楊 磊，韋喜忠，趙 峰，李勝忠

(中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082)

多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化算法研究綜述

楊 磊，韋喜忠，趙 峰，李勝忠

(中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082)

隨著多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化（Multidisciplinary Design Optimization，MDO）技術(shù)的發(fā)展，它將成為優(yōu)化設(shè)計的大趨勢。為了能夠更好地運用 MDO 來解決船舶設(shè)計優(yōu)化問題，本文對近年來發(fā)展的 MDO 算法進行系統(tǒng)梳理和分類，對發(fā)展已較成熟的幾種算法進行簡要介紹，對新發(fā)展的幾種特殊算法應(yīng)用環(huán)境、性能特點進行重點介紹；最后，對 MDO 算法研究存在的不足和今后發(fā)展趨勢提出了若干建議。

多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化；多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化算法；算法分類

0 引 言

現(xiàn)代工程系統(tǒng)規(guī)模越來越大、系統(tǒng)之間的交互作用越來越精細、復(fù)雜，已很難應(yīng)用傳統(tǒng)優(yōu)化方法，并通過經(jīng)驗來協(xié)調(diào)系統(tǒng)內(nèi)部的耦合效應(yīng)。在此背景下，MDO 技術(shù)應(yīng)運而生。MDO 是 Sobieski 等[1]在研究大型結(jié)構(gòu)設(shè)計優(yōu)化問題時提出的一種耦合系統(tǒng)設(shè)計優(yōu)化方法，其基本思想是通過充分探索和利用系統(tǒng)中相互作用的協(xié)同機制來設(shè)計復(fù)雜系統(tǒng)和子系統(tǒng)[2]。MDO 方法最先在航空航天領(lǐng)域獲得研究和應(yīng)用，已初見成效[3-6]，隨后迅速擴展至武器、汽車、機械、船舶等諸多領(lǐng)域。自 20 世紀 80 年代末以來，MDO 技術(shù)得到美國、俄羅斯、歐洲等國家政府機構(gòu)、企業(yè)界和學(xué)術(shù)機構(gòu)的支持和研究，MDO 作為一門正在崛起的新的工程學(xué)科，必將成為優(yōu)化設(shè)計的大趨勢[7]。

MDO 從理論層面解決了多系統(tǒng)的協(xié)同設(shè)計問題，

MDO 算法則是這一理論的具體實現(xiàn)方法。顯然，由于設(shè)計問題的不同，所要求的實現(xiàn)方法也就不同，從而發(fā)展了各種各具特點的 MDO 算法。這就要求設(shè)計研究人員對各不同 MDO 算法有一定的了解，為此，本文根據(jù)相關(guān)文獻，對近年來發(fā)展的 MDO 算法進行總結(jié)，并重點介紹幾種特殊 MDO 算法應(yīng)用目的、分解方法及性能特點，為實際應(yīng)用提供參考。最后，討論了當前 MDO 算法研究中存在的問題，并提出了若干建議。

1 MDO 算法概述

MDO 算法又稱為 MDO 過程、MDO 體系結(jié)構(gòu)（MDO Architecture），區(qū)別于傳統(tǒng)最優(yōu)化方法，MDO算法關(guān)注優(yōu)化過程的組織方式、耦合信息的傳遞和協(xié)同策略，而不是搜索策略本身。為便于闡述 MDO 算法原理及不同 MDO 算法的特點，首先給出 MDO 算法的一般數(shù)學(xué)表達形式，如式（1）所示，該式又被稱為同時優(yōu)化算法（All-at-once，AAO）[8]。

AAO 算法對所有變量，包括設(shè)計變量、狀態(tài)變量、輸入/輸出耦合變量，進行同時優(yōu)化，問題規(guī)模大、收斂速度慢，實際應(yīng)用少，但是，通過對約束條件的不同處理可得到更高效的 MDO 算法。

