王 勇 (郵編：441000)

湖北省襄陽(yáng)市第一中學(xué)

復(fù) 習(xí)考 試

幾何概型
——悄然興起的高考熱點(diǎn)

王 勇 (郵編：441000)

湖北省襄陽(yáng)市第一中學(xué)

縱觀近年高考試題及高考模擬試題，幾何概型問(wèn)題頻頻出現(xiàn)，這類問(wèn)題新穎別致，構(gòu)思精妙，極富思考性和挑戰(zhàn)性.幾何概型的概率求解一般分三步：①判斷試驗(yàn)是否為幾何概型；②將試驗(yàn)構(gòu)成的區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量(如長(zhǎng)度、面積、體積或角度)；③應(yīng)用幾何概型的概率公式求概率.下面結(jié)合實(shí)例分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

1 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型

例1 (2016·全國(guó)甲卷高考題文8)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.某一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為( )

圖1

點(diǎn)評(píng) 本題結(jié)合線段圖考查與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型.考查分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力及運(yùn)算求解能力.

例2 (2016·全國(guó)乙卷高考題)某公司的班車在7:30，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是( )

圖2

解析 如圖2，7:50至8：30之間的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘，而小明等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘是指小明在7:50至8:00之間或8:20至8:30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時(shí)間長(zhǎng)度之和為20分鐘，由幾何概型的概率計(jì)算公式知所求概率為

,故選

B

.

點(diǎn)評(píng) 本題結(jié)合線段圖考查幾何概型的概率計(jì)算公式.考查分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力及運(yùn)算求解能力.

解析 利用直線與圓相交的條件及幾何概型求解.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系及幾何概型.通過(guò)直線與圓相交求k的取值范圍，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，通過(guò)求概率考查對(duì)幾何概型概念的理解能力及運(yùn)算求解能力.

解析 先利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出不等式，再根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式求出概率.

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和幾何概型.求解對(duì)數(shù)不等式考查了運(yùn)算求解能力，幾何概型概率的求解考查了創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí).

例5 (2015·重慶市高考題)在區(qū)間[0,5]上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p,則方程x2+2px+3p-2=0有兩個(gè)負(fù)根的概率為_(kāi)_____.

解析 先根據(jù)方程有兩個(gè)負(fù)根求得p的取值范圍，然后利用幾何概型的概率計(jì)算公式求出概率.

因?yàn)榉匠蘹2+2px+3p-2=0有兩個(gè)負(fù)根x1、x2,

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次方程根的分布和幾何概型.根據(jù)一元二次方程根的分布情況建立不等式組，求p的取值范圍，考查了邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力.將一元二次方程根的分布與概率相結(jié)合，體現(xiàn)了化歸意識(shí)在解題中的應(yīng)用.

例6 (2016·長(zhǎng)沙市模擬題)平面上畫了一組彼此平行且相距2a的平行線.把一枚半徑r

解析 設(shè)“硬幣不與任一平行線相碰”為事件A.

圖3

如圖3，在兩相鄰平行線間畫出與平行線間距為r的兩平行虛線，則當(dāng)硬幣中心落在兩虛線間時(shí)，與平行線不相碰.

點(diǎn)評(píng) 本題中把硬幣不與平行線相碰轉(zhuǎn)化為硬幣中心到平行線的距離是關(guān)鍵，可方便地確定事件A的區(qū)域長(zhǎng)度和所有可能結(jié)果的區(qū)域長(zhǎng)度.將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)計(jì)算是幾何概型的精華所在.

2 與面積有關(guān)的幾何概型

圖4

解析 先求陰影部分的面積，再根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式求出概率.

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的幾何意義和幾何概型.結(jié)合圖形求解面積，考查了識(shí)圖能力、運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想.

解析 根據(jù)復(fù)數(shù)的模構(gòu)造出基本事件空間和隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為面積的比值.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)數(shù)的模、幾何概型以及直線與圓的位置關(guān)系等.通過(guò)將復(fù)數(shù)的模的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為圓面考查抽象概括能力，利用面積求幾何概型的概率考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí).

