王合文，吳玉梅，鄭方燕，但敏，樊星辰

(重慶理工大學(xué)機(jī)械檢測(cè)技術(shù)與裝備教育部工程研究中心，時(shí)柵傳感及先進(jìn)檢測(cè)技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400054)

基于納米時(shí)柵傳感器安裝偏差的測(cè)量精度分析研究*

王合文，吳玉梅，鄭方燕*，但敏，樊星辰

(重慶理工大學(xué)機(jī)械檢測(cè)技術(shù)與裝備教育部工程研究中心，時(shí)柵傳感及先進(jìn)檢測(cè)技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400054)

為了解析安裝參數(shù)與測(cè)量精度的關(guān)系，根據(jù)納米時(shí)柵的基本測(cè)量原理，構(gòu)建出與動(dòng)、定尺間距d0和正對(duì)面積變化量ΔS相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)理論推導(dǎo)，分析了動(dòng)尺在yz平面傾斜、xy平面偏轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)導(dǎo)致兩路駐波幅值不等、相位偏移，從而給測(cè)量結(jié)果帶來(lái)二次誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明通過(guò)調(diào)整動(dòng)尺在yz平面與xy平面上的安裝，對(duì)極內(nèi)原始誤差由4.86 μm降低至0.84 μm，證明動(dòng)尺在yz平面傾斜、xy平面偏轉(zhuǎn)為產(chǎn)生二次誤差的主要原因。在行程200 mm測(cè)量范圍內(nèi)，傳感器誤差峰峰值為400 nm。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性，該分析為傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化和實(shí)驗(yàn)方法的改進(jìn)提供了有力的支撐，為進(jìn)一步提升傳感器精度提供了可靠的理論依據(jù)。

納米測(cè)量;時(shí)柵;安裝;誤差理論

納米技術(shù)與生物技術(shù)、信息技術(shù)并列為21世紀(jì)的三大科技，是21世紀(jì)高技術(shù)競(jìng)爭(zhēng)的制高點(diǎn)［1］。而納米位移測(cè)量技術(shù)及器件是納米數(shù)控機(jī)床、極大規(guī)模集成電路專用設(shè)備和國(guó)防軍工特殊需求等超精密高端裝備的核心技術(shù)和關(guān)鍵功能部件，是實(shí)現(xiàn)納米精度定位與控制的“眼睛”，直接決定和影響著主機(jī)的性能［2］。目前，國(guó)內(nèi)外主要研究的是納米光柵技術(shù)。其測(cè)量原理對(duì)制造工藝和加工工藝要求苛刻，在大面積的范圍內(nèi)對(duì)等周期細(xì)密柵線很難保證結(jié)構(gòu)的均勻性和一致性制造［3－5］。因此，很難解決大量程與高精度之間的矛盾［6］。針對(duì)上述矛盾，作者所在團(tuán)隊(duì)在前期時(shí)柵研究的基礎(chǔ)上提出了一種利用交變電場(chǎng)耦合的納米時(shí)柵位移傳感器［7－8］。利用時(shí)空轉(zhuǎn)換理論［9－11］將空間位移轉(zhuǎn)換成時(shí)間量測(cè)量，利用高頻時(shí)鐘脈沖作為計(jì)量基準(zhǔn)來(lái)提高測(cè)量精度和分辨率［12］。

安裝參數(shù)對(duì)傳感器的測(cè)量精度有著直接影響，尤其在微納米測(cè)量領(lǐng)域，任何微小的安裝偏差都將嚴(yán)重影響傳感器的測(cè)量精度。因此，研究納米時(shí)柵傳感器安裝參數(shù)與誤差規(guī)律之間的相互關(guān)系顯得至關(guān)重要。