消除 AAO 的一致性約束后，得到同時分析和設(shè)計算法（Simulation Analysis and Design，SAND），優(yōu)化問題規(guī)模明顯減小，但學(xué)科分析控制方程求解依然困難；消除 SAND 中的 Ri= 0 學(xué)約束可得到的多學(xué)科可行法（Multidisciplinary Discipline Feasible，MDF），該算法僅需對設(shè)計變量進行優(yōu)化，每一步迭代都能夠得到多學(xué)科可行解，但計算過程比較復(fù)雜，優(yōu)化效率不高；消除 AAO 的 Ri= 0 約束可得到單學(xué)科可行法（Individual Discipline Feasible，IDF），該算法的各子學(xué)科分析計算可并行執(zhí)行，優(yōu)化過程收斂能得到多學(xué)科可行解，應(yīng)用梯度優(yōu)化算法時，計算量大，收斂困難。

上述 4 種 MDO 算法均只有一個優(yōu)化器，所有優(yōu)化一次完成，稱之為單級整體式 MDO 算法。這類算法結(jié)構(gòu)簡單，容易建模實現(xiàn)，但各子學(xué)科只有“分析”沒有“優(yōu)化”，子學(xué)科缺乏優(yōu)化自主權(quán)，而實際工程系統(tǒng)總是希望各子學(xué)科的設(shè)計優(yōu)化由學(xué)科專家來主導(dǎo)完成?；谶@一需求，多級分布式 MDO 算法得到發(fā)展和實際應(yīng)用，其最典型的結(jié)構(gòu)是擁有一個系統(tǒng)級優(yōu)化問題和多個子系統(tǒng)優(yōu)化問題，系統(tǒng)層與各子系統(tǒng)對整個系統(tǒng)的設(shè)計具有不同程度的自由度，這種架構(gòu)與工程設(shè)計過程相吻合。對于多級 MDO 算法，按照協(xié)同策略又可以將其分為基于 IDF 策略和 MDF 策略的多級分布式 MDO 算法兩大類，前者主要通過在系統(tǒng)層設(shè)置關(guān)于耦合變量的一致性約束進行協(xié)同；后者則通過多學(xué)科分析來滿足耦合變量的一致性。

按照上述分類方法，本文對近年來發(fā)展的 MDO算法進行歸類整理，如圖 1 所示。其中，單級 MDO 算法在上文已作簡要介紹，文獻[9-10]中也可以找到詳細的闡述，本文將不再做進一步闡述；多級優(yōu)化算法中，以 CO，CSSO，BLISS 的研究最多，其發(fā)展已較為成熟，本文僅對其基本原理和特性作簡要介紹，重點研究幾種有特殊應(yīng)用要求的多級 MDO 算法基本原理和特點。

2 多級分布式 MDO 算法

2.1 幾種典型多級分布式 MDO 算法

1）并行子空間算法（Concurrent Subspace Optimization，CSSO）[11-12]是最早提出的多級分布式 MDO 算法之一。其基本思想是將系統(tǒng)優(yōu)化問題分解為若干個設(shè)計變量不相交的子優(yōu)化問題，各子系統(tǒng)優(yōu)化的目標函數(shù)均為原系統(tǒng)優(yōu)化問題的目標函數(shù)，各子學(xué)科只對本學(xué)科局部設(shè)計變量進行優(yōu)化，所需的耦合輸入變量用近似模型代替。CSSO 需要進行復(fù)雜的多學(xué)科分析（Multidisciplinary Analysis，MDA），系統(tǒng)分解要求各子學(xué)科設(shè)計變量集不相交，在工程上較難滿足，限制了該方法的實際應(yīng)用。

說與妻聽，妻說：“誰也逃不過，我也開始掉頭發(fā)了。”可不！每次拖地都要為了她那些落發(fā)掃了又掃，擦了又擦，揀了又揀，累到直不起腰。想當年，妻幾次說要剪成短發(fā)，我都大加阻攔；剪是沒剪，她卻悄悄焗過淡黃色，燙過波浪卷，我都不以為然，悄悄告訴她：“就喜歡你那一頭烏黑亮麗、柔順飄逸的長發(fā)?！彼俸僖粯罚瑳]再動過頭發(fā)的心思。

