夏 浩，張麗杰

(大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116023)

(*通信作者電子郵箱lijie_zhang@outlook.com)

隨機(jī)噪聲干擾下的迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)

夏 浩，張麗杰*

(大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116023)

(*通信作者電子郵箱lijie_zhang@outlook.com)

為解決迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)中隨機(jī)噪聲擾動(dòng)問題，提出基于無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)方法。該方法在首次迭代時(shí)對系統(tǒng)輸出誤差進(jìn)行基于小波變換的兩輪實(shí)驗(yàn)法濾波；其次根據(jù)小波濾波獲得的輸出誤差確定部分及原誤差信號作為輸入輸出辨識出等效IIR線性濾波器，并重構(gòu)優(yōu)化誤差目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)一步利用優(yōu)化方法對迭代學(xué)習(xí)控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)；最后利用獲得的線性濾波器及新學(xué)習(xí)律對系統(tǒng)進(jìn)行后續(xù)批次迭代，直到滿足收斂條件為止。仿真顯示：在針對輸出誤差二范數(shù)這個(gè)性能指標(biāo)，該方法與小波濾波相比，降低了近15%，并消除了由于小波濾波閾值選取過小產(chǎn)生的振鈴現(xiàn)象；在批次間噪聲累積上，降低了9%左右。仿真結(jié)果表明，提出的等效濾波器綜合設(shè)計(jì)方法，有效抑制了隨機(jī)噪聲的影響，并提高了系統(tǒng)跟蹤的準(zhǔn)確性。

迭代學(xué)習(xí)；隨機(jī)噪聲；無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器；小波變換；控制器優(yōu)化

0 引言

迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control, ILC)適用于具有重復(fù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的被控對象，可實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的完全跟蹤[1]。ILC是在輸入信號具有可重復(fù)性的前提下執(zhí)行的，然而在實(shí)際的工業(yè)過程中總是不可避免地存在不確定干擾或隨機(jī)噪聲擾動(dòng)，使系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)完全跟蹤，嚴(yán)重破壞了系統(tǒng)的控制品質(zhì)。目前針對迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)中存在隨機(jī)噪聲擾動(dòng)問題，文獻(xiàn)[2-3]提出一種基于信號處理的濾波方法減小控制系統(tǒng)中隨機(jī)噪聲的影響；文獻(xiàn)[4]提出了基于改進(jìn)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器(Extended State Observer， ESO)估計(jì)的P型迭代學(xué)習(xí)控制算法，并利用干擾補(bǔ)償增益實(shí)現(xiàn)干擾從輸出中衰減的效果；文獻(xiàn)[5]通過對誤差中隨機(jī)部分的分析，從控制器設(shè)計(jì)的角度出發(fā)，設(shè)計(jì)了最優(yōu)內(nèi)部反饋控制器并對迭代學(xué)習(xí)控制器進(jìn)行了優(yōu)化，在一定程度上降低系統(tǒng)的隨機(jī)噪聲產(chǎn)生的影響。上述文獻(xiàn)提出的方法，能夠在一定程度上消除隨機(jī)噪聲擾動(dòng)的影響，但都是將控制器設(shè)計(jì)與濾波方法獨(dú)立開來解決迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)中的隨機(jī)擾動(dòng)問題，且只在設(shè)定的批次時(shí)獲得較好的控制性能，隨著迭代次數(shù)的增加，隨機(jī)噪聲在批次間疊加使得迭代學(xué)習(xí)的效果越來越差，嚴(yán)重影響了產(chǎn)品品質(zhì)。

本文提出一種濾波器與控制器設(shè)計(jì)相結(jié)合的ILC優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，以解決迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)中的隨機(jī)擾動(dòng)問題。本文主要針對單輸入單輸出 (Single Input Single Output， SISO)的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，通過對系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)獲得最優(yōu)內(nèi)部反饋控制器，并應(yīng)用文獻(xiàn)[6]中提出的基于小波變換的二次實(shí)驗(yàn)濾波法對系統(tǒng)的誤差信號進(jìn)行濾波處理，使系統(tǒng)的性能獲得了一定程度的改善。但由于基于小波變換的濾波并不能獲得明確的解析表達(dá)式，無法進(jìn)一步對迭代學(xué)習(xí)控制器進(jìn)行分析設(shè)計(jì)。所以本文又進(jìn)一步提出了無限脈沖響應(yīng)(Infinite Impulse Response, IIR)數(shù)字濾波器等效小波濾波的迭代學(xué)習(xí)控制器優(yōu)化方案，提高迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)抗隨機(jī)擾動(dòng)性能。通過計(jì)算和比較不同方法下系統(tǒng)輸出誤差二范數(shù)值隨迭代批次增加時(shí)的變化情況，進(jìn)一步說明本文算法的有效性。

