戚黎明

摘 要：初中數(shù)學(xué)平面幾何教學(xué)不是對小學(xué)階段內(nèi)容的簡單復(fù)習(xí)，而是同類知識的螺旋上升，其要求與小學(xué)明顯不同.在初中平面幾何的入門教學(xué)過程中應(yīng)重視對幾何語言的培養(yǎng)，盡管學(xué)生正確使用幾何語言需要一個較長的過程，但是在一開始就應(yīng)該對學(xué)生提出要求，這對今后學(xué)習(xí)幾何證明非常重要.

關(guān)鍵詞：幾何語言；圖形；性質(zhì)；證明；變換

初一平面幾何入門教學(xué)難是一個公認(rèn)的事實(shí)，但實(shí)際上根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定，對于初中一年級的幾何教學(xué)，只要求進(jìn)行直線、角、相交線、平行線、三角形和全等三角形的教學(xué).這部分內(nèi)容是初中平面幾何中最簡單的基礎(chǔ)知識.然而，在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)活動中，正是這些最簡單、最基本的教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)成了初一幾何教與學(xué)的難點(diǎn).初一幾何的這種教與學(xué)的矛盾是怎樣形成的？筆者認(rèn)為主要是學(xué)生對幾何語言的陌生造成的.其實(shí)任何一門新學(xué)科都入門于它的基本語言教學(xué)，教師要想把學(xué)生領(lǐng)進(jìn)幾何的大門，就必須先過語言關(guān).既然是語言就應(yīng)該遵循“先會說，后會寫”的一般規(guī)律.本文就如何“說”幾何語言，以及它在教學(xué)過程中所起的作用通過案例加以說明，與大家共同探討.

一、學(xué)習(xí)基本圖形的性質(zhì)需要“說”

浙教版（以下同）七年級上第六章《圖形的初步知識》是初中平面幾何的入門章節(jié)，幾何語言此時就如同一門外語，學(xué)生連最基本的詞匯和習(xí)慣用法都不清楚，又怎么能正確分析問題和解決問題？當(dāng)然更不用說正確書寫解題過程了.剛開始，筆者比較注重講解，以為只要自己講得夠詳細(xì)，思路夠清晰，學(xué)生就一定能理解接受.事實(shí)證明學(xué)生的確能聽懂，但就是不能獨(dú)立解題.既然其他語言都是從說學(xué)起的，那么學(xué)習(xí)幾何語言也可以嘗試先“說”后寫.首先，筆者采用“問題”導(dǎo)學(xué)的策略[1]，根據(jù)題目設(shè)置合理的提問，讓學(xué)生在回答問題的過程中摸清解題思路；然后讓學(xué)生代表口述解題過程，并通過集體復(fù)述的方式加以鞏固；最后請學(xué)生代表板演上述解題過程.事實(shí)證明這個方法的確有效.

【課例1】中點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用.

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圖1

如圖1，線段AB=8cm，C是線段AB上一點(diǎn)，AC=3.2cm，M是AB的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)，求線段MN的長.

師：線段的中點(diǎn)具有什么性質(zhì)？

生：平分這條線段.

師：由M是線段AB的中點(diǎn)，我們可以得到什么結(jié)論？

生：AM與BM長度相等，并且等于AB的一半，即4cm.

師：由N是線段AC的中點(diǎn)，我們又可以得到什么結(jié)論？

生：AN與CN長度相等，并且等于AC的一半，即1.6cm.

師：我們所求的線段MN的長度與以上哪些線段的長度有關(guān)？

生：與線段AM和AN有關(guān)，線段MN的長度是線段AM與AN的長度之差.

師：根據(jù)上述分析，有哪位同學(xué)能敘述解答過程？

生甲：因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以AM等于AB的一半，從而等于4cm.因?yàn)镹是AC的中點(diǎn)，所以AN等于AC的一半，從而等于1.6cm.MN等于AM減去AN，因此線段MN的長度為2.4cm.

師：這位同學(xué)的敘述是否正確？

生：正確.

師：那么請同學(xué)們復(fù)述上述解答過程.

生：……

（如果復(fù)述的語言雜亂，則說明多數(shù)學(xué)生并沒有理清解題思路，教師可以再加以引導(dǎo)，給學(xué)生充分的口頭練習(xí)機(jī)會，直到復(fù)述整齊劃一）

師：好的，最后請一位同學(xué)板演此解題過程.

