趙 軍,陸首創(chuàng),郭天太,孔 明,王道檔

(中國(guó)計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院,浙江 杭州 310018)

基于坐標(biāo)法的特大齒輪螺旋線偏差計(jì)算方法研究

趙 軍,陸首創(chuàng),郭天太,孔 明,王道檔

(中國(guó)計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院,浙江 杭州 310018)

為了解決特大齒輪的測(cè)量難題,提出一種計(jì)算特大齒輪螺旋線偏差的方法,并建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.使用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量斜齒圓柱齒輪,得到齒面坐標(biāo)數(shù)據(jù),計(jì)算出齒輪螺旋線偏差,并與齒輪測(cè)量中心結(jié)果進(jìn)行比較和分析.結(jié)果表明，對(duì)于任意圓柱齒輪,該方法計(jì)算得出的齒輪螺旋線偏差與齒輪測(cè)量中心評(píng)定結(jié)果誤差小于14 μm,該方法可運(yùn)用于特大齒輪螺旋線偏差的計(jì)算.

特大齒輪;齒輪軸線;螺旋線偏差

齒輪是一種重要的機(jī)械傳動(dòng)零件,被廣泛應(yīng)用于各行各業(yè).根據(jù)齒輪的模數(shù)和外徑,可以把齒輪分為微小齒輪、常規(guī)齒輪和大齒輪三種類型,行業(yè)內(nèi)一般將直徑大于3 000 mm的大齒輪稱為特大齒輪[1].特大齒輪主要應(yīng)用于重型機(jī)械傳動(dòng)和重大工程項(xiàng)目中,如發(fā)電機(jī)組、重型工程機(jī)械、巨型船舶傳動(dòng)及大型軍事設(shè)施等,在國(guó)民經(jīng)濟(jì)和國(guó)防事業(yè)中發(fā)揮著不可替代的作用[2].

目前,大型齒輪檢測(cè)儀器主要有:德國(guó)Klingberg研制的P350齒輪測(cè)量中心,其可測(cè)工件最大直徑為3 800 mm;德國(guó)Wenzel公司研制的WGT6000,可測(cè)齒輪直徑最大直徑為6 000 mm;瑞士馬格公司生產(chǎn)的F-300、F-360、ES-30齒形檢查儀[3];日本大阪精密公司生產(chǎn)的HG-CLP型大齒輪測(cè)量系統(tǒng)[4].北京工業(yè)大學(xué)聯(lián)合哈爾濱量具刃具集團(tuán)公司等單位研發(fā)了特大型齒輪激光跟蹤在位測(cè)量系統(tǒng),可測(cè)齒輪直徑小于10 m.對(duì)于特大型齒輪,目前很難實(shí)現(xiàn)精確測(cè)量.軸線是評(píng)定齒輪螺旋線偏差的基準(zhǔn),如何精確確定齒輪軸線是實(shí)現(xiàn)特大齒輪高精度測(cè)量的關(guān)鍵.

近年來(lái),隨著關(guān)鍵設(shè)備對(duì)大型齒輪使用要求的不斷提高,以及大型齒輪加工工藝水平的快速提升,大型齒輪的精度也較以前大大提高,因此大型齒輪的檢測(cè)越來(lái)越受到重視.總的來(lái)說(shuō),大型齒輪的檢測(cè)已有可靠的手段,但特大型齒輪的檢測(cè)目前仍然缺乏有效手段[5].

傳統(tǒng)測(cè)量方式一般利用加工基準(zhǔn)作為測(cè)量基準(zhǔn),本文基于坐標(biāo)法,通過(guò)建立齒輪幾何中心計(jì)算模型,利用齒廓坐標(biāo)計(jì)算得到的幾何中心坐標(biāo)確定齒輪軸線,進(jìn)而提出一種特大齒輪螺旋線偏差的計(jì)算方法,最后用某斜齒漸開(kāi)線齒輪驗(yàn)證方法的正確性,并將計(jì)算結(jié)果與齒輪測(cè)量中心評(píng)定結(jié)果進(jìn)行比較和分析.