1 系統(tǒng)描述

(1)

由圖1可得到第i次迭代的輸出為：

(2)

圖1 隨機(jī)噪聲輸入迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)

2 系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)圖1給出的系統(tǒng)模型，可得到第i次迭代后的輸出誤差表達(dá)式為：

其中F+Rq-d=(1+TC)-1N由丟番圖方程[7]分解得到；由式(3)可以看出G=1時(shí)系統(tǒng)輸出誤差最小，即迭代學(xué)習(xí)控制器為系統(tǒng)的逆，而實(shí)際過程中由于系統(tǒng)的非最小相位問題等導(dǎo)致系統(tǒng)的逆并不存在，此時(shí)系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)即為求解最優(yōu)的控制器C和L的參數(shù)問題。由于對控制器的聯(lián)合設(shè)計(jì)是一個(gè)復(fù)雜的非線性規(guī)劃問題無法獲得全局最優(yōu)解，因此本文應(yīng)用依次設(shè)計(jì)內(nèi)部反饋控制器與外部迭代學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)控制的方法。

2.1 內(nèi)部控制器的設(shè)計(jì)

由式(3)可以看出系統(tǒng)的輸出誤差由兩部分組成，由參考輸入產(chǎn)生的確定性誤差：

由隨機(jī)噪聲產(chǎn)生的非重復(fù)誤差：

由丟番圖方程可以看出F為內(nèi)部反饋控制器的獨(dú)立項(xiàng)，R為其余項(xiàng)。因此系統(tǒng)內(nèi)部反饋控制器參數(shù)可以通過改變隨機(jī)誤差表達(dá)式中的R項(xiàng)來獲取，從而得到最優(yōu)的內(nèi)部反饋控制器。根據(jù)圖1可以得到系統(tǒng)第i次隨機(jī)擾動(dòng)輸出為：

(4)

(5)

根據(jù)式(5)可以得到輸出方差表達(dá)式為：

由式(6)的表達(dá)形式可以得到使得隨機(jī)噪聲輸出影響最小且內(nèi)部最優(yōu)的反饋控制器：

(7)

2.2 迭代學(xué)習(xí)控制器的設(shè)計(jì)

由式(3)可以看出，系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制器同時(shí)影響了迭代學(xué)習(xí)誤差的重復(fù)部分與隨機(jī)部分。因此最優(yōu)迭代學(xué)習(xí)控制律參數(shù)的選取應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求：1)滿足系統(tǒng)收斂性；2)使系統(tǒng)的輸出誤差不確定部分盡量小。由式(3)及式(7)可以得到式(8)：即獲得內(nèi)部最優(yōu)反饋控制器后系統(tǒng)的誤差表達(dá)式。

針對式(9)的優(yōu)化問題，由文獻(xiàn)[5]中定理1：

(10)

由式(10)可以看出該目標(biāo)函數(shù)實(shí)質(zhì)為輸出誤差二范數(shù)，其參數(shù)求解為凸優(yōu)化問題[8]，可應(yīng)用Matlab優(yōu)化工具箱求解得到該批次的最優(yōu)迭代學(xué)習(xí)控制器。

3 等效小波濾波的ILC控制器設(shè)計(jì)

3.1 二次實(shí)驗(yàn)法小波濾波

本節(jié)介紹一種基于離散小波變換[9]的二次實(shí)驗(yàn)算法，對于一個(gè)迭代批次中的誤差信號，其重復(fù)部分經(jīng)小波變換可獲得相同的小波系數(shù)cr，非重復(fù)部分產(chǎn)生不同的小波系數(shù)cnr，將兩次實(shí)驗(yàn)的小波系數(shù)的比較可以得到誤差信號中的確定部分。通過小波變換的閾值選擇獲得一組有效小波系數(shù)，該系數(shù)用于重構(gòu)濾波后誤差信號，即對隨機(jī)誤差的濾波過程[10]。

