張莎+張怡+海蓮+張歡

摘 要 以雙臂電橋測(cè)低值電阻電阻率的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理為例，本文研究等精度測(cè)量的不確定度評(píng)定方法及非等精度測(cè)量的兩種不確定度評(píng)定方法，探討不等精度測(cè)量中B類不確定度對(duì)處理結(jié)果的影響。并且給出了針對(duì)具有兩個(gè)線性變量而其它待測(cè)量真值不變的多待測(cè)量實(shí)驗(yàn)的不確定度的直線擬合法，且由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析表明了其合理性和準(zhǔn)確性。

【關(guān)鍵詞】雙臂電橋 等精度測(cè)量 非等精度測(cè)量 不確定度評(píng)定

1 引言

直流雙臂電橋測(cè)低值電阻電阻率是一個(gè)廣泛開展的綜合性大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，其不同于中學(xué)的測(cè)量電阻的方法和對(duì)間接測(cè)量量的不確定度評(píng)定對(duì)引導(dǎo)學(xué)生理解大學(xué)物理和中學(xué)物理的異同上發(fā)揮著重要作用；對(duì)開拓學(xué)生的物理思維和啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用不同方法測(cè)量物理量方面具有重要的意義。在雙臂電橋測(cè)電阻時(shí)可以采用電阻長(zhǎng)度不變的等精度測(cè)量和電阻長(zhǎng)度變化的非等精度測(cè)量（廣義的非等精度測(cè)量）兩種方案。對(duì)不同方案，處理不確定度時(shí)應(yīng)該選擇不同的處理方法。等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定度有各類教材和參考書可做參考；部分論文對(duì)其它實(shí)驗(yàn)的非等精度的不確定度進(jìn)行了處理，但不同的不確定度處理方法的結(jié)果之間或者非等精度和等精度測(cè)量的處理結(jié)果間的比較存在較大差異，而本實(shí)驗(yàn)非等精度測(cè)量的不確定度評(píng)定卻未見提及。但我們?cè)陂_展該實(shí)驗(yàn)時(shí)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，在同學(xué)們自由選擇的情況下，有超過2/3的學(xué)生會(huì)選擇非等精度測(cè)量；而即便是在刻意引導(dǎo)下，也有接近1/4的學(xué)生采用非等精度測(cè)量。在處理不確定度時(shí)，絕大多數(shù)的學(xué)生卻使用了間接測(cè)量量的等精度不確定度評(píng)定方法，這導(dǎo)致大部分采用非等精度測(cè)量方案的同學(xué)處理的不確定結(jié)果不合理。可見本實(shí)驗(yàn)中，非等精度的不確定度評(píng)定是不可避免的內(nèi)容。為此，本文給出了非等精度測(cè)量時(shí)電阻率的不確定度評(píng)定方法；探討了加權(quán)平均法和直線擬合法的A類不確定度和B類不確定的處理。并對(duì)等精度和非等精度測(cè)量結(jié)果的不確定度進(jìn)行了對(duì)比分析。本文對(duì)非等精度的不確定度評(píng)定方法，可以為多個(gè)待測(cè)量中存在兩個(gè)線性變量而其它待測(cè)量真值不變情況下的不確定度處理提供參考。

2 等精度測(cè)量及不確定度評(píng)定

本實(shí)驗(yàn)的電阻率采用間接測(cè)量，選用足夠長(zhǎng)的直徑均勻的圓柱形低值電阻，分別測(cè)量電阻阻值、電阻直徑D和長(zhǎng)度L，通過電阻率公式

計(jì)算電阻率。等精度測(cè)量時(shí)，固定長(zhǎng)度L真值不變，在相同條件下重復(fù)測(cè)量各物理量6次。為了與后面不等精度數(shù)據(jù)的不確定度對(duì)比，我們分別測(cè)量了L分別約為419.8mm、399.9mm、380.0mm、360.0mm、340.0mm和320.0mm的數(shù)據(jù)，每個(gè)L等精度測(cè)量六組（篇幅所限，測(cè)量原始數(shù)據(jù)未列出）。

等精度測(cè)量結(jié)果的不確定度，根據(jù)誤差傳遞公式：

，先分別計(jì)算L、D和Rx的不確定度u（x），（其中，x=L、D、Rx），再由誤差傳遞公式求出電阻率的不確定度u（ρ）。其步驟如下：

（1）計(jì)算x（x=L、D、Rx）的A類不確定度。A類不確定度是用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法計(jì)算的分量，是隨機(jī)誤差性質(zhì)的不確定度?？梢暈閷?shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)偏差：

