涂洋，楊桂元

（安徽財經(jīng)大學(xué)數(shù)量經(jīng)濟研究所，安徽 蚌埠 233000）

基于IOWGA算子的江蘇人均GDP的組合預(yù)測模型

涂洋，楊桂元

（安徽財經(jīng)大學(xué)數(shù)量經(jīng)濟研究所，安徽 蚌埠 233000）

選取1990—2009年江蘇省人均GDP為樣本數(shù)據(jù)，2010—2014年江蘇省人均GDP作為驗證數(shù)據(jù)，分別建立了ARIMA模型、指數(shù)平滑模型和多元回歸模型對未來3年的江蘇省人均GDP進行預(yù)測，然后在前3種單向預(yù)測方法基礎(chǔ)上建立基于誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均（IOWGA）算子組合預(yù)測模型，再對此模型進行相應(yīng)的效率評價.最后用組合預(yù)測模型對未來3年江蘇省人均GDP進行預(yù)測.結(jié)果表明：相比于上述3種單項預(yù)測方法，基于IOWGA算子的組合預(yù)測模型的預(yù)測精度更高.預(yù)測結(jié)果表明2015—2017這3年，江蘇人均GDP會繼續(xù)增長，人民生活水平將繼續(xù)提高.

IOWGA算子；組合預(yù)測模型；人均GDP

1 引言

人均GDP是體現(xiàn)一個國家或地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展和生活水平的重要指標(biāo)，不僅考慮到整體經(jīng)濟水平，還考慮到人口因素對經(jīng)濟的影響.相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，1990年江蘇省人均GDP僅為2109元，而截止到2014年末江蘇人均GDP已經(jīng)增長到81874元，反映了二十多年來江蘇省經(jīng)濟一直呈穩(wěn)定上升趨勢.那么未來幾年江蘇人均GDP是否像前二十多年一樣仍呈一種快速增長的狀態(tài)，需要建立模型進行預(yù)測.通過對未來的人均GDP的預(yù)測分析可以為政府制定地區(qū)經(jīng)濟目標(biāo)提供參考，同時對政府解決因人民生活水平提高所引起的一系列社會問題提供一定幫助，這對于一個地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展和社會和諧都有重要意義.

目前，國內(nèi)有許多有關(guān)江蘇人均GDP的研究.例如陳海波［1］、陳潔［2］都通過ARIMA模型的建立預(yù)測了未來江蘇人居GDP變化情況，結(jié)果表明未來江蘇省人均GDP都將處于高速增長狀態(tài)，江蘇省經(jīng)濟仍然將保持一個快速發(fā)展的趨勢.周慕鴻［3］基于SHTO理論，建立了SHTO（即江蘇省住宅投資占GDP的百分比）與江蘇人居GDP的多元回歸模型，結(jié)果表明SHTO與江蘇省人均GDP存在一種倒U型關(guān)系，并且預(yù)測出江蘇人均GDP也將快速增長.上述研究成果對江蘇人均GDP的預(yù)測都是建立單項預(yù)測模型.然而這些單項預(yù)測方法利用的數(shù)據(jù)信息較少，丟失的信息較多，因此預(yù)測的結(jié)果誤差較大.比起單向預(yù)測方法，建立組合預(yù)測模型可以吸取各單向預(yù)測方法的優(yōu)點，規(guī)避單向預(yù)測方法的缺點，提高預(yù)測精度.本文引入了誘導(dǎo)有序加權(quán)對幾何平均（IOWGA）算子，建立組合預(yù)測模型對江蘇人均GDP進行預(yù)測.

基于IOWGA算子的組合預(yù)測模型，國內(nèi)許多學(xué)者已將其應(yīng)用到各個領(lǐng)域.例如：王秋萍［4］在灰色預(yù)測模型和3次指數(shù)平滑模型兩種單向預(yù)測方法的基礎(chǔ)上建立了IOWGA組合預(yù)測模型對陜西省城鎮(zhèn)居民人均可支配收入進行了預(yù)測.另外顏筱紅［5］對我國能源消費的預(yù)測也建立了基于IOWGA算子的組合預(yù)測模型，其中選取的3種單項方法分別是趨勢外推模型、GM（1，1）模型，3次指數(shù)平滑模型，結(jié)果表明組合預(yù)測模型是有效、可靠的.國內(nèi)在對GDP的研究中也有選取該模型進行分析的.例如：莫頌娟［6］等人分別建立了回歸與時間序列組合模型、ARIMA模型和GM（1，1）先對中國GDP總量進行預(yù)測，接著引入IOWGA算子，將3種單向預(yù)測方法組合起來對中國GDP總量進行預(yù)測，結(jié)果表明基于IOWGA算子組合預(yù)測模型明顯比其他3種單向預(yù)測方法預(yù)測精度更高.