基于前期課題組對(duì)納米時(shí)柵傳感器測(cè)量理論、電場(chǎng)分布及信號(hào)處理方法的研究［7－8］，本文從傳感器的結(jié)構(gòu)與安裝出發(fā)，建立與動(dòng)、定尺間距d0和正對(duì)面積變化量ΔS相關(guān)的數(shù)學(xué)模型及安裝模型，通過(guò)對(duì)模型的理論分析找出了動(dòng)尺在yz平面傾斜及xy平面偏轉(zhuǎn)時(shí)所引入的誤差諧波成分，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到驗(yàn)證。本研究對(duì)納米時(shí)柵傳感器參數(shù)優(yōu)化和實(shí)驗(yàn)方法的改進(jìn)具有理論指導(dǎo)意義。

1 納米時(shí)柵工作原理

納米時(shí)柵傳感器由定尺和動(dòng)尺部分組成，圖1為納米時(shí)柵傳感器結(jié)構(gòu)示意圖，上面部分為分布有兩排正弦極片的動(dòng)尺，下面部分為分布兩排方形極片的定尺。其中，定尺極片分別奇、偶相連并等間隔均勻分布，組成起始位置相差1/2極片寬度的A、B兩相激勵(lì)。

圖1 納米時(shí)柵傳感器示意圖

將定尺與動(dòng)尺正對(duì)平行放置，形成沿x方向的左、右兩組差動(dòng)電容，并在奇、偶極片上分別施加大小相等，符號(hào)相反的正弦激勵(lì)信號(hào)和余弦激勵(lì)信號(hào)。

納米時(shí)柵傳感器可看成一個(gè)帶負(fù)載的兩組差動(dòng)電容組合，任意一路的等效電路如圖2所示。

圖2 納米時(shí)柵等效電路

根據(jù)電路的疊加定理，求得輸出為:

式中:Zb1、Zb2分別為輸出Uo后端負(fù)載ZL與C1、C2并聯(lián)的阻抗，Z1、Z2分別為C1、C2容抗，U+、U_為大小相等，相位相反的激勵(lì)信號(hào)。

設(shè)輸入激勵(lì)信號(hào)為 Ui=U+－U－，則式(1)可化為:

設(shè)在某一靜態(tài)位置的時(shí)，C1、C2正對(duì)面積分別為S1、S2，動(dòng)、定尺間距為d0，將電容公式C=εS/d和容抗公式Z=1/2πfC含參數(shù)帶入式(2)，則單組輸出為:

當(dāng)電橋平衡時(shí)，電容C1、C2正對(duì)面積均為S0;動(dòng)尺移動(dòng)，電容 C1、C2正對(duì)面積分別減小和增大ΔS，此時(shí)輸出為:

當(dāng)傳感器尺寸確定時(shí)，從式(4)可以看出輸出Uo與激勵(lì)Ui、電容正對(duì)面積變化量ΔS和動(dòng)、定尺間距d0有關(guān)。

在兩組定尺上分別施加A相正弦激勵(lì)UiA與B相余弦激勵(lì)UiB:

其中:ω為激勵(lì)信號(hào)角頻率，t為時(shí)間變量。

利用正弦函數(shù)變上下限積分方法［8］得出動(dòng)尺上兩路駐波信號(hào)為:

將耦合的兩路駐波信號(hào)Uoa、Uob相加得到行波信號(hào)Ux:

為便于后續(xù)討論，令

將行波信號(hào)Ux與另一路相位固定頻率相同的正弦信號(hào)Uy通過(guò)整形電路轉(zhuǎn)換為方波，送入比相電路進(jìn)行比相，利用高頻時(shí)鐘插補(bǔ)技術(shù)求得兩路信號(hào)的相位差，最后通過(guò)FPGA處理即可得到傳感器動(dòng)尺與定尺之間的相對(duì)直線位移量。

2 誤差理論模型

通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究，現(xiàn)階段對(duì)極內(nèi)誤差主要呈現(xiàn)為二次，因此需要對(duì)二次誤差來(lái)源進(jìn)行理論分析。通過(guò)分析，產(chǎn)生二次誤差的主要原因?yàn)閮陕否v波的幅值不等和相位偏移。

