徐　鵬

（遼寧省農業(yè)機械化研究所，沈陽 110161）

常系數(shù)微分方程廣泛應用于物理學與工程學中系統(tǒng)的振動行為。雖然許多振動問題可以用這類方程進行充分描述，但是對于一般遇到的系統(tǒng)，需要采用帶有時變參數(shù)的微分方程。Flores通過試驗研究了一個線性變質量單自由度系統(tǒng)的振動特性。Nhleko在合并了兩個通常用于描述帶有可變參數(shù)的單自由度自由振動系統(tǒng)的獨立方程之后，提出了一個一般形式上的控制方程。但以往文獻很少涉及線性變質量單自由度立方非線性振動系統(tǒng)的動力學特性。

大多數(shù)的非線性微分方程沒有精確的解析解，所以只能采用一些近似方法來解決，目前許多近似方法已經(jīng)發(fā)展得很成熟。對于含有小參數(shù)的微分方程，近似解析方法包括Linstedt-Poincaré法、多重尺度法、平均法、Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky法等；對于含有大參數(shù)的微分方程，近似解析方法包括修正的Linstedt-Poincaré法、諧波平衡法等。

根據(jù)拓撲學中的同倫，何吉歡提出了同倫攝動（HPM）方法，用以解決非線性問題。HPM方法的有效性和微分方程中是否存在小參數(shù)是沒有關系的，該方法已經(jīng)成功應用于許多非線性問題當中。

1　線性變質量單自由度立方非線性振動系統(tǒng)分析

本研究應用HPM求解線性變質量單自由度立方非線性振動系統(tǒng)的近似解，系統(tǒng)動力學方程為：

初始條件為：

式中：x（t）為系統(tǒng)的位移響應；“′”為對時間 t的微分。

式中：m0和α均為實數(shù)；k為線形彈簧系數(shù)；k1為立方非線性彈簧系數(shù)，c為阻尼系數(shù)；δst為彈簧的靜態(tài)變形。彈簧的靜態(tài)變形可以由下面的公式解得：

線性變質量單自由度立方非線性振動系統(tǒng)如圖1所示。

圖1　變質量振子的力學模型Figure 1　Mechanical model of variable mass oscillator

2　求解過程

通過嵌入一個在［0，1］變化的參數(shù) p，將變量x（t）轉化為 X（t，p），這樣方程（1）變?yōu)椋?/p>

初始條件為：

式中：p 為同倫參數(shù)；x0（t）為方程（1）的初始近似解，且滿足：

可以得到：

假設方程（5）的解為如下形式：

當 p＝1時，方程（1）的近似解為：

將公式（11）帶入公式（5），并比較p的同次冪系數(shù)，可以得到：

由公式（7）得出 x0（t），然后帶入公式（13）解得x1（t）。用相同的方法可以得到 x2（t）， x3（t）等。

3　各階近似解

公式（7）表示一個單自由度變質量線性彈簧振子的動力學方程，為了獲得初始解 x0（t），在公式（7）兩邊同時乘以 x0′（t），得到：

變質量線性彈簧振子的動能和勢能可以寫成：

系統(tǒng)能量的微分為：

根據(jù)公式（15）和公式（17）可寫為：

初始近似解 x0（t）表達為：

由于系統(tǒng)能量的變化僅僅是由質量變化引起的，所以：

x0′2（t）能夠被一個振動周期內的平均速度代替：

根據(jù)公式（18）、公式（20）和公式（21）可以得到：

公式（22）的解為：

式中：A0為一個由初始條件決定的實數(shù)。

將公式（19）帶入公式（7），可以得到：

將公式（23）帶入公式（24），得到：

式中：α＝k/m0；b＝α2/16-c2/（4m02）。公式（25）的解為：

式中：θ為由初始條件決定的實數(shù)。根據(jù)初始條件，A0和θ可以解得：

其中：

線性變質量系統(tǒng)的初始近似解為：

將公式（29）帶入公式（13），可以得到系統(tǒng)的一階近似解：

其中：

將公式（29）和公式（30）帶入公式（14），可以得到系統(tǒng)的二階近似解。在本研究中僅解到一階近似解。

4　具體算例

為了說明上述方法的有效性，考慮m0＝1 kg，α＝0.01，c＝0.01 N·s/m，k＝2 500 N /m，u0＝1.0 m/s，s0＝1.0 m，v0＝1.0 m/s，g＝9.8 N/kg 的情況，假定 λ＝k1/k。 用上述方法得到的一階近似解與由龍格庫塔方法得到的數(shù)值解吻合的非常好，如圖2所示 （圖中：實線為HPM方法；帶圈線為數(shù)值解）。

圖2　不同λ值下，HPM方法的一階近似解與數(shù)值解的比較Figure 2　The comparision of first approximation solution and arithmetic solution by HPMunder different λ value

不同α下相應的一階近似解的相位圖如圖3所示（圖中實線為HPM方法；帶圈線為數(shù)值解）。

圖3　不同α值下，HPM方法的一階近似解相位圖與數(shù)值解的比較Figure 3　The comparision of first approximation solution phase diagram and numerical solution by HPMunder different α value

5　結論

本研究應用HPM方法求得線性變質量單自由度立方非線性振動系統(tǒng)的近似解析解，并與數(shù)值解進行了比較，很明顯地看到了HPM方法對更廣泛的偏微分方程進行解析求解的有效性。

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