呂雪軍， 李國(guó)平， 邱 輝， 李劍鋒

(寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江 寧波 315211)

微位移系統(tǒng)中壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器遲滯建模*

呂雪軍， 李國(guó)平， 邱 輝， 李劍鋒

(寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江 寧波 315211)

針對(duì)超精密微位移系統(tǒng)中壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯非線性問題，提出了一種基于遺傳反向傳播(BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的壓電陶瓷遲滯非線性建模方法。通過電渦流位移傳感器獲取壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器不同電壓值下所對(duì)應(yīng)的位移值；利用六次多項(xiàng)式擬合獲得遲滯的數(shù)學(xué)模型，從而建立基于遺傳BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的遲滯模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：該遲滯模型在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測(cè)試下的最大誤差為 0.082 1 μm，平均絕對(duì)誤差為0.015 8 μm。表明，所建的遲滯模型能夠較精確地反映出壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯特性，同時(shí)為微位移控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供了一定的理論基礎(chǔ)。

壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器； 電渦流位移傳感器； 微位移系統(tǒng)； 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)； 遲滯非線性

0 引 言

目前，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器[1]相較于其他精密定位與位移輸出驅(qū)動(dòng)器，執(zhí)行單元具有帶寬大，加速度大，定位精度高等優(yōu)點(diǎn)。在超精密微位移系統(tǒng)中，十分需要壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的這些優(yōu)點(diǎn)。但是壓電材料的非線性與遲滯[2]等特點(diǎn)也給其應(yīng)用帶來不便。遲滯嚴(yán)重影響執(zhí)行器的輸出精度，會(huì)引起10 %～15 %的輸出位移誤差。消除誤差的常用方法是建立遲滯模型[4]，其中較為常用的遲滯模型主要有Preisach模型[5]、Maxwell模型[6]、Krasnosel’skii-Pokrovshii模型[7]、Prandtl-Ishlinskii模型[8]等。

本文采用六次多項(xiàng)式[9,10]對(duì)壓電陶瓷遲滯非線性進(jìn)行描述[11,12]，分別對(duì)遲滯主環(huán)的上升段和下降段、次環(huán)的上升段和下降段進(jìn)行擬合，并通過Matlab軟件運(yùn)行得到擬合函數(shù)。然后，基于擬合得到的遲滯數(shù)學(xué)模型來構(gòu)建擴(kuò)張輸入空間，將多對(duì)多映射關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)橐粚?duì)一的映射關(guān)系，由此建立起雙輸入單輸出的基于遺傳BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的壓電陶瓷遲滯模型[13,14]。

1 基于多項(xiàng)式擬合函數(shù)的非線性模型

1.1 建立多項(xiàng)式擬合非線性模型

通過實(shí)驗(yàn)獲取壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器不同電壓值下所對(duì)應(yīng)的位移值。使用驅(qū)動(dòng)電壓對(duì)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器輸入間隔為0.625 V的0～150 V,150～0 V,0～75 V,75～0 V的三角波電壓信號(hào)。利用電渦流位移傳感器[15]得到壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器對(duì)應(yīng)的遲滯回線，其中圖1為向壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器輸入三角波電壓得到的遲滯回線圖。

圖1 壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯回線

對(duì)遲滯曲線進(jìn)行多項(xiàng)式擬合來建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)方法是Matlab編程，屬于非線性回歸。對(duì)于像壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器這樣復(fù)雜的非線性可用高階多項(xiàng)式近似表達(dá)，可用式(1)擬合

Y=b0+b1x+b2x2+…+bnxn

(1)

式中x為電壓輸入值，y為輸入x電壓時(shí)對(duì)應(yīng)的位移值。如果令

Xi1=x,Xi 2=x2,…,Xin=xn,i=1,2,…,n

則式(1)可以轉(zhuǎn)化為多元線性方程

Y=b0+b1Xi1+b2Xi 2+…+bnXin

(2)