。

（2）計(jì)算x（x=L、D、Rx）的B類不確定度。B類不確定度，不滿足統(tǒng)計(jì)規(guī)律的分量，是系統(tǒng)誤差性質(zhì)的不確定度。通?？紤]儀器誤差引起的不確定度：

，其中△mL=0.1mm，

△mD=0.004mm，。

（3）計(jì)算x（x=L、D、Rx）的合成不確定度：

。

（4）計(jì)算x（x=L、D、Rx）的相對(duì)不確定度：

。

（5）計(jì)算電阻率ρ的不確定度：

；

為了與后面不等精度數(shù)據(jù)的不確定度對(duì)比，對(duì)于每個(gè)L處等精度測(cè)量的六組數(shù)據(jù)，我們都計(jì)算了其不確定度，結(jié)果列于表1。根據(jù)我國(guó)制定的不確定度實(shí)施指南，且為體現(xiàn)其差異性，表示不確定度時(shí)取兩位有效數(shù)字。由表中可以看出，隨著L的增大，不論是實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)偏差還是相對(duì)不確定度都逐漸減小。因此，對(duì)于等精度測(cè)量，為了減小誤差，應(yīng)選擇較大的L進(jìn)行測(cè)量。

3 非等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的加權(quán)平均法處理

相比于L固定的等精度測(cè)量，實(shí)驗(yàn)中還可采用改變L的非等精度測(cè)量電阻率的方案，采用這種方案，實(shí)驗(yàn)過程具有變化性，操作不顯枯燥，更容易引起學(xué)生的興趣。表2給出了L等間距變化測(cè)量的六組數(shù)據(jù)。對(duì)其數(shù)據(jù)的處理有加權(quán)平均法和直線擬合法兩種方式，兩種數(shù)據(jù)處理不確定度的方法有一定的差異。此部分給出了加權(quán)平均處理A類和B類不確定度的方法。

3.1 最佳值ρO

從第二部分等精度測(cè)量結(jié)果的不確定度變化趨勢(shì)可知，L越小，測(cè)量結(jié)果的誤差越大，因此，ρ的最佳值不能直接平均求得，而應(yīng)考慮單次測(cè)量的可靠程度。即最佳值ρ0表示為加權(quán)平均值：ρ0=∑iωiρi，其中ρi為第i次單次測(cè)量計(jì)算結(jié)果，ωi為其對(duì)應(yīng)的歸一化權(quán)。ωi與單次測(cè)量的不確定度u（ρi）的關(guān)系為：

。計(jì)算u（ρi）時(shí)，因?yàn)槠錇閱未螠y(cè)量的不確定度，因此不計(jì)入A類評(píng)定而只考慮B類評(píng)定為：

，其中，△mL=0.1mm，△mD=0.004mm，

。

計(jì)算得ρ0=7.19×10-5Ω·mm，略大于其平均值=7.18×10-5Ω·mm。由表2列出的權(quán)值ωi的計(jì)算結(jié)果可見，隨著 L增大，權(quán)值逐漸增加，這符合本實(shí)驗(yàn)儀器的誤差變化規(guī)律。

3.2 A類不確定度

類似等精度測(cè)量的A類不確定度，但需計(jì)入加權(quán)平均。通常將加權(quán)平均的標(biāo)準(zhǔn)偏差記為其A類不確定度：

。計(jì)算結(jié)果為：uA（ρ）=0.016×10-5Ω·mm。

3.3 B類不確定度

大部分參考書和文獻(xiàn)[1-4]的非等精度測(cè)量不確定度評(píng)定只考慮了A類不確定度，但本實(shí)驗(yàn)中，上述計(jì)算結(jié)果顯示，若只考慮A類評(píng)定，其結(jié)果與等精度測(cè)量的處理結(jié)果有很大差異。由于B類不確定度是系統(tǒng)誤差性質(zhì)的不確定度，且考慮其權(quán)重，參考李震春等老師在伏安法測(cè)表頭內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)中所采用的處理方法，我們將單次測(cè)量的不確定度u（ρi）的加權(quán)平均作為B類不確定度：uB（ρ）=∑iωiu（ρi）。計(jì)算結(jié)果為：uB（ρ）=0.610×10-5Ω·mm

3.4 合成不確定度

將A類和B類不確定度按其方和根法計(jì)算得：

u（ρ）=

=0.61×10-5Ω·mm；

其最終結(jié)果為：ρ=（7.19±0.61）×10-5Ω·mm（P=68.3%），E（ρ）=8.5%。

4 非等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的直線擬合法處理

本實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量電阻阻值Rx、電阻直徑D和長(zhǎng)度L三者之間雖然不具備線性關(guān)系，但根據(jù)電阻率公式以及表2非等精度的測(cè)量結(jié)果看，電阻阻值Rx與電阻長(zhǎng)度L存在線性關(guān)系。我們引入一個(gè)中間量k，定義為：