結(jié)合并參考上述相關(guān)基于IOWGA算子組合模型應(yīng)用的參看文獻，我們在預(yù)測江蘇人均GDP時，首先分別選用了ARIMA模型、指數(shù)平滑法、多元回歸模型3種單項預(yù)測模型，接著再引入誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均（IOWGA）算子，建立誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均組合預(yù)測模型對江蘇人均GDP進行預(yù)測并對模型進行評價.最后用建立的組合預(yù)測模型對未來3年江蘇省人均GDP進行預(yù)測.

2 江蘇省人均GDP的單項預(yù)測

本文選取了1990—2009年江蘇省人均GDP作為樣本區(qū)間建立預(yù)測模型，將2010—2014江蘇省人均GDP作為驗證數(shù)據(jù)的區(qū)間，選擇的變量有江蘇省人均GDP、江蘇省第三產(chǎn)業(yè)就業(yè)人數(shù)、江蘇省預(yù)算財政支出，數(shù)據(jù)來自《江蘇省統(tǒng)計年鑒》.

圖1 1990—2009年江蘇省人均GDP趨勢圖

表1 dInRGDP的平穩(wěn)性檢驗

2.1 ARIMA預(yù)測模型

2.1.1 人均GDP平穩(wěn)性檢驗

為了消除異方差性，將人均GDP進行對數(shù)化處理，記為InRGDP.根據(jù)圖1InRGDP趨勢圖，可以看出InRGDP具有明顯的上升趨勢，說明此序列為非平穩(wěn)序列，我們要對該序列進行一階差分使其平穩(wěn)，從而得到dInRGDP.對dInRGDP做單位根檢驗，如表1所示，dInRGDP序列的ADF檢驗的t值小于1%顯著性水平的臨界值，因此我們可以認為序列dInRGDP平穩(wěn).

2.1.2 模型的建立與檢驗

圖2為dInRGDP的自相關(guān)和偏相關(guān)圖，通過自相關(guān)和偏相關(guān)圖可以看出滯后階數(shù)為1、2和4時自相關(guān)系數(shù)及偏自相關(guān)系數(shù)均顯著不為零，因此可取p=1,p=2,p=4及q=1,q=2,q=4，為進一步確定模型中的參數(shù)p,q，經(jīng)過多次嘗試建立多個模型通過AIC、HQ和SC準(zhǔn)則定理進行判斷，及通過變量個數(shù)較少的原則，綜合考慮模型的整體效果，我們將模型確定為ARIMA（1，1，1），具體的表達形式為：

在檢驗?zāi)Ｐ褪欠窈侠頃r，我們還需判斷殘差是否為白噪聲序列，如果殘差不是白噪聲序列，說明模型信息沒有利用完全，可以對模型進行改進.當(dāng)殘差為白噪聲序列時，認為該模型通過檢驗.根據(jù)圖3給出的殘差的自相關(guān)和偏相關(guān)圖，根據(jù)文獻［7］知道最右側(cè)的Prob列的數(shù)字表示相應(yīng)自由度條件下χ2統(tǒng)計量取值大于相應(yīng)Q值的概率.從圖3可知最右側(cè)的Prob列概率值都大于0.05，這說明所有Q值都小于檢驗水平為0.05的χ2分布臨界值（位于臨界值左側(cè)），說明殘差為白噪聲序列，模型通過檢驗.

利用ARIMA（1，1，1）模型對2010—2014年江蘇人均GDP的預(yù)測結(jié)果如表2所示.

2.2 指數(shù)平滑模型預(yù)測模型

指數(shù)平滑法作為一種時間序列的預(yù)測方法，具有預(yù)測準(zhǔn)確，方法簡單等優(yōu)點，尤其對于那些不存在明顯變化趨勢的序列預(yù)測效果良好.對于變化趨勢明顯的序列，我們采用二次指數(shù)平滑法對其預(yù)測，效果會更好.所謂的二次指數(shù)平滑法就是在一次指數(shù)平滑再進行一次平滑.