根據(jù)多元線性回歸，可以得到對(duì)應(yīng)的系數(shù)b0,b1,b2,…,bn。令

(3)

則回歸模型為

Y=Xβ

(4)

式中Y為觀測(cè)向量;X為設(shè)計(jì)矩陣，假設(shè)列滿秩時(shí)為X,即rank(X)=m；β為待定估計(jì)的未知參數(shù)向量。

通過計(jì)算可得β的點(diǎn)估計(jì)為

(5)

對(duì)于回歸方程來講，多項(xiàng)式的階數(shù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合程度密切相關(guān)，階數(shù)越高，擬合程度就越高，但是計(jì)算過程中的誤差也會(huì)因階數(shù)的變大而變大。由此可見，階數(shù)n應(yīng)當(dāng)取合理的值，過高或過低都會(huì)使回歸方程的精度降低，使結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。為了提高擬合效果并獲得盡可能小的計(jì)算誤差，經(jīng)實(shí)驗(yàn)比較，該遲滯回線在六次多項(xiàng)式擬合的情況下所得到的擬合效果最好。通過Matlab曲線擬合即可建立擬合函數(shù)模型，其中對(duì)主環(huán)上升曲線進(jìn)行方差分析得到表1。

表1 主環(huán)的上升曲線方差分析表

根據(jù)主環(huán)的上升曲線實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，由式(5)得

主環(huán)的上升曲線模型為

y=4.244 6×10-12x6-1.771 1×10-9x5+3.085 1×

10-7x4-3.356 7×10-5x3+0.002 538 2x2+

0.130 93x-0.046 753

(6)

根據(jù)擬合結(jié)果分析，0.999 96的可決系數(shù)表明擬合效果很好。分析擬合的方差數(shù)據(jù)，擬合的顯著性為高度顯著。按照上面的實(shí)驗(yàn)方法再對(duì)主環(huán)的下降曲線進(jìn)行擬合，以及對(duì)次環(huán)的上升與下降曲線進(jìn)行擬合，所得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別為0.999 97，0.999 92，0.999 79的可決系數(shù)，由此可見，擬合效果都很好。遲滯非線性模型分別如下：

主環(huán)的下降曲線模型

y=-7.441 3×10-12x6+3.452 5×10-9x5-5.880 6×

10-7x4+4.553 2×10-5x3-0.002 255 77x2+

0.338 94x+0.017 408

(7)

次環(huán)的上升曲線模型

y=-3.187 6×10-10x6+7.633 4×10-8x5-6.759 6×

10-6x4+0.000 257 87x3-0.002 696 9x2+

0.171 95x-0.003 622 9

(8)

次環(huán)的下降曲線模型

y=-3.424 7×10-10x6+8.129×10-8x5-7.499 8×

10-6x4+0.000 337 92x3-0.008 666 5x2+

0.383 97x-0.130 73

(9)

1.2 六次多項(xiàng)式擬合模型誤差分析

將六次多項(xiàng)式擬合模型與輸入三角波電壓下的位移曲線相比較，可以得到以下數(shù)據(jù)。給壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器輸入三角波電壓，得到誤差曲線如圖2。

圖2 模型值與測(cè)量值的誤差曲線

由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以得到六次多項(xiàng)式擬合模型在三角波電壓下的最大誤差為Emax=0.223 8 μm,最大建模誤差為0.67 %；平均絕對(duì)誤差為Eavg=0.042 7 μm；平均建模誤差為0.14 %。

2 壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器遲滯建模

2.1 遺傳算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模

壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器是非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)復(fù)雜，一般的數(shù)學(xué)方法很難做到準(zhǔn)確建模。在這樣的背景下，提出了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性器件建模方法。采用該方法無需了解器件的具體運(yùn)行程序，只需將器件的系統(tǒng)看作一個(gè)黑盒子，通過數(shù)據(jù)的輸入輸出訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，直到未知函數(shù)可以通過網(wǎng)絡(luò)來表達(dá)，再對(duì)系統(tǒng)的輸出進(jìn)行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)。由于壓電陶瓷過于復(fù)雜的非線性特征，在進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，表明擬合結(jié)果存在較大的局限性。需要解決的問題是，如何提高BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器遲滯性建模中的準(zhǔn)確度，因此，提出遺傳算法。