2）協(xié)同優(yōu)化算法（Collaborative Optimization，CO）是目前研究最多、應(yīng)用研究最為廣泛的 MDO 算法[13]。其基本思想是將系統(tǒng)進行層次分解，各子系統(tǒng)只與父系統(tǒng)進行數(shù)據(jù)交換，系統(tǒng)層目標函數(shù)為原問題目標函數(shù)，各子系統(tǒng)以最小化與系統(tǒng)分配的目標方案的差異為目標函數(shù)，系統(tǒng)層通過一致性約束協(xié)調(diào)各子學(xué)科進行并行優(yōu)化。CO 算法，子學(xué)科優(yōu)化自治性高，獲得工程設(shè)計師的青睞，但其系統(tǒng)優(yōu)化問題不滿足KKT 最優(yōu)化條件，其數(shù)學(xué)收斂性尚未得到證明[14-15]。

3）增強型協(xié)同算法（Enhanced Collaborative Optimization，ECO）[16]的基本思想是將 CO 算法的系統(tǒng)層與子系統(tǒng)層目標函數(shù)對調(diào)，增強各子學(xué)科對目標函數(shù)的“影響力”。研究表明[17]，ECO 比 CO 的分析次數(shù)更少，但構(gòu)建及更新子學(xué)科模型需要增加額外的時間。

4）兩層綜合集成算法（Bilevel Integrated System Synthesis，BLISS）[18]將設(shè)計變量分為全局（系統(tǒng)）設(shè)計變量和學(xué)科局部設(shè)計變量，應(yīng)用泰勒展開式構(gòu)造原問題目標函數(shù)近似式，利用梯度指導(dǎo)的方法，交替優(yōu)化全局設(shè)計變量和學(xué)科局部設(shè)計變量，直到獲得系統(tǒng)最優(yōu)解。這一過程需進行大量的偏導(dǎo)數(shù)計算，優(yōu)化計算成本高，通過采用響應(yīng)面方法、Kring 方法可得到緩解。

5）目標分流法（Analytical Target Cascading，ATC）[19]的基本思想是將系統(tǒng)設(shè)計要求，包括目標函數(shù)、約束條件，按照層次系統(tǒng)由上到下逐級傳遞到子系統(tǒng)，各子系統(tǒng)圍繞系統(tǒng)設(shè)計要求對各學(xué)科局部設(shè)計變量進行優(yōu)化，直到獲得滿足目標的設(shè)計方案，若無法完全滿足目標值，則返回最接近目標的設(shè)計方案，ATC 與 CO 算法思想相似。目前，關(guān)于ATC算法的性能研究，目前尚不多，但已在汽車、橋梁、飛機、船舶等領(lǐng)域開展應(yīng)用研究。

2.2 幾種特殊的多級分布式 MDO 算法

2.2.1 精確和非精確懲罰分解算法

若 MDO 問題中沒有系統(tǒng)約束 c0或系統(tǒng)目標函數(shù)f0，可以應(yīng)用 EPD 或 IPD 算法[20]，其子學(xué)科 i 優(yōu)化問題定義如下式所示：

其中：Φi為關(guān)于學(xué)科 i 與系統(tǒng)層之間不一致性的懲罰函數(shù)。在 EPD 中，Φi為關(guān)于耦合變量的線性懲罰函數(shù)；在 IPD 中，Φi為關(guān)于耦合變量的、帶權(quán)重因子的二次非線性懲罰函數(shù)。

EPD 和 IPD 的系統(tǒng)優(yōu)化問題相同，它是以最小化各子系統(tǒng)懲罰函數(shù) Φi之和為目標的無約束優(yōu)化問題，如下式所示：