A.p1

C.p3

圖6

點(diǎn)評(píng) 本題考查約束條件表示的平面區(qū)域及幾何概型.把問(wèn)題抽象概括為幾何概型問(wèn)題求解，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.在比較概率大小時(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

例10 (2013·四川省高考題)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹(shù)上掛了兩串彩燈.這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮.那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是( )

解析 結(jié)合線性規(guī)劃，利用幾何概型求解.

圖7

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃和幾何概型的應(yīng)用.將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃和幾何概型問(wèn)題求解，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí)以及運(yùn)算求解能力.

圖8

點(diǎn)評(píng) 本題考查奇函數(shù)及其性質(zhì)，利用割補(bǔ)法求解商標(biāo)區(qū)域的面積進(jìn)而求解概率，充分彰顯了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、和諧美、簡(jiǎn)單美和奇異美.通過(guò)求概率考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力.

3 與體積有關(guān)的幾何概型

圖9

例12 (2016·青島市調(diào)考題)如圖9，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E、H分別是棱A1B1、D1C1上的點(diǎn)(點(diǎn)E與B1不重合)，且EH//A1D1,過(guò)EH的平面與棱BB1、CC1相交，交點(diǎn)分別為F、G.設(shè)AB=2AA1=2a.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在棱A1B1、BB1上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，則p的最小值為( )

點(diǎn)評(píng) 本題由2010年福建省高考題改編而成，考查立體幾何的有關(guān)知識(shí)、幾何概型、基本不等式的應(yīng)用等.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力及“正難則反”的思想方法.

圖10

點(diǎn)評(píng) 如果試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來(lái)度量，那么就要結(jié)合問(wèn)題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確找出構(gòu)成事件A的區(qū)域體積及試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積，再根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.

4 與角度有關(guān)的幾何概型

例14 (2016·南昌市調(diào)考題)在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC,則使得∠AOC和∠BOC都小于30°的概率為_(kāi)_____.

圖11

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)涉及射線的運(yùn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，長(zhǎng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，切不可用線段代替，這是兩種不同的度量手段.作射線OD、OE,使∠AOD=30°,∠AOE=60°是求解本題的關(guān)鍵.

例15 (2016·宜昌市模擬題)在等腰Rt△ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部任意作一條射線CM交AB邊于點(diǎn)M,則AM小于AC的概率為_(kāi)_____.

分析 在∠ACB內(nèi)的射線CM是均勻分布的，所以射線CM在∠ACB內(nèi)的任何位置都是等可能的.因?yàn)锳M的大小與點(diǎn)M在AB上的位置有關(guān)，為了確保AM

圖12

解析 如圖12所示，在AB上截取AC′=AC,連接CC′,則∠ACC′=∠AC′C,在△CAC′中，因?yàn)椤螦=45°,所以∠ACC′=67.5°.

點(diǎn)評(píng) 解答本題時(shí)，要特別注意“在∠ACB的內(nèi)部任意作一條射線CM交AB邊于點(diǎn)M”這句話，由此確定“測(cè)度”是角度.如果把這句話改為“在線段AB上找一點(diǎn)M”，則問(wèn)題的情境立刻發(fā)生改變，相應(yīng)的“測(cè)度”應(yīng)改為線段的長(zhǎng)度.

5 隨機(jī)模擬問(wèn)題

圖13

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型及隨機(jī)模擬.通過(guò)隨機(jī)模擬的應(yīng)用考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，通過(guò)幾何概型的計(jì)算考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力.

圖17

內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘，則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)約為( )

A.866B.500C.300D.134

點(diǎn)評(píng) 本題以古代數(shù)學(xué)文化為背景考查幾何概型的知識(shí)，既考查了考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，又弘揚(yáng)了中國(guó)古代優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化.該題引導(dǎo)考生提高人文素養(yǎng)、傳承民族精神，樹(shù)立民族自信心和自豪感.

2016-12-26)