圖2 dInRGDP的自相關(guān)和偏相關(guān)圖

圖3 殘差序列自相關(guān)、偏自相關(guān)圖

表2 ARIMA（1，1，1）預(yù)測結(jié)果

根據(jù)圖1我們可以看出江蘇省人均GDP增長趨勢明顯，我們采用二次指數(shù)平滑法預(yù)測江蘇省人均GDP.

一次指數(shù)平滑預(yù)測方程形式：

二次指數(shù)平滑預(yù)測方程的形式為：

表3 指數(shù)平滑法預(yù)測結(jié)果

2.3 多元線性回歸預(yù)測模型

多元回歸模型是用多個解釋變量來預(yù)測某一變量的預(yù)測方法.我們知道財政支出可以刺激GDP的增長，隨著財政支出的逐年增加，國內(nèi)生產(chǎn)總值呈現(xiàn)不斷增長的態(tài)勢，其原因是財政支出拉動了內(nèi)需，帶動了GDP的增長，根據(jù)文獻［8］，可知財政支出與人均GDP有較為明顯的線性關(guān)系，因此財政支出可以作為影響人均GDP的解釋變量.另外我們知道第三產(chǎn)業(yè)在國民經(jīng)濟中始終占有舉足輕重的地位，它不僅影響人民的生活還帶動了其他產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，進而影響GDP和人均GDP.根據(jù)文獻［9］，可知人均GDP與第三產(chǎn)業(yè)就業(yè)人數(shù)有一定的聯(lián)動關(guān)系，因而可以把第三產(chǎn)業(yè)就業(yè)人數(shù)作為影響人均GDP的又一解釋變量.為了進一步確定第三產(chǎn)業(yè)就業(yè)人數(shù)（x1）、財政支出（x2）作為人均GDP的解釋變量，我們進行以下協(xié)整檢驗.

首先對第三產(chǎn)業(yè)（x1）和人均GDP做協(xié)整檢驗.

第一步，用OLS法估計協(xié)整回歸方程得到方程：

第二步，檢查殘差序列的單整性，看看殘差ε序列是否為平穩(wěn)序列.我們對殘差進行單位根檢驗，其結(jié)

果如表4所示.

表4 ε的ADF單位根檢驗

由表4可知，回歸方程的殘差是平穩(wěn)序列，所以我們認為第三產(chǎn)業(yè)與人均GDP存在協(xié)整關(guān)系.

其次，對財政支出（x2）和人均GDP做協(xié)整檢驗.

第一步，用OLS法估計協(xié)整回歸方程得到方程：

表5 ε的ADF單位根檢驗

第二步，檢查殘差序列的單整性，看看殘差ε序列是否為平穩(wěn)序列.我們對殘差進行單位根檢驗，其結(jié)果如表5所示.

由表5可知，回歸方程的殘差是平穩(wěn)序列，所以我們認為財政支出與人均GDP存在協(xié)整關(guān)系.

根據(jù)上述的協(xié)整檢驗，以江蘇省人均GDP（RGDP）為被解釋變量，選取江蘇省第三產(chǎn)業(yè)就業(yè)人數(shù)（x1）和財政支出（x2）為解釋變量建立回歸模型，模型結(jié)果如下：

從模型回歸結(jié)果看出各項系數(shù)均通過顯著性檢驗，R2值很大說明模型擬合效果好，用該模型預(yù)測江蘇人均GDP的結(jié)果如表6所示.

表6 多元線性回歸模型預(yù)測結(jié)果

3 基于IOWGA算子的江蘇省人均GDP組合預(yù)測模型

3.1 IOWGA算子概念

定義1［10-11］：設(shè)為n元函數(shù)，設(shè)是與OW相關(guān)的加權(quán)向量，滿足：令，公式中的bi表示x1,x2,…,xn按大小順序排列的第i大的數(shù)，我們稱fW為n維有序加權(quán)幾何平均算子，記為OWGA算子.

通過定義1，我們可以知道OWGA算子是先對n個數(shù)按從小到大順序排列之后進行的有序加權(quán)幾何平均，權(quán)系數(shù)wi與xi無關(guān)，它是與x1,x2,…,xn按大小排列的第i大的數(shù)bi有關(guān).

定義2［10-11］：設(shè)m個二維數(shù)向量

fW稱為由u1,u2,…,um所產(chǎn)生的m維誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子，記為IOWGA算子.其中，ui稱為ai的誘導(dǎo)值中按從大到小順序排列的第i個大的數(shù)的下標(biāo).是OWGA加權(quán)向量，滿足

從定義2，我們可以知道IOWGA算子是對誘導(dǎo)值u1,u2,…,um按從大到小順序排列所對應(yīng)的a1,a2,…,an中的數(shù)進行有序加權(quán)幾何平均，wi與ai的大小位置無關(guān)，而是與誘導(dǎo)值所在的位置有關(guān).