其中：ωi為懲罰函數(shù)的權(quán)重因子，它由系統(tǒng)優(yōu)化器進行更新，當 ωi趨于無窮大，而系統(tǒng)目標函數(shù)值不變（或增加量小于某給定小數(shù)）時，則表示優(yōu)化過程收斂。DeMiguel 等[21]在數(shù)學(xué)上已證明了 IPD 和 EPD 的收斂性，其研究也表明，IPD 和 EPD 的計算量隨共享耦合變量的增加而增加。

2.2.2 獨立子空間 MDO 算法

若 MDO 問題沒有系統(tǒng)約束 c0或系統(tǒng)目標 f0，同時不存在共享設(shè)計變量 x0，則可以采用獨立子空間MDO 算法（MDO of Independent Subspace，MDOIS）[22]。這種情況下，各學(xué)科之間只存在輸入、輸出耦合，各學(xué)科優(yōu)化問題可完全分離，學(xué)科 i 優(yōu)化問題可定義如下：算模塊直接進行優(yōu)化；而需要進行高精度分析的學(xué)科則由系統(tǒng)層進行優(yōu)化，其系統(tǒng)及子系統(tǒng)優(yōu)化問題定義如式（5）和式（6）所示，其中，k 表示需要進行高精度分析的學(xué)科。

MDOIS 的最大特點是，不存在系統(tǒng)優(yōu)化問題。如圖 3 所示，它是通過 MDA 過程來引導(dǎo)各學(xué)科設(shè)計優(yōu)化過程，當 MDA 過程收斂時，即獲得系統(tǒng)最優(yōu)解，它屬于分布式 MDF 算法。研究表明，在滿足假定條件的前提下，MDOIS 均能獲得最優(yōu)解[23]；基準試驗研究發(fā)現(xiàn)，在很多數(shù)情況下，獲得同樣的最優(yōu)解，MDOIS比 MDF 過程所需的分析次數(shù)還要少，但在應(yīng)用的靈活性上卻不及后者[24]。

2.2.3 異步子空間法

若在 MDO 過程中，不同學(xué)科進行分析計算時所耗時間相差很大時，例如，在進行飛機機翼構(gòu)型優(yōu)化時，涉及空氣動力學(xué)分析、結(jié)構(gòu)力學(xué)分析，前者分析所需時間通常要比后者高一個數(shù)量級，為減少總的優(yōu)化時間，可應(yīng)用異步子空間法（Asymmetric Subspace Optimization, ASO）[25]。為了減少高精度分析計算的次數(shù)，用基于低精度分析方法的優(yōu)化模塊替換原分析計

ASO 算法屬于分布式 MDF 算法，有復(fù)雜的 MDA過程，相應(yīng)的，需要進行系統(tǒng)靈敏度計算，可應(yīng)用耦合優(yōu)化后靈敏度方程來計算[26]，也可應(yīng)用耦合伴隨方程[27]計算。飛機機翼的 MDO 應(yīng)用研究表明，應(yīng)用ASO 算法不僅大幅減少了空氣動力學(xué)分析計算的次數(shù)，甚至一定程度上還減少了結(jié)構(gòu)分析計算的次數(shù)；2個學(xué)科分析計算耗時差距越大，總的分析計算次數(shù)減少越明顯，ASO 過程的分析次數(shù)也越接近 MDF 過程。也即是說，只有當 2 個學(xué)科分析計算時間相差很大時，ASO 算法才具有優(yōu)勢。

3 結(jié) 語

本文對近年來 MDO 算法研究成果進行較為系統(tǒng)的歸納總結(jié)，對主要 MDO 算法，特別是一些新的、有特殊應(yīng)用環(huán)境的 MDO 算法進行重點介紹，對其特點及性能特點進行了分析評述，可為 MDO 算法的工程應(yīng)用研究及創(chuàng)新 MDO 算法發(fā)展提供支撐和導(dǎo)向。