2.1 兩路駐波幅值不等

在測(cè)量過(guò)程中，兩路駐波幅值不等將導(dǎo)致合成的行波失真。假設(shè)兩路駐波幅值分別為 K1Am、K2Am，則合成的行波信號(hào)表達(dá)式為:

根據(jù)三角函數(shù)公式:

化簡(jiǎn)式(10)，可得:

式中:

且當(dāng)x→0、W/2時(shí)x→x'。

從式(12)看出行波信號(hào)的幅值會(huì)隨著cos(2πx/W)的引入在一個(gè)周期內(nèi)呈現(xiàn)二次變化，在測(cè)量結(jié)果中也必將引入一個(gè)二次誤差，其變化的峰峰值為:

2.2 兩路駐波相位偏移

假設(shè)兩路駐波的空間相位并非嚴(yán)格相差90°，其分別與標(biāo)準(zhǔn)相位的偏差為φ，則合成的行波信號(hào)表達(dá)式為:

同理，通過(guò)式(11)化簡(jiǎn)得:

從式(15)看出測(cè)量結(jié)果必將由于sin(2πx/W)的引入而在一個(gè)周期內(nèi)產(chǎn)生二次誤差，峰峰值為:

2.3 仿真驗(yàn)證

通過(guò)上述理論分析，當(dāng)兩路駐波幅值不等、相位偏移時(shí)會(huì)給測(cè)量結(jié)果帶來(lái)二次誤差。為方便分析，設(shè)置ω=1 rad/s。當(dāng)兩路駐波幅值不等時(shí)，K1Am= 15 V、K2Am=22 V，φ=0 rad;兩路駐波相位偏移時(shí)，KAm=22 V，φ=π/36 rad。利用MATLAB進(jìn)行波形仿真，結(jié)果如圖3所示。

圖3 MATLAB仿真波形圖

從圖3的仿真波形可以看出，仿真結(jié)果與理論公式推導(dǎo)的結(jié)果相吻合。

3 安裝誤差分析

從上述的理論分析可以看出，測(cè)量結(jié)果中出現(xiàn)二次誤差的原因是由于兩路駐波幅值不等或相位偏移。而造成駐波幅值不等或相位偏移的主要原因?yàn)閯?dòng)尺安裝上在yz平面傾斜或xy平面偏轉(zhuǎn)。

3.1 yz平面動(dòng)尺傾斜

以圖1建立三維坐標(biāo)動(dòng)尺相對(duì)定尺在yz平面上有傾斜。假設(shè)在yz平面上相對(duì)于定尺有一個(gè)傾斜角α，如圖4所示。

圖4 yz平面動(dòng)尺傾斜示意圖

圖2中，α為動(dòng)尺偏轉(zhuǎn)角度，d0為平行安裝時(shí)動(dòng)、定尺之間間距，L為兩路動(dòng)尺中心間距，d1=d0－Lsin(α/2)、d2=d0+Lsin(α/2)分別為偏轉(zhuǎn)后動(dòng)尺與定尺的等效間距。

在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，動(dòng)尺如圖4傾斜時(shí)動(dòng)、定尺之間的正對(duì)面積S和間距d均會(huì)發(fā)生變化，為方便討論現(xiàn)將標(biāo)準(zhǔn)安裝等效為兩路動(dòng)尺分別與定尺平行，虛線框體為標(biāo)準(zhǔn)安裝時(shí)的動(dòng)尺。

由等效模型得A相正弦激勵(lì)動(dòng)尺對(duì)應(yīng)的ΔS'為:

單路駐波信號(hào)表達(dá)式為:

式中:d0＞Lsin(α/2)。

同理，可得另一路駐波信號(hào)表達(dá)式為:

即式(10)中:

則yz平面動(dòng)尺傾斜時(shí)的行波表達(dá)式為:

故動(dòng)尺在yz平面傾斜時(shí)會(huì)導(dǎo)致兩路駐波幅值不等，從而引入二次誤差。

3.2 xy平面動(dòng)尺偏轉(zhuǎn)

以圖1建立三維坐標(biāo)動(dòng)尺相對(duì)定尺在xy平面上有個(gè)偏轉(zhuǎn)。假設(shè)在想xy平面上相對(duì)于定尺有一個(gè)偏轉(zhuǎn)角θ，如圖5所示。

圖5 xy平面動(dòng)尺偏轉(zhuǎn)示意圖

圖5中，l為動(dòng)尺極片長(zhǎng)度，θ為動(dòng)尺相對(duì)于y方向的偏轉(zhuǎn)角度，Δx為偏轉(zhuǎn)引起的空間相位偏移量。則有:

當(dāng)動(dòng)尺相對(duì)于定尺在xy平面偏轉(zhuǎn)時(shí)，其行波表達(dá)式為:

通過(guò)式(10)、式(19)化簡(jiǎn)得:

即動(dòng)尺在xy平面偏轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致兩路駐波空間相位偏移從而引入二次誤差。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

為驗(yàn)證理論推導(dǎo)和仿真的正確性，判定二次誤差的影響因子是否與分析一致，故還需要相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

4.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

根據(jù)納米時(shí)柵傳感器測(cè)量原理及結(jié)構(gòu)的要求，搭建相應(yīng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)平臺(tái)，具體實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖6(a)所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

定尺通過(guò)金屬基座固定，動(dòng)尺通過(guò)金屬基座和美國(guó)Aerotech公司的ABL2000精密氣浮直線導(dǎo)軌(精度達(dá)±0.75 um)相連，通過(guò)控制氣浮導(dǎo)軌的移動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)動(dòng)、定尺的相對(duì)位移變化，通過(guò)電子顯微鏡和PI并聯(lián)定位系統(tǒng)調(diào)節(jié)動(dòng)、定尺之間的安裝情況，利用PI并聯(lián)定位系統(tǒng)的上位機(jī)軟件讀取并記錄動(dòng)尺初始安裝參數(shù)。利用美國(guó)NI公司的LABVIEW產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)激勵(lì)信號(hào)UiA和UiB，其幅值為22 V，頻率為20 kHz。用實(shí)驗(yàn)室團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)的信號(hào)處理系統(tǒng)對(duì)動(dòng)尺感應(yīng)信號(hào)進(jìn)行后續(xù)波形數(shù)據(jù)處理，并將位移數(shù)據(jù)送入計(jì)算機(jī)，從而得到納米時(shí)柵的測(cè)量值。同時(shí)采用英國(guó)RENISHAW公司的ML100激光干涉儀(精度為±0.7 ppm)作為測(cè)量基準(zhǔn)對(duì)時(shí)柵進(jìn)行誤差標(biāo)定，得出誤差曲線。

圖6(b)所示為PCB工藝加工的傳感器，其有效測(cè)量范圍為200 mm。定尺為方形極片，動(dòng)尺為正弦形極片，極片寬度均為0.2 mm，極片與極片之間的間隙均為為0.2 mm，單個(gè)測(cè)量周期即一個(gè)對(duì)極的長(zhǎng)度為0.8 mm。

4.2 實(shí)驗(yàn)分析

納米時(shí)柵的工作原理要求傳感器的安裝保證動(dòng)、定尺之間的線性度和平行度，同時(shí)加載的激勵(lì)信號(hào)也要有良好的一致性。但在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，這些影響因素往往難以達(dá)到理想狀態(tài)。下面通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)這些影響因素造成的誤差規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證分析。通過(guò)前面的理論分析，當(dāng)兩路駐波幅值不等或相位有偏移量在一個(gè)周期內(nèi)都會(huì)引入二次誤差。