優(yōu)化過程包括五大要素，分別為種群的初始化、調(diào)用適應(yīng)度函數(shù)、選擇、交叉和變異。

1)種群初始化:采用實(shí)數(shù)編碼對(duì)個(gè)體進(jìn)行編碼，將個(gè)體視為一個(gè)實(shí)數(shù)串，由輸入、輸出、隱含層連接權(quán)值；輸入、輸出層值、隱含層閾值組成。任意個(gè)體都具有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全部閾值與權(quán)值，若網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是確定的，便可組成一個(gè)既定的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

2)適應(yīng)度函數(shù):根據(jù)個(gè)體得出BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的初始值與閾值，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練后，對(duì)系統(tǒng)輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)比模型的預(yù)測(cè)輸出值與期望輸出值，并計(jì)算兩者的誤差絕對(duì)值以及個(gè)體的適應(yīng)度值F如下

(10)

式中n為網(wǎng)絡(luò)輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)；yi為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的期望輸出；oi為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的預(yù)測(cè)輸出；k為系數(shù)。

3)選擇操作:遺傳算法中常見的選擇操作包括錦標(biāo)賽法、輪盤賭法等。本文在遲滯建模中使用輪盤賭法，該選擇操作以適應(yīng)度比例為準(zhǔn)，其中pi為每個(gè)個(gè)體i的概率

fi=k/Fi

(11)

(12)

式中Fi為個(gè)體i的適應(yīng)度值，根據(jù)適應(yīng)度值要小的原則，對(duì)個(gè)體進(jìn)行選擇前計(jì)算適應(yīng)度值的倒數(shù)；k為系數(shù)；N為種群個(gè)體數(shù)目。

4)交叉操作：在種群初始化時(shí)采用了實(shí)數(shù)編碼，為保證一致性，采用實(shí)數(shù)交叉法進(jìn)行交叉操作，其中,ak為第k個(gè)染色體，al為第l個(gè)染色體，兩者在j位進(jìn)行交叉操作的方法為

(13)

式中b為[0,1]間的隨機(jī)數(shù)。

5)變異操作:對(duì)第i個(gè)個(gè)體進(jìn)行變異操作，變異該個(gè)體的第j個(gè)基因aij，其變異操作為

(14)

式中amax為基因aij的上界；amin為基因aij的下界；f(g)=r2(1-g/Gmax)；r2為一個(gè)隨機(jī)數(shù)；g為當(dāng)前迭代次數(shù)；Gmax為最大進(jìn)化次數(shù)；r為[0,1]間的隨機(jī)數(shù)。

通過六次多項(xiàng)式擬合后，得到該模型的輸出位移為y，系統(tǒng)輸入電壓為u，將這兩者作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)，進(jìn)行遺傳算法優(yōu)化時(shí)，將實(shí)際位移輸出d作為輸出數(shù)據(jù)，這樣確保BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練時(shí)擁有豐富的信息量，使建立的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型準(zhǔn)確度更高。遲滯模型建立流程如圖3。

圖3 遲滯模型建立流程圖

上述分析可知，本次模型的建立設(shè)置了一個(gè)輸出參數(shù)，兩個(gè)輸入?yún)?shù)，由此可確定2—5—1為本次BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)表示模型的輸入層有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，輸出層有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，隱含層有5個(gè)節(jié)點(diǎn)，并可得出權(quán)值為15個(gè)，閾值為 6個(gè)，根據(jù)以上參數(shù)可計(jì)算出遺傳算法的編碼長(zhǎng)度為21。根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到的輸入輸出數(shù)據(jù)有724組，從中抽取500組用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，剩下的數(shù)據(jù)用于測(cè)試。個(gè)體適應(yīng)度值即為訓(xùn)練數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)誤差絕對(duì)值和。