MDO 算法研究已經(jīng)取得了豐碩的成果，為工程應(yīng)用提供了更多的選擇，但同時又帶來新的挑戰(zhàn)：即面對給定的 MDO 問題，選擇哪一種 MDO 算法，建模更快捷、優(yōu)化效率更高、優(yōu)化質(zhì)量更好，也就是說，需要了解不同 MDO 算法對于特定問題的解決能力。然而，由于不同研究人員實現(xiàn)同一算法的方式、計算環(huán)境、測試算例存在差異，特別是研究人員對算法的熟悉程度或偏好不同，都容易引起評估結(jié)果出現(xiàn)偏差，甚至相互矛盾。為客觀起見，應(yīng)盡可能在一套規(guī)范的方法和流程下，對不同 MDO 算法進行對比研究，從而準確把握不同 MDO 算法的應(yīng)用要求和性能特點，這類似于船舶水動力性能試驗研究中的標?；鶞试囼炑芯浚疚姆Q之為“MDO 算法基準試驗研究”，國內(nèi)外在該領(lǐng)域已開展了一些研究[28-32]，但在以下 2 個方面還需做進一步的深入研究：

1）基準測試算例簡單，不利于評估 MDO 算法在處理大規(guī)模工程問題時的性能。目前發(fā)展的基準測試算例大多為簡化后的工程設(shè)計模型，維度低、分析模型簡單、計算復(fù)雜度低，而實際工程系統(tǒng)設(shè)計變量、約束模型可能達到 103量級，一次學(xué)科分析可能需要花費幾小時甚至幾十小時，這些分析計算還可能是由不同的計算機采用不同的程序或軟件完成，而 MDO算法表現(xiàn)的性能又與問題規(guī)模密切相關(guān)[33]。因此，應(yīng)進一步開展具有大工程系統(tǒng)特征的基準測試算例研究。

2）MDO 基準試驗研究針對的對象過于集中，不利于新算法的推廣應(yīng)用。從發(fā)表的文獻來看，目前的MDO 基準試驗比較研究大多是針對 MDF，IDF，CO，CSSO 等少數(shù)幾種發(fā)展時間較長、已較成熟的算法，而對 ASO，MDOIS 等新算法的對比研究鳳毛麟角，不利于新算法的推廣應(yīng)用。

另外，面向復(fù)雜大系統(tǒng)的 MDO 算法應(yīng)用及新算法開發(fā)研究將是今后 MDO 算法研究的重要方向。當設(shè)計系統(tǒng)的規(guī)模大到一定程度時，MDO 算法建模的復(fù)雜性、收斂性、穩(wěn)定性等性能可能發(fā)生根本性的改變，因此，今后的 MDO 算法研究應(yīng)更緊密地結(jié)合實際工程大系統(tǒng)，而不是僅局限于一些數(shù)學(xué)算例或工程概念設(shè)計階段的簡單問題。

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Review of the multidisciplinary design optimization algorithm

YANG Lei, WEI Xi-zhong, ZHAO Feng, LI Sheng-zhong
(China Ship Scientific Research Center, Wuxi 214082, China)

With the development of the Multidisciplinary Design Optimization (MDO) technology, it will become the general trend of the optimization in the future. For a better use of MDO to solve ship design problem, this paper provided a survey and classification of the main MDO algorithms that have been present in recent literatures. A brief introduction was carried out for some developed MDO algorithms, but a more details of the application environment as well as performance features were present here for several developing ones. Finally, a discussion on the drawback and develop trend of MDO algorithm were performed, and several suggestions were given.

MDO；MDO algorithm；MDO algorithm classification

U662

A

1672 - 7619(2017)02 - 0001 - 05

10.3404/j.issn.1672 - 7619.2017.02.001

2016 - 07 - 27；

2016 - 10 - 25

楊磊(1980 - )，男，博士研究生，研究方向為船舶性能多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化。