，則電阻率表示為。根據(jù)k和直徑D的特點(diǎn)，我們提出，ρ的最佳值根據(jù)公式

確定，而其不確定度根據(jù)誤差傳遞公式來計(jì)算。

4.1 直徑D的不確定度評(píng)定

直徑D的不確定度評(píng)定采用與第二部分中等精度測(cè)量的相同處理方法，計(jì)算得到：

=3.9802mm；u（D）==0.0024mm；E（D）=0.060%。

4.2 中間量k的最佳值和不確定度評(píng)定

根據(jù)Rx=kL，（Rxi，Li）的測(cè)量值可用過原點(diǎn)的直線來擬合，其斜率k的最佳值可表示為：k=（∑iLiRxi）/∑iL2i。計(jì)算結(jié)果為：k=5.78×10-3Ω/mm。

k的A類不確定度一般為擬合直線中斜率k的標(biāo)準(zhǔn)偏差：

。計(jì)算得到uA（k）=0.011×10-3Ω/mm。顯然，k的A類不確定度較小，若只考慮A類不確定度，其最終結(jié)果仍與前面計(jì)算結(jié)果有很大差異。因此，我們進(jìn)一步計(jì)算了k的B類不確定度。

由于B類不確定度是系統(tǒng)誤差性質(zhì)的不確定度，考慮本部分為直線Rx=kL擬合結(jié)果，我們將直線中處的單次測(cè)量不確定度作為k的B類不確定度，其實(shí)質(zhì)為直線上該處的儀器誤差，即：

，

其中。計(jì)算得：uB（k）=0.489×10-3Ω/mm。

綜上，可以得到中間量k的最佳值和不確定度分別為：k=5.78×10-3Ω/mm；u（k）==0.49×10-3Ω/mm；E（k）=8.5%

4.3 ρ的直線擬合法數(shù)據(jù)不確定度處理結(jié)果

將D和k的不確定度按誤差傳遞公式計(jì)算得：

u（ρ） =

=0.61×10-5Ω·mm；

E（ρ）==8.5%。

5 三種方法不確定度比較分析

根據(jù)以上結(jié)果可知：

（1）比較等精度測(cè)量的不確定度結(jié)果發(fā)現(xiàn)，L真值較大時(shí)，實(shí)驗(yàn)誤差更小。

（2）非等精度測(cè)量的不確定度評(píng)定時(shí)：若不計(jì)入B類不確定度，結(jié)果與等精度處理結(jié)果有很大差異；采用本文的方法計(jì)入B類不確定度，其結(jié)果與介于L=380cm到L=360cm的等精度處理結(jié)果非常接近。由此可見，非等精度不確定度評(píng)定時(shí)，若不計(jì)算B類不確定度是不合理的，在處理非等精度不確定度時(shí)，仍應(yīng)該考慮B類不確定度。

（3）兩種非等精度數(shù)據(jù)處理方法得到的結(jié)果一致。本實(shí)驗(yàn)中所采用的加權(quán)平均法與大部分實(shí)驗(yàn)所使用的加權(quán)平均法相同，且與等精度測(cè)量的不確定度相近，其結(jié)果的準(zhǔn)確性能夠得到認(rèn)可。而本實(shí)驗(yàn)中所改進(jìn)的直線擬合法處理的結(jié)果與加權(quán)平均法一致，可見我們提出的對(duì)具有兩個(gè)線性變量而其它待測(cè)量真值不變的多待測(cè)量實(shí)驗(yàn)的不確定度評(píng)定方法是合理可行的。

6 結(jié)論

本文討論了直流雙臂電橋測(cè)低值電阻電阻率實(shí)驗(yàn)中，等/非等精度測(cè)量不確定度評(píng)定的方法與步驟，結(jié)果的分析對(duì)比發(fā)現(xiàn)，等精度測(cè)量時(shí)，為減小誤差，應(yīng)盡可能的選擇較大的L進(jìn)行測(cè)量；非等精度測(cè)量時(shí)，B類不確定度對(duì)結(jié)果具有很大影響不可忽略。本文對(duì)非等精度測(cè)量中不確定度的直線擬合處理法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了針對(duì)具有兩個(gè)線性變量而其它待測(cè)量真值不變的多待測(cè)量實(shí)驗(yàn)的不確定度的直線擬合法。從數(shù)據(jù)的處理結(jié)果來看，該方法合理可行，對(duì)具有類似特征的多待測(cè)量實(shí)驗(yàn)具有較大的參考價(jià)值。

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