著長(zhǎng)度的增加，質(zhì)量塊的質(zhì)量也跟著線性增加，所以也可以得出結(jié)論：增加質(zhì)量塊的質(zhì)量可以有效降低系統(tǒng)的固有頻率，同時(shí)也提高了系統(tǒng)的輸出電壓。

圖3 頻率與質(zhì)量塊長(zhǎng)度關(guān)系

圖4 輸出電壓與質(zhì)量塊長(zhǎng)度關(guān)系

表2為兩種數(shù)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果的對(duì)比，其中,η1,η2分別為Roundy模型和修正后模型的頻率相對(duì)于ANSYS仿真的誤差，μ1,μ2分別為Roundy模型和修正后模型的輸出電壓相對(duì)于ANSYS仿真的誤差。從表2中可以看出，隨著質(zhì)量塊長(zhǎng)度的增加，Roundy模型對(duì)仿真結(jié)果的誤差越來(lái)越大，而修正后模型相對(duì)于仿真結(jié)果的誤差要小許多，說(shuō)明修正后的數(shù)學(xué)模型提高了對(duì)俘能器性能的預(yù)測(cè)精度，能更好地對(duì)俘能器性能進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表2 兩種模型結(jié)果相對(duì)于ANSYS仿真的誤差

2.2 質(zhì)量塊質(zhì)心高度對(duì)頻率和電壓的影響

在保持質(zhì)量塊質(zhì)量和寬度不變的情況下，分析質(zhì)量塊質(zhì)心高度與俘能器頻率和輸出電壓的關(guān)系。圖5為質(zhì)量塊寬度為8 mm，長(zhǎng)(mm)×厚(mm)分別為20×2,16×2.5,12×3.3,8×5和4×10，也即質(zhì)量塊質(zhì)心高度Hc分別為1,1.25,1.65,2.5,5 mm下雙晶片串聯(lián)條件下的頻率—電壓曲線。其中，質(zhì)心高度由1 mm升高到5 mm時(shí)，一階固有頻率由68.167 Hz變?yōu)?2.065 Hz，降低了23.6 %；輸出電壓由3.94 V變?yōu)?.54 V，升高了15.2 %。因此，在對(duì)系統(tǒng)整體質(zhì)量有限制的情況下，可優(yōu)先考慮選用質(zhì)心高的質(zhì)量塊來(lái)降低固有頻率的同時(shí)提高俘能器的電壓輸出。

圖5 質(zhì)量塊質(zhì)心高度對(duì)頻率—電壓曲線的影響

2.3 負(fù)載對(duì)俘能器輸出的影響

在雙晶片串聯(lián)前提下，分析了不同電阻負(fù)載對(duì)俘能器電壓、功率的影響。圖6為電阻從0.25 MΩ到2 MΩ不同取值下對(duì)應(yīng)的電阻兩端電壓和功率曲線，俘能器結(jié)構(gòu)尺寸如表1所示。從圖6中可以看出，隨著外加電阻不斷增大，俘能器輸出電壓不斷升高，而功率則是先增大后減小，在0.75 MΩ時(shí)功率最大，與式(16)理論計(jì)算得出的0.95 MΩ誤差為26.7 %，驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的正確性。

圖6 負(fù)載電阻與電壓、功率曲線

3 結(jié) 論

1)在考慮質(zhì)量塊中心撓度與懸臂梁末端撓度的差異下，修正后的數(shù)學(xué)模型對(duì)俘能器性能有更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，對(duì)壓電懸臂梁式俘能器的結(jié)構(gòu)優(yōu)化具有指導(dǎo)意義。

2)增加懸臂梁末端質(zhì)量塊的質(zhì)量，能有效提高俘能器的發(fā)電能力，同時(shí)也可有效地降低俘能器的固有頻率。另外，在質(zhì)量塊質(zhì)量一定的前提下，提高質(zhì)量塊質(zhì)心高度更有助于俘能器發(fā)電性能提高。

3)通過(guò)數(shù)學(xué)分析和仿真分析得出，在俘能器裝置確定的情況下，負(fù)載對(duì)俘能器的發(fā)電性能也有影響，要使輸出功率最大，需要匹配最優(yōu)負(fù)載。

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Modeling and simulation of bimorph cantilever piezoelectric energy harvester*

WANG Xin-zhang, HAO Shao-shuai, XU Xiao-zhuo, LI Hong-lei

(School of Electrical Engineering and Automation,Henan Polytechnic University,Jiaozuo 454000,China)

To solve the optimization problem of bimorph cantilever piezoelectric energy harvester,the Roundy mathematical model is modified,where difference between the deflection at the center of the proof mass and that at the end of the cantilever is considered.By using the finite element software of ANSYS，modal analysis and harmonic response analysis of energy harvester model are carried out.The results show that modified model is more accurate than Roundy model in predicting the first order natural frequency and output voltage of the harvester when the length of mass block grows.Influence law of mass block shape and load on energy harvester output characteristics is studied,it is found that when the weight of mass block is constant,mass block with a higher center of mass will make the energy harvester have a better generating capacity,and the result has reference significance for structural optimization of the piezoelectric energy harvester.

cantilever beam; piezoelectric energy harvester; ANSYS; harmonic response analysis

10.13873/J.1000—9787(2017)04—0015—04

2016—03—28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(U1504506,61074095)

TM 282

A

1000—9787(2017)04—0015—04

王新掌(1969-)，男，博士，副教授，主要從事電磁場(chǎng)理論及其應(yīng)用等方面的研究工作。