3.2組合預(yù)測模型的建立

設(shè)某一指標(biāo)觀察值序列為xt,t=1,2,…,N，假設(shè)有m個單項預(yù)測方法對該序列進行預(yù)測；第i種單項預(yù)測方法第t時刻的預(yù)測值記為xit,t=1,2,…,N,i=1,2,…m；w1,w2,…,wm為m種單項預(yù)測方法在組合預(yù)測中的加權(quán)系數(shù)

本文我們把預(yù)測精度uit∈[0,1]作為預(yù)測值的誘導(dǎo)值，預(yù)測精度我們用如下公式表示［12-14］：

其中uit表示第i種方法在t時刻的預(yù)測精度，即為xit的誘導(dǎo)值.這m種單項預(yù)測方法在t時刻的預(yù)測精度與其對應(yīng)的預(yù)測值就組成m個二維向量為各種單項預(yù)測方法在組合預(yù)測中的OWGA的加權(quán)向量，我們按照從大到小的順序?qū)種單項預(yù)測方法在t時刻的預(yù)測精度序列u1t,u2t,…,umt進行排列，u-index(it)表示第i大的預(yù)測精度的下標(biāo).我們令：

（6）式為u1t,u2t,…,umt在t時刻所產(chǎn)生的IOWGA組合預(yù)測值.該算子考慮到單項預(yù)測方法在各時刻差異，組合預(yù)測的權(quán)重與各個單項預(yù)測方法在各個時刻的預(yù)測精度大小有關(guān).

為了求解方便，我們將對數(shù)誤差平方作為優(yōu)化準(zhǔn)則.令eu-index(it)=Inxt-Inxu-index(it)，則前N期的對數(shù)預(yù)測誤差平方和S可以表示為：

在對數(shù)誤差平方和最小準(zhǔn)則下，基于IOGWA算子組合預(yù)測模型形式如下：

基于（8）式的組合預(yù)測模型，將上文的3種單項預(yù)測方法ARIMA、指數(shù)平滑、多元線性回歸用IOWGA算子建立組合預(yù)測模型.利用lingo11解（9）得到最優(yōu)權(quán)向量為W=（0.8727，0.1273，0）.因此用組合預(yù)測方法對t時刻江蘇省人均GDP的預(yù)測值可以表示為

根據(jù)模型我們對2010—2014年江蘇省人均GDP的預(yù)測結(jié)果和精度如表7所示.

對比表2、表3、表4、表5的預(yù)測結(jié)果和精度，我們發(fā)現(xiàn)組合預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果明顯優(yōu)于其他3種單項預(yù)測結(jié)果.

3.3 模型的評價

為了體現(xiàn)組合模型比單項預(yù)測方法更加有效、精確，在建立組合預(yù)測模型時我們還要選取一定指標(biāo)對模型進行評價.對組合預(yù)測評價我們選取如下指標(biāo)：

表7 組合預(yù)測模型模型預(yù)測結(jié)果

表6給出了單項預(yù)測方法和組合預(yù)測方法這5個誤差評價指標(biāo)的對比，由表8結(jié)果可以看出比起3種單項預(yù)測方法的結(jié)果，基于IOWGA算子組合預(yù)測的結(jié)果更加貼近于真實值.

3.4 江蘇省人均GDP的預(yù)測

利用1990—2014年江蘇人均GDP、江蘇省第三產(chǎn)業(yè)人數(shù)、江蘇省財政支出等數(shù)據(jù)，運用上述建立的IOWGA算子的組合預(yù)測模型，對2015—2017年江蘇省人均GDP進行預(yù)測.因為2015—2017年江蘇省人均GDP的真實值未知，我們無法知道單項預(yù)測方法的預(yù)測精度，也就沒法利用精度誘導(dǎo)值計算出最優(yōu)權(quán)系數(shù).要想利用上述組合預(yù)測模型預(yù)計未來的預(yù)測值，需要對單項預(yù)測方法在未來年份的預(yù)測精度做近似估計.根據(jù)文獻［15］，對于未來第l年的預(yù)測精度可以用第i種方法在最近l年的擬合平均精度表示，擬合平均精度公式為