根據(jù)測(cè)量原理可知，當(dāng)動(dòng)、定尺極片平行時(shí)，單路駐波信號(hào)幅值最大，并且與另一路駐波信號(hào)最大值相等。同時(shí)，若動(dòng)、定尺極片正對(duì)平行，當(dāng)一路駐波幅值最大時(shí)，另一路駐波幅值理論為0 mV。

通過(guò)PI并聯(lián)定位系統(tǒng)的上位機(jī)軟件初始化安裝并記錄相關(guān)參數(shù):α=0°，θ=0°。

在初始安裝情況下，用氣浮直線平臺(tái)控制動(dòng)尺與定尺在一個(gè)周期內(nèi)反復(fù)移動(dòng)，通過(guò)示波器觀察得兩路駐波最大幅值約為126.4 mV、134.7 mV;此時(shí)，靜態(tài)采集數(shù)據(jù)與測(cè)量基準(zhǔn)作差比較后得到的誤差曲線如圖7所示，初始誤差峰峰值約為4.86 μm，主要表現(xiàn)為二次誤差。根據(jù)式(19)、式(22)分析可知，二次誤差主要是由于動(dòng)尺的兩種安裝偏差造成。當(dāng)動(dòng)尺在yz平面傾斜時(shí)導(dǎo)致兩路極片有效間距不相等，造成兩路駐波幅值不等，從而在最終測(cè)量結(jié)果中引入二次誤差;當(dāng)動(dòng)尺在xy平面與定尺相對(duì)有偏轉(zhuǎn)時(shí)導(dǎo)致兩路駐波空間相位偏移，從而也會(huì)引入二次誤差。

用氣浮導(dǎo)軌平臺(tái)控制動(dòng)尺與定尺在一個(gè)周期內(nèi)來(lái)回移動(dòng)，通過(guò)PI并聯(lián)定位系統(tǒng)的上位機(jī)軟件反復(fù)調(diào)整yz平面上動(dòng)尺的傾斜角度，通過(guò)示波器觀察兩路駐波最大幅值。當(dāng)調(diào)整至兩路駐波最大幅值分別為130.8 mV、131.2 mV時(shí)，可基本認(rèn)為其最大幅值相等，動(dòng)尺與定尺平行。記錄此時(shí)α=0.1°。采集所得誤差曲線如圖7所示，誤差峰峰值約為2.43 μm，主要誤差規(guī)律為一次和二次誤差。其中一次誤差主要要由單路駐波的幅值信號(hào)不相等造成［8］。調(diào)整動(dòng)尺在yz平面的安裝后所采集的誤差與原始誤差相比峰峰減小一半，即說(shuō)明動(dòng)尺在yz平面的會(huì)給測(cè)量結(jié)果帶來(lái)二次誤差。

通過(guò)反復(fù)調(diào)整動(dòng)尺在xy平面上的偏轉(zhuǎn)角度，用示波器觀察兩路駐波信號(hào)幅值。觀察得Uoa最大幅值約為129.8 mV，Uob幅值約為0.4 mV;定尺移動(dòng)半個(gè)周期位移時(shí)，Uoa的幅值減小至0.5 mV，Uob幅值增大至129.2 mV，記錄θ=0.08°。此時(shí)可認(rèn)為動(dòng)尺與定尺基本平行正對(duì)。采集所得誤差曲線如圖7所示，誤差峰峰值減小至0.84 μm，主要誤差規(guī)律呈現(xiàn)為四次［8］，二次誤差已基本消除。

圖7 誤差曲線圖

上述實(shí)驗(yàn)已驗(yàn)證動(dòng)尺在yz平面傾斜和xy平面偏轉(zhuǎn)會(huì)給測(cè)量結(jié)果帶來(lái)二次誤差。從時(shí)空轉(zhuǎn)換理論可知，空間域與時(shí)間域存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，即動(dòng)尺在空間上安裝造成的幅值不等、相位偏移，可通過(guò)調(diào)節(jié)時(shí)間域上的激勵(lì)來(lái)使兩路駐波幅值、相位相等。通過(guò)調(diào)整LABVIEW 4路激勵(lì)信號(hào)的幅值和相位，使兩路駐波幅值相等、相位一致，采集到的誤差曲線如圖7所示，峰峰值減小為0.98 μm，并且二次誤差基本消除。