1 特大齒輪測(cè)量方案

根據(jù)GB/T10095.1—2008《漸開(kāi)線圓柱齒輪 精度第1部分:輪齒同側(cè)齒面偏差的定義和允許值》,螺旋線的計(jì)值范圍Lβ是指在齒輪兩端處各減去下面兩個(gè)數(shù)值中較小的一個(gè)后的跡線長(zhǎng)度,即與齒寬成正比而不包括齒端倒角和修圓在內(nèi)的長(zhǎng)度.兩個(gè)數(shù)值分別為5%的齒寬和一個(gè)模數(shù)的長(zhǎng)度.

如圖1,選取對(duì)稱的兩對(duì)齒測(cè)量,盡量使兩對(duì)齒分布均勻.沿特大齒輪測(cè)量裝置坐標(biāo)系Z軸方向,等間距選取測(cè)量截面.用測(cè)頭對(duì)每個(gè)截面要測(cè)量齒的漸開(kāi)線齒廓進(jìn)行掃描,從而獲得八個(gè)齒廓的坐標(biāo)數(shù)據(jù).

圖1 任意截面測(cè)量齒廓示意圖Figure 1 Profile measurement of arbitrary cross-section diagram

2 齒輪幾何中心計(jì)算模型的建立

首先根據(jù)漸開(kāi)線圓柱齒輪離散模型理論建立齒輪的離散數(shù)據(jù)模型[6],并計(jì)算得到漸開(kāi)線理論齒廓數(shù)據(jù).假設(shè)齒輪第一個(gè)齒關(guān)于X軸對(duì)稱,規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?則理論漸開(kāi)線齒輪上第i個(gè)齒、第j個(gè)齒廓、第k個(gè)采樣點(diǎn)的坐標(biāo)值為

(1)

式(1)中,i表示第i個(gè)齒;j表示左右齒廓;k表示任一齒廓上第k個(gè)采樣點(diǎn);xijk、yijk分別為齒廓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo);rb為基圓半徑;φk為漸開(kāi)線齒廓上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的展角,φk=tan(arccos(rb/rk)),rk范圍為[rf,ra],rf,ra分別表示齒根圓半徑、齒頂圓半徑;θj為區(qū)分左右齒廓的角度,對(duì)于右齒廓θj=tana-a+π/2z,左齒廓θj=tana-a+π/2z,α為分度圓壓力角;ωi每個(gè)齒的對(duì)稱軸相對(duì)于X軸正向逆時(shí)針?lè)较虻男D(zhuǎn)角度ωi=i×2π/z.

如圖2,K是漸開(kāi)線上任意一點(diǎn),P是漸開(kāi)線在基圓上的起點(diǎn)坐標(biāo),KK′為漸開(kāi)線發(fā)生線,P′點(diǎn)為線段OK與基圓的交點(diǎn),β為弧PP′對(duì)應(yīng)的圓心角,則β角的表達(dá)式為

(2)

式(2)中,xo,yo分別為O點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值,xk,yk分別為K點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值.

圖2 求解β角示意圖Figure 2 Solve β angle

如圖3,點(diǎn)P′坐標(biāo)值可根據(jù)三角形相似性求得,點(diǎn)P可看作點(diǎn)P′逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)β角得到,則點(diǎn)P坐標(biāo)(xP,yP),可由下式求得

(3)

圖3 求漸開(kāi)線起點(diǎn)坐標(biāo)Figure 3 Find the origin of the involute coordinates

式(3)中,xp,yp分別為P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值;xp′,yp′分別為為P′點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值.根據(jù)實(shí)際情況，左齒廓測(cè)量點(diǎn)β取正值,右齒廓測(cè)量點(diǎn)β取負(fù)值.

同理,可根據(jù)每個(gè)齒廓所有測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)求出其對(duì)應(yīng)的擬合漸開(kāi)線的起點(diǎn)坐標(biāo),這些起點(diǎn)坐標(biāo)的集合為{Pk(xk,yk)|k=1,2,3…n}.