其濾波的詳細(xì)過程為：

c1=cr+cnr,1

(11)

c2=cr+cnr,2

(12)

其中下標(biāo)表示的是一次迭代的兩次實(shí)驗(yàn)序號，并不表示不同的迭代批次。將式(11)～(12)得到其只包含誤差非重復(fù)部分的小波系數(shù)：

Δc=c1-c2=cnr,1-cnr,2

式(11)+(12)可得：

選取有效小波系數(shù)：

(13)

由文獻(xiàn)[11]可知基于小波變換的濾波并不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性?；谛〔ㄗ儞Q的濾波能夠進(jìn)一步地減小隨機(jī)噪聲擾動(dòng)對迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的影響，但其也存在以下缺點(diǎn)，基于小波變換的信號濾波過程不能獲得明確的解析表達(dá)式，進(jìn)而無法獲得輸出誤差表達(dá)式，因此無法設(shè)計(jì)外部控制器，且每個(gè)迭代批次都需要實(shí)驗(yàn)兩次，同時(shí)小波變換閾值選取過程復(fù)雜，過小會產(chǎn)生跳變振鈴現(xiàn)象，過大則濾波效果不理想[12]。因此本文進(jìn)一步提出用IIR型數(shù)字濾波器逼近二次實(shí)驗(yàn)法小波濾波的ILC控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。

3.2 基于IIR濾波器的迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)

由于對輸出誤差實(shí)施了濾波處理，濾波后的誤差輸出已盡量平穩(wěn)，此時(shí)可選擇P型迭代學(xué)習(xí)控制律。其優(yōu)化過程見2.2節(jié)。

總結(jié)以上的分析設(shè)計(jì)過程，下面給出了系統(tǒng)設(shè)計(jì)的完整流程，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案流程

4 設(shè)計(jì)與仿真

針對第2章所描述問題為了驗(yàn)證本文提出方法的效果，本章給出了具體的仿真實(shí)驗(yàn)，其系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 基于本文控制器的系統(tǒng)框圖

例1 針對有色噪聲輸入的系統(tǒng)模型為：T=(0.9q-2-0.6q-3)/(1-0.7q-1)，噪聲模型為：N=(1-0.2q-1)/(1-0.9q-1)，并設(shè)定期望輸入為正弦函數(shù)。可以求得系統(tǒng)內(nèi)部最小方差控制器為：Copt=(0.21-0.147q-1)/(0.3-0.29q-1-0.129q-2+0.126q-3)及基于噪聲擾動(dòng)下的優(yōu)化外部迭代學(xué)習(xí)律的控制器為：Lopt=(0.789q2-0.118q-0.007 8)/(0.63(1+0.143q-1))，應(yīng)用三層小波分解綜合濾波器W，辨識的等效線性濾波器為：

Q(q-1)=(0.001 98+0.003 9q-1+0.002 9q-2+ 0.000 95q-3+0.000 117q-4)/(1+0.572z-1+ 0.122 7z-2+0.011 7q-3+0.000 42q-4)

重新優(yōu)化的P型迭代學(xué)習(xí)控制律為：Lopt′ = 0.012 4，對系統(tǒng)分別實(shí)施2次迭代、12次迭代輸出曲線如圖4(a)、4(b)所示。

由圖4(a)的系統(tǒng)輸出曲線對比可以看出，對系統(tǒng)施加基于小波變換的濾波處理，可以進(jìn)一步地消除隨機(jī)噪聲的影響，但是系統(tǒng)輸出在0.1s、5.7s及6.7s附近分別產(chǎn)生了振蕩現(xiàn)象?；诘刃V波器的控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)在同樣減小隨機(jī)噪聲的影響的同時(shí)，又進(jìn)一步消除由于小波變換閾值選取過小產(chǎn)生的振鈴抖動(dòng)現(xiàn)象。