在前面理論分析得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的情況下，在200 mm量程范圍內(nèi)以采對(duì)極點(diǎn)的方式進(jìn)行測(cè)量實(shí)驗(yàn)，最終測(cè)得傳感器誤差峰峰值為400 nm，如圖8所示。

圖8 傳感器誤差曲線

5 結(jié)論

本文從納米時(shí)柵傳感器的基本原理出發(fā)，構(gòu)建出與動(dòng)、定尺間距d0和正對(duì)面積變化量ΔS相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。著重分析了由于兩路駐波幅值不等、相位偏移所帶來(lái)的誤差成分。通過(guò)理論分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得出以下結(jié)論:①兩路駐波幅值不等、相位偏移會(huì)給測(cè)量結(jié)果引入二次誤差。②動(dòng)尺安裝在yz平面傾斜導(dǎo)致駐波幅值不等，在xy平面偏轉(zhuǎn)導(dǎo)致兩路駐波相位偏移。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性，該理論分析為傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化和實(shí)驗(yàn)方法的改進(jìn)提供了有力的支撐，為進(jìn)一步提升傳感器精度提供了可靠的理論依據(jù)。

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［12］于治成，鄭方燕，馮濟(jì)琴，等.納米時(shí)柵傳感器數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)設(shè)計(jì)［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2013(11):1548－1551.

王合文(1990－)，男，漢族，重慶人，碩士研究生，主要從事現(xiàn)代傳感器技術(shù)研究，405788673@qq.com;

吳玉梅(1990－)，女，漢族，河北人，碩士研究生，主要從事現(xiàn)代傳感器技術(shù)研究，844044212@qq.com;

鄭方燕(1972－)，女，漢族，四川宣漢人，碩士，副教授，主要從事計(jì)算機(jī)輔助測(cè)試與儀器智能化的研究，發(fā)表論文20余篇，獲專利5項(xiàng)，zfy@cqut.edu.cn。

Measurement Precision Analysis Based on Assembly Errors of a Nanometer Time-Grating Sensor*

WANG Hewen，WU Yumei，ZHENG Fangyan*，DAN Min，F(xiàn)AN Xingchen
(Engineering Research Center of Mechanical Testing Technology and Equipment，Ministry of Education，Chongqing Key Laboratory of Time Grating Sensing and Advanced Testing Technology，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China)

In order to quantify the influences on measurement precision caused by assembly parameters，the gap d0and effective overlap area variation ΔS between the fixed ruler and the moving ruler are employed as independent variables to build mathematical models for measurement precision analysis based on the principles of nanometer time-grating sensors.Second harmonics errors are deduced in theory and tranced back in terms of unequal amplitude and phase deviation for two channels of standing waves when the moving ruler is not parallel to yz-plane or deviate from yz-plane.Experiment results show that the original errors for one pitch decrease from 4.86 μm to 0.84 μm by adjusting the assembly parameters of the moving ruler in the yz-plane and xy-plane，which demonstrates that second harmonics error is caused by un-parallel to yz-plane or deviation from yz-plane for moving ruler.The peak-to-peak value of the measurement error is 400 nm within 200 mm measurement range.The proposed theoretical analysis is valid by the experimental results，and provide strong supporting for optimizing the sensor’s structure parameters and improving experimental methods，which is very valuable for improving the measurement precision of nanometer timegrating sensor as reliable theory.

nanometer measurement;time grating;assembly;theory of error;

TH7

A

1004－1699(2017)02－0230－06

C:7230

10.3969/j.issn.1004－1699.2017.02.011

項(xiàng)目來(lái)源:重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目(cstc2014jcyjA70002，cstc2016jcyjA0505)

2016－09－21 修改日期:2016－12－09