（板演是為了展現(xiàn)學(xué)生的書寫過程，我們的最終目的就是要讓學(xué)生能正確地書寫解答過程.從會說到會寫有一個層次上的提高，教師應(yīng)該注重規(guī)范學(xué)生的書寫格式，要求學(xué)生正確書寫各種幾何符號，同時強(qiáng)調(diào)先因后果的書寫順序）

【小結(jié)】此課例的講解，采用了師生問答的形式.既然已知條件中有“中點(diǎn)”出現(xiàn)，那么就從中點(diǎn)的性質(zhì)入手.學(xué)生在回答問題的過程中自然而然地“說”出了解題思路，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，增強(qiáng)了他們的學(xué)習(xí)自信心.集體復(fù)述避免了后進(jìn)生掌握知識相對困難的尷尬，提供給了他們更多模仿練習(xí)的機(jī)會，讓他們敢于開口，愿意開口，不失去學(xué)習(xí)幾何的信心，這樣就能夠避免出現(xiàn)幾何學(xué)習(xí)過程中常見的兩極分化現(xiàn)象.板演這個環(huán)節(jié)至關(guān)重要，教師要讓學(xué)生充分暴露書寫過程中的問題，從而對癥下藥，幫助學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范的書寫習(xí)慣，為學(xué)生今后獨(dú)立解題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

二、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的證明過程需要“說”

七年級下第一章《三角形的初步知識》中將要學(xué)到判斷三角形全等的條件，“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”等幾何術(shù)語開始出現(xiàn)，簡單的三個字就包含了判斷三角形全等所需要的條件.學(xué)生很容易記住這些術(shù)語，但是要正確理解它們的含義，明確使用的條件就相對困難了.同時，“對應(yīng)”這個詞開始頻繁出現(xiàn)，這就要求學(xué)生對圖形有更高層次的認(rèn)識，不僅要判斷哪兩個三角形全等，而且要清楚地知道哪些邊（角）是對應(yīng)的邊（角）.學(xué)習(xí)之初，學(xué)生常常把圖中的線段當(dāng)成是三角形的邊，把圖形中出現(xiàn)的角當(dāng)成是三角形的角，給尋找證明三角形全等的條件造成了障礙.同時，把“邊邊角”誤認(rèn)為是“邊角邊”，將“角邊角”和“角角邊”混為一談也很常見.另外，證明三角形全等的書寫格式也較為嚴(yán)格，處處要體現(xiàn)對應(yīng)，步步要說明理由，因此先“說” 后寫的教學(xué)思路在這里將進(jìn)一步發(fā)揮作用.

【課例2】“邊邊邊”證明三角形全等，從而說明對應(yīng)角相等.

如圖2，點(diǎn)A，D，B，E在同一直線上，且AC=DF，BC=EF，AD=BE.請說明∠C=∠F的理由.

師：如何說明兩個角相等？

生：先說明他們所在的兩個三角形全等，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等就能說明.

師：∠C、∠F 分別屬于哪兩個三角形？

生：∠C屬于△ABC ，∠F屬于△DEF.

師：利用題目中的條件能否直接說明這兩個三角形全等？

生甲：能，有三條邊對應(yīng)相等，利用“SSS”就可以證明全等.

（一開始很多學(xué)生都誤認(rèn)為“AC=DF，BC=EF，AD=BE”是三組對應(yīng)邊相等，從而直接用“SSS”證明全等）

生乙：我認(rèn)為不能直接證明，因?yàn)锳D與BE并不是三角形的邊.

師：要弄清楚這個問題就要先弄清“S”的意思，它代表三角形的對應(yīng)邊，還是三角形中的對應(yīng)線段？

生：是對應(yīng)邊，因?yàn)檫@個判斷三角形全等的方法稱為“邊邊邊”.

師：非常好，這說明乙同學(xué)觀察非常仔細(xì)，AD與BE并不是三角形的邊，而只是三角形中的對應(yīng)線段，因此不能直接使用.但是，能不能利用它們的相等關(guān)系推知這兩個三角形的一組對應(yīng)邊相等呢？

生：能，由于A，D，B，E在同一直線上，所以AD+DB=BE+DB，即AB=DE.

師：現(xiàn)在似乎萬事俱備了.下面請一位同學(xué)來敘述本題的證明過程，敘述時要注意以下三點(diǎn)：（1）利用間接條件證得邊或角對應(yīng)相等要先加以說明；（2）注意證明三角形全等的規(guī)范格式；（3）保證步步有理.

生丙：因?yàn)锳D=BE（已知），所以AD+DB=BE+DB，即AB=DE.在△ABC與△DEF中AC=DF（已知），BC=EF（已知），AB=DE（已證），所以△ABC全等于△DEF（SSS），所以∠C=∠F（全等三角形對應(yīng)角相等）.

師：很好，請大家復(fù)述上述證明過程，同時請一位同學(xué)板演.