其中，ui(l)表示第i種方法在第N+l的預(yù)測精度，uit表示第i種方法在t時刻的預(yù)測精度，N表示未來預(yù)測的起點（樣本數(shù)據(jù)總量），明顯可知，本文N=25.由公式（9）可以計算出2015年ARIMA，指數(shù)平滑，多元回歸的預(yù)算精度分別為0.827 3，0.840 8，0.972 7，因此按照它們預(yù)算精度從大到小排名順序，確定它們在組合預(yù)測中的權(quán)系數(shù)分別為0，0.127 3，0.872 7.同理可以確定2016年ARIMA，指數(shù)平滑，多元回歸單項預(yù)測方法在組合預(yù)測中的權(quán)系數(shù)分別為0.127 3，0，0.872 7；2017年ARIMA，指數(shù)平滑，多元回歸單項預(yù)測方法在組合預(yù)測中的權(quán)系數(shù)分別為0.127 3，0，0.872 7.

對于未來江蘇省人均GDP的預(yù)測，先利用1990—2014年江蘇省人均GDP數(shù)據(jù)根據(jù)ARIMA模型及指數(shù)平滑模型給出2015—2017年單項預(yù)測，對于多元線性回歸模型，先對各因素進行預(yù)測然后根據(jù)式（3）計算2015—2017年的江蘇人均GDP.最后根據(jù)前面分析確定的2015—2017年3種單項方法的權(quán)系數(shù)，利用基于IOWGA算子的組合預(yù)測模型求出2015—2017年江蘇省人均GDP的預(yù)測值.其預(yù)測結(jié)果如表9所示.

表9 2015—2017江蘇省人均GDP預(yù)測值

根據(jù)表7組合的預(yù)測結(jié)果，可以計算出2015年較前一年的人均GDP增長率為13.8%，2016，2017年的增長率分別為24.1%、17.9%.由此可以看出未來幾年內(nèi)江蘇人均GDP依然處于快速增長的狀態(tài)，這對于江蘇省的經(jīng)濟發(fā)展，江蘇人民生活水平的提高有一定的參考價值.

4 結(jié)束語

在有序加權(quán)幾何平均（IOWGA）算子的組合預(yù)測模型的理論基礎(chǔ)上，首先分別用ARIMA模型、指數(shù)平滑模型和多元回歸模型3種單項預(yù)測方法對1990—2009江蘇人均GDP進行預(yù)測，隨后用這3種單向預(yù)測方法的誤差為誘導(dǎo)值建立IOWGA算子的組合預(yù)測模型，并建立預(yù)測有效評價指標(biāo).從結(jié)果可以看出，有序加權(quán)幾何平均（IOWGA）算子的組合預(yù)測模型的預(yù)測精度明顯高于其他3種單向預(yù)測方法.說明組合模型克服了單項預(yù)測和傳統(tǒng)組合預(yù)測的缺點，大大提高了預(yù)測精度.在此基礎(chǔ)上，采用有序加權(quán)幾何平均（IOWGA）算子的組合預(yù)測模型對2015—2017 3年的人均GDP進行預(yù)測.從預(yù)測結(jié)果可以看出未來幾年江蘇省經(jīng)濟仍將快速發(fā)展，人民生活將進一步提高.

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Combination Forecasting Model of GDP Per Capital of Jiangsu Province Based on IOWGA Operator

TU Yang,YANG Guiyuan
(Institute of Quantitative Economics,Anhui University of Finance and Economics,Bengbu 233000,China)

By using the sample data of GDP per capital from 1990 to 2009 and the verification data of GDP per capital from 2010 to 2014 in Jiangsu province respectively,the authors of this paper established three single forecasting models with ARIMA model,multiple regression and exponential smoothing to predict GDP per capital in the next three years in Jiangsu province.Then the paper purposed the concept of induced ordered weighted geometric averaging(IOWGA)operators,established the new combination forecasting model,and made the appropriate evaluation on the basis of three kinds of the single forecasting model.Finally,GDP per capital in Jiangsu province in the next three years was predicted in the paper by the above combination forecasting model.The results show that the combination forecasting model is more accurate and effective.The forecasting results of combination forecasting model show that per capital GDP will be grown rapidly,and that people's living standards will be further improved in the next three years.

IOWGA operator;combination forecasting;GDP per capital

F224.0

A

1008-2794（2017）02-0078-07

2016-03-24

國家社科基金項目“組合預(yù)測模型與方法創(chuàng)新及其優(yōu)化理論研究”（12BTJ008）

涂洋，碩士研究生，研究方向：微分動力系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)動態(tài)分析，E-mail：18895689136@163.com.