2.2 遲滯模型誤差分析

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時(shí)，訓(xùn)練的性能指標(biāo)以網(wǎng)絡(luò)輸出的均方差為依據(jù)，圖4為網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中對(duì)應(yīng)的輸出誤差變化曲線。

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差曲線

從圖4的數(shù)據(jù)可知，本次遺傳算法優(yōu)化進(jìn)行了91次的迭代，最終得到最小的輸出誤差值8.255 4×10-7，結(jié)果表明該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較好的誤差性能。

抽取了500組訓(xùn)練數(shù)據(jù)，對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，在訓(xùn)練過程中記錄網(wǎng)絡(luò)的輸出數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的期望輸出數(shù)據(jù)，并得到如圖5所示的線性回歸分析。

圖5 線性回歸分析圖

由圖5可知，經(jīng)過遺傳算法優(yōu)化后，得到R=0.999的模型預(yù)測(cè)輸出位移值與期望位移值相對(duì)應(yīng)的復(fù)合相關(guān)系數(shù)，表明該模型具有較好的擬合程度。

對(duì)建立好的遲滯模型進(jìn)行224組數(shù)據(jù)的測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如圖6所示，為遲滯模型的誤差圖。

圖6 遲滯模型的誤差圖

由圖6實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以得到該遲滯模型的最大誤差為ErrorMAX=0.082 1μm,最大建模誤差為0.24 %；平均絕對(duì)誤差為ErrorAVG=0.015 8μm；平均建模誤差為0.05 %。

3 結(jié)束語

本文針對(duì)壓電材料需要補(bǔ)償?shù)倪t滯特性，并具體分析了遺傳算法在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模中體現(xiàn)出的諸多優(yōu)點(diǎn)，提出了基于六次多項(xiàng)式擬合的遺傳算法對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化來建立壓電陶瓷遲滯模型。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：基于多項(xiàng)式擬合的遺傳算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測(cè)試下的最大誤差為ErrorMAX=0.082 1μm；最大建模誤差為0.24 %；平均絕對(duì)誤差為ErrorAVG=0.015 8μm；平均建模誤差為0.05 %。結(jié)果表明：該遲滯模型能夠準(zhǔn)確地反映出壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯特性，并為微位移控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

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Hysteresis modeling of piezoelectric ceramic actuator in micro displacement system*

Lü Xue-jun， LI Guo-ping， QIU Hui， LI Jian-feng

(Faculty of Mechanical Engineering and Mechanics,Ningbo University,Ningbo 315211,China)

Aiming at problem of hysteresis nonlinearity of piezoelectric ceramic actuator in ultra precise micro displacement system,a nonlinear hysteresis modeling method based on genetic back propagation(BP)neural network is proposed.Get the piezoelectric actuator corresponding displacement values under different voltage values by current eddy displacement sensor;secondly,mathematical model of hysteresis is obtained using six polynomial fitting,so as to establish hysteresis model based on genetic BP neural network.Experimental results show that the maximum error of the hysteresis model is and the average absolute error is.It shows that the hysteresis model can reflect the hysteresis characteristics of piezoelectric actuator accurately,and provides a theoretical basis for the design of micro displacement control system.

piezoelectric ceramic actuator; eddy current displacement sensor; micro displacement system; neural network; hysteresis nonlinearity

10.13873/J.1000—9787(2017)04—0027—04

2017—02—06

浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY15E050005)

TP 391.7

A

1000—9787(2017)04—0027—04

呂雪軍(1993-),男，碩士研究生,研究方向?yàn)榫芗庸づc測(cè)控。

李國(guó)平(1967-)，男，博士，教授，主要從事精密加工與機(jī)電測(cè)控、振動(dòng)控制的研究工作，E—mail:liguoping@nbu.edu.cn。