……

【點(diǎn)評】本例題的講解依然延續(xù)了師生問答的形式，學(xué)生在說證明思路的過程中暴露了對“邊邊邊”理解的錯誤，引起了同學(xué)間的爭議，教師抓住機(jī)會讓學(xué)生區(qū)分了對應(yīng)邊和對應(yīng)線段，從而讓學(xué)生對“邊邊邊”有了更深刻的理解.“邊邊邊”證明三角形全等的思路雖說最簡單，但本節(jié)所規(guī)范的證明三角形全等的書寫格式、“步步有理”的說理方式以及對“邊”“角”“對應(yīng)”等的理解都是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

三、學(xué)習(xí)圖形的變換方式需要“說”

初中階段主要學(xué)習(xí)了圖形變換的四種方式，其中軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換實(shí)際上都屬于位置變換，即在變換的過程中只有圖形的位置發(fā)生了改變，而圖形的形狀和大小都不會改變，對應(yīng)角、對應(yīng)線段自然也不會發(fā)生改變.這些共性很容易掌握，那么特性呢？大部分學(xué)生都能從直觀上對它們加以區(qū)分，但是要完全掌握各種變換的定義、性質(zhì)、作圖及對一次特定變換做出準(zhǔn)確的描述就很困難了.教學(xué)過程中要通過大量的口頭練習(xí)，讓學(xué)生抓住各種變換中所涉及的關(guān)鍵詞句，然后在此基礎(chǔ)上理解并掌握各種變換方式[2].

【課例3】怎樣將圖3中的甲圖案變換成乙圖案？

師：在甲圖變換成乙圖的過程中涉及了哪些變換方式？

生：平移和旋轉(zhuǎn).

師：咱們不妨先旋轉(zhuǎn)再平移.旋轉(zhuǎn)變換中的關(guān)鍵詞是什么？

生：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.

師：本題中這三個關(guān)鍵詞具體是什么？

生：旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向是逆時針，旋轉(zhuǎn)角度是40°.

師：那么請一位同學(xué)來描述這次旋轉(zhuǎn)變換.

生甲：甲圖繞著點(diǎn)A，朝著逆時針的方向，旋轉(zhuǎn)40°.

師：下面我們來描述平移，平移的關(guān)鍵詞又是什么？

生：方向和距離.

師：本題中這兩個關(guān)鍵詞具體又是什么？

生：射線AB的方向，線段AB的長度.

師：應(yīng)該如何描述？

生：甲圖朝著射線AB的方向，移動線段AB的長度.

師：現(xiàn)在請一位同學(xué)用“先……，再……”的語句描述整個變換過程.

生乙：乙圖是甲圖先繞著點(diǎn)A，朝著逆時針的方向，旋轉(zhuǎn)40°，再朝著射線AB的方向，移動線段AB的長度得到的.

師：請同學(xué)們復(fù)述.

……

【點(diǎn)評】本題看似簡單，大部分學(xué)生都能認(rèn)識到從甲圖到乙圖需經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移這兩種變換，但想要具體、準(zhǔn)確地描述變換過程就很困難了.教師通過精簡定義，先讓學(xué)生掌握這兩種變換方式中的關(guān)鍵詞，然后再根據(jù)題目將其具體化，從而準(zhǔn)確地把握住了變換的特征，使得描述思路清晰，語言準(zhǔn)確具體.

總而言之，平面幾何有許多特有的用來表達(dá)意思、交流推理論證思想的語言工具，如：平行、相交、垂直、互余、互補(bǔ)、全等于、相似于、平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等；特殊的符號：≌、∽、⊥、∥、∠、∵、∴、Rt、△等；還有“邊邊邊”“邊角邊”“斜邊、直角邊”等術(shù)語.每一個習(xí)題的解答都要用它們來描述，從而成為一篇具有獨(dú)特語言的文章.文章固然靠寫，但是語言卻是以說為主的，只有能獨(dú)立地說出來，才能獨(dú)立地寫出來.實(shí)驗(yàn)心理學(xué)家赫瑞特拉認(rèn)為：人一般可以記住閱讀內(nèi)容的50%，自己聽到內(nèi)容的20%，自己看到內(nèi)容的30%，在交流過程中自己所說內(nèi)容的70%[3].足以見得“說”在幾何入門教學(xué)過程中的重要性，因此學(xué)習(xí)幾何語言要讓學(xué)生多動口.教師在教學(xué)的過程中要給學(xué)生提供充分的口頭練習(xí)機(jī)會，讓學(xué)生在說的過程中體會到幾何語言的獨(dú)特性，感受到幾何語言的嚴(yán)謹(jǐn)美，樹立起學(xué)好平面幾何的信心.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳愛苾.課程改革與問題解決教學(xué)[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2004：132.

[2]關(guān)文信，等.新課程理念與初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)施[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2003：45.

[3]張緒培，等.初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例專題研究[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2005：117.