如圖4,任取兩點(diǎn)Pk(xk,yk)、Pi(xi,yi),點(diǎn)Pi(xi,yi)與點(diǎn)Pk(xk,yk)之間的圓心角為θik,則

(4)

式(4)中xk,yk分別為Pk點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值;xi,yi分別為Pi點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值.

圖4 求解θi示意圖Figure 4 Solve θi angle

(5)

任一測(cè)量點(diǎn)到其對(duì)應(yīng)的理論齒廓的距離的平方可以表示為

Sjk=(rb·|θik|)2.

(6)

則8個(gè)齒廓上所有的測(cè)量點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)的理論齒廓距離的平方和為

(7)

根據(jù)式(7),采用文獻(xiàn)[8]中的齒輪幾何中心迭代計(jì)算模型,求出S的最小值Smin,則其對(duì)應(yīng)的幾何中心坐標(biāo)值即可作為此截面的齒輪幾何中心,記為C.

3 確定齒輪軸線

沿Z軸任意方向等間距取m個(gè)測(cè)量截面,每個(gè)截面對(duì)應(yīng)的幾何中心記為Ci(xi,yi,zi)(i=1,2…n).利用最小二乘法,將m個(gè)幾何中心點(diǎn)擬合成一條直線l,該直線即為齒輪軸線所在直線.軸線l的方向向量記為V=(μ,ρ,σ),則齒輪軸線所在直線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下:

(8)

將式(8)整理可得

(9)

(10)

同理可得

(11)

當(dāng)Q取最小值時(shí),h1、b、h2、d為方程的系數(shù),即滿足下列方程時(shí)Q值最小

則

(12)

(13)

式(12)、(13)可重寫為

FF′H=FX，

(14)

FF′S=FY.

(15)

用m組數(shù)據(jù)點(diǎn)解方程組即可求得h1、b、h2、d的值,即可確定齒輪的軸線所在直線.

4 螺旋線偏差的計(jì)算

為了在計(jì)算螺旋線偏差時(shí),能夠確定理論端截面齒廓的位置,將齒輪軸線所在直線作為新坐標(biāo)系的Z軸,軸線與xoy平面的交點(diǎn)作為新坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)所有測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)變換[10].坐標(biāo)變換公式為

(16)

根據(jù)三維螺旋線誤差的定義:以理論螺旋線為基準(zhǔn)進(jìn)行螺旋線測(cè)量,實(shí)際螺旋線測(cè)量點(diǎn)偏離理論漸開(kāi)螺旋面的量,在端平面內(nèi)且垂直于漸開(kāi)線齒廓的方向計(jì)值[11].即將點(diǎn)到漸開(kāi)螺旋面的距離變換為點(diǎn)到漸開(kāi)線的距離.本文將分度圓柱與漸開(kāi)螺旋面的交線作為螺旋線偏差評(píng)定的基準(zhǔn).

如圖5(a)所示,r為分度圓半徑,任一與端截面內(nèi),D點(diǎn)為實(shí)際螺旋線上的測(cè)量點(diǎn),Q點(diǎn)為理論漸開(kāi)線齒廓與分度圓的交點(diǎn),DQ為理論漸開(kāi)線發(fā)生線.根據(jù)式(1)～(4)可求得θ的值.同理,可求得實(shí)際螺旋線上任一測(cè)量點(diǎn)Di所對(duì)應(yīng)的θi值.在特大齒輪的測(cè)量方案中,測(cè)量漸開(kāi)線齒廓時(shí),測(cè)量點(diǎn)為離散坐標(biāo)點(diǎn),無(wú)法通過(guò)測(cè)量得到分度圓對(duì)應(yīng)的實(shí)際螺旋線測(cè)量點(diǎn)的精確坐標(biāo)值.本文采用測(cè)量點(diǎn)直線插值法即在距離分度圓最近的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)間插值求得D點(diǎn)坐標(biāo)值.