圖4 系統(tǒng)不同迭代次數(shù)結(jié)果對比

由圖4(b)的對比可以看出，原系統(tǒng)中噪聲隨迭代次數(shù)的增加產(chǎn)生了嚴(yán)重的累積現(xiàn)象。針對誤差二范數(shù)值的指標(biāo)，在第12個(gè)批次內(nèi)，原系統(tǒng)為28.01，基于小波變換的濾波為2.65，結(jié)合等效濾波器的迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)方法為0.540 5；本文較小波濾波方法提高了約7.5%；在批次間，由第2次到第12個(gè)批次的過程，原系統(tǒng)誤差二范數(shù)值增加了27.23，基于小波變換的濾波方法誤差二范數(shù)增加了2.1，而等效濾波器的優(yōu)化控制器方法下誤差二范數(shù)的值增加了0.018 9。本文較小波濾波方法提高了約7.7%。為進(jìn)一步說明結(jié)合濾波器的迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)方法的有效性，此部分給出了迭代次數(shù)與系統(tǒng)輸出誤差二范數(shù)的關(guān)系曲線以及部分迭代批次下系統(tǒng)輸出誤差二范數(shù)值，分別如圖5和表1所示。

由圖5、表1可以看出，基于等效濾波器的迭代學(xué)習(xí)控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)，相較只應(yīng)用基于小波變換的濾波方法，能夠更好地消除隨著迭代批次增加而累積的噪聲，提高了控制系統(tǒng)抗隨機(jī)擾動(dòng)的性能。

圖5 迭代次數(shù)與誤差二范數(shù)關(guān)系

5 結(jié)語

本文提出了一種濾波器與ILC控制器結(jié)合的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法，該算法應(yīng)用基于二次實(shí)驗(yàn)小波變換濾波下的誤差輸入輸出辨識出等效的線性數(shù)字濾波器，并且進(jìn)一步優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制器。該算法與只基于小波變換的濾波相比，克服了小波濾波產(chǎn)生的振鈴現(xiàn)象，并且充分減小了批次過程的噪聲過分累積情況。本文也存在一定的不足，由于基于小波變換的濾波效果與其閾值選取有關(guān)，而線性濾波器的獲取是由小波濾波的輸出辨識得到，本文閾值選取范圍憑借經(jīng)驗(yàn)，具有一定主觀性。因此，是否可以建立線性濾波器系數(shù)與小波變換閾值的數(shù)學(xué)關(guān)系也是進(jìn)一步的研究方向。

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ThisworkissupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(61273098).

XIA Hao, born in 1971, Ph.D., professor.His research interests include controller performance assessment, advanced process control.

ZHANG Lijie, born in 1991, M.S.candidate.Her research interest include iterative learning control.

Design of iterative learning controller for systems with random noise

XIA Hao, ZHANG Lijie*

(CollegeofControlScienceandEngineering,DalianUniversityofTechnology,DalianLiaoning116023,China)

To reduce the negative impact of stochastic noise in iterative learning control system, an iterative learning controller design method based on the Infinite Impulse Response (IIR) digital filter was proposed.For the first batch, the output errors from two repeated experiments were filtered by wavelet transform.Then the input/output data during the wavelet filtering process were used to obtain an equivalent IIR filter, which would be used to reconstruct the error objective function and optimize the iterative learning controller.Finally, the obtained IIR filter was applied to filter out the stochastic noise from subsequent batches until the convergence condition was met.Through simulation, compared with wavelet filtering, it could be demonstrated that by applying the proposed method, the 2-norm of output error could be reduced by nearly 15% and the ringing caused by setting the wavelet filter threshold too small was also avoided.The cumulative noise between the batches could be reduced by about 9%.The simulation results show that the proposed algorithm not only significantly reduces the negative effect of stochastic noise, but also effectively improves the accuracy of the tracking system.

iterative learning; stochastic noise; Infinite Impulse Response (IIR) filter; wavelet transform; controller optimization

2016-08-14;

2016-09-07。 基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61273098)。

夏浩(1971—)，男，黑龍江哈爾濱人，教授，博士，主要研究方向：控制器性能評價(jià)、先進(jìn)過程控制； 張麗杰(1991—)，女，吉林長春人，碩士研究生，主要研究方向：迭代學(xué)習(xí)控制。

1001-9081(2017)01-0294-05DOI:10.11772/j.issn.1001-9081.2017.01.0294

TP273.22;TP

A