(a)單截面

(b)多截面

如圖5(b)所示,D1、D2、…Dn為任意齒面上的實(shí)際螺旋線測(cè)量點(diǎn),螺旋線總偏差為包容實(shí)際螺旋線跡線的設(shè)計(jì)螺旋線跡線間的距離[12].亦即包容所有實(shí)際螺旋線測(cè)量點(diǎn)的設(shè)計(jì)螺旋線間的距離.則任意齒面的螺旋線總偏差為

Fβ=rb×|θmax-θmin|.

(18)

式(18)中,θmax、θmin分別為θ的最大值和最小值.

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所提出的特大齒輪螺旋線偏差計(jì)算方法的準(zhǔn)確性,實(shí)驗(yàn)中使用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)一斜齒圓柱齒輪進(jìn)行測(cè)量,并與齒輪測(cè)量中心測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.實(shí)驗(yàn)所用齒輪參數(shù)為:模數(shù)mn=8 mm,齒數(shù)z=47,壓力角αn=20°,螺旋角β=14°,齒寬b=60 mm,左旋.三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量時(shí),在螺旋線計(jì)值范圍內(nèi),沿Z軸方向以3 mm等間距選取10個(gè)截面測(cè)量漸開(kāi)線齒廓.

部分測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù)如表1.本方法計(jì)算出的齒輪幾何中心坐標(biāo)值如表2,齒輪測(cè)量中心評(píng)定出的偏差曲線如圖6,齒輪測(cè)量中心螺旋線偏差評(píng)定結(jié)果與本文所提方法計(jì)算結(jié)果如表3.

表1 部分測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)值

表2 齒廓幾何中心坐標(biāo)值

圖6 螺旋線偏差曲線圖Figure 6 Helix deflection curve

表3 齒輪測(cè)量中心評(píng)定結(jié)果與本文算法計(jì)算結(jié)果

Table 3 The result of the gear measurement center and the result of the algorithm

6 結(jié) 語(yǔ)

螺旋線偏差是大齒輪評(píng)定的關(guān)鍵指標(biāo).本文通過(guò)建立齒輪幾何中心計(jì)算模型,進(jìn)而確定特大齒輪的軸線.對(duì)所提出特大齒輪螺旋線偏差計(jì)算方法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,使用?？怂箍等鴺?biāo)測(cè)量機(jī)沿漸開(kāi)線方向測(cè)量斜齒圓柱齒輪齒面,計(jì)算出齒輪螺旋線偏差.通過(guò)與齒輪測(cè)量中心實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析表明,該方法的可有效用于特大齒輪螺旋線偏差評(píng)定,從而為特大齒輪的測(cè)量提供了新方法,可有效運(yùn)用于實(shí)際測(cè)量中.

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A coordinate method of spiral deviation of super-large gears

ZHAO Jun, LU Shouchuang, GUO Tiantai, KONG Ming, WANG Daodang
(College of Metrology and Measurement Engineering, China Jiliang University, Hangzhou 310018, China)

We proposed a method of calculating the helix error of super-large gears and established the corresponding mathematical model. The coordinate measuring machine was used to measure a helical cylindrical gear to get its tooth surface coordinate values. The helix deviation was calculated and compared with the result of the gear measuring center. That the error between the proposed method and the gear center’s measurement was less than 14 μm. The result shows that the proposed method can be applied in the determination of super-large gear axis and the calculation of helix deviation.

super-large gear; gear’s geometrical center; gear axis

2096-2835(2017)01-0023-06

10.3969/j.issn.2096-2835.2017.01.004

2016-12-08 《中國(guó)計(jì)量大學(xué)學(xué)報(bào)》網(wǎng)址：zgjl.cbpt.cnki.net

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(No.51375467),國(guó)家質(zhì)檢公益性行業(yè)科研專項(xiàng)項(xiàng)目(No.201410009).

趙 軍(1960- ),男,黑龍江省哈爾濱人,教授,主要研究方向?yàn)闄C(jī)械振動(dòng)噪聲控制與信號(hào)處理等. E-mail:zhaojun@cjlu.edu.cn

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