張寶安, 鄭靜, 周和超

(1.中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司a.國(guó)家工程研究中心;b.技術(shù)中心， 山東青島266000；2.同濟(jì)大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院， 上海201804)

基于格林函數(shù)的輪軌缺陷對(duì)輪軌垂向動(dòng)態(tài)相互作用的研究

張寶安1a, 鄭靜1b, 周和超2

(1.中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司a.國(guó)家工程研究中心;b.技術(shù)中心， 山東青島266000；2.同濟(jì)大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院， 上海201804)

在輪軌垂向耦合振動(dòng)模型中，把鋼軌考慮成離散支撐的連續(xù)的鐵木辛科梁，用一系懸掛和二系懸掛把在鋼軌上滾動(dòng)的車輪、1/4構(gòu)架質(zhì)量塊和1/8車體質(zhì)量塊連接起來(lái)作為簡(jiǎn)化的車輛模型。為了高效精確地研究不同車輪和鋼軌缺陷對(duì)輪軌垂向動(dòng)態(tài)相互作用的影響，對(duì)鋼軌在移動(dòng)載荷作用下的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行拉普拉斯變換，用格林函數(shù)法求解其在頻域上的響應(yīng)解，再通過(guò)反傅里葉變換求得鋼軌在時(shí)域內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)?？紤]不同工況下車輪的扁疤、多邊形化缺陷和鋼軌的波磨缺陷，用非線性赫茲接觸理論和數(shù)值迭代方法計(jì)算輪軌垂向沖擊力。結(jié)果表明：應(yīng)用格林函數(shù)法可以高效準(zhǔn)確地求解輪軌垂向動(dòng)態(tài)響應(yīng)，為在高頻范圍內(nèi)研究輪軌作用提供了理論基礎(chǔ)。

鐵木辛科梁；格林函數(shù)；輪軌垂向沖擊力；車輪扁疤；車輪多邊形化；鋼軌波磨

引言

車輪圓周非圓化現(xiàn)象廣泛存在于鐵路運(yùn)輸現(xiàn)場(chǎng)。制動(dòng)熱傷損和滾動(dòng)接觸疲勞會(huì)引起扁疤、剝離等車輪滾動(dòng)圓局部非圓化，車輪半徑沿整個(gè)圓周呈周期性變化是車輪多邊形化的車輪滾動(dòng)圓全周非圓化的典型特征。車輪圓周的局部非圓化將會(huì)引起極大的輪軌高頻沖擊載荷，車輪圓周的全局非圓化將引起低頻輪軌接觸力的增大，導(dǎo)致輪軌和車輛簧下結(jié)構(gòu)的損傷。車輪圓周非圓化會(huì)對(duì)車輛-軌道系統(tǒng)造成很大的沖擊作用，影響車輛零件的強(qiáng)度，加劇輪對(duì)的損壞，還對(duì)軌道產(chǎn)生極大的影響，加劇輪軌間磨損，影響輪軌服役時(shí)間，對(duì)行車穩(wěn)定性、安全性有很大影響，并且產(chǎn)生的沖擊噪聲或增大的滾動(dòng)噪聲又將影響乘客的舒適度。鋼軌波磨的存在導(dǎo)致車輛軌道結(jié)構(gòu)激烈的振動(dòng)，不僅影響車輛和軌道結(jié)構(gòu)的使用壽命，而且嚴(yán)重的鋼軌波磨會(huì)導(dǎo)致重大脫軌事故的發(fā)生，增加了鐵路養(yǎng)護(hù)部門的維修工作量和維修費(fèi)用。

因此，各國(guó)學(xué)者在輪軌垂向相互作用的數(shù)值模擬、輪軌缺陷形成機(jī)理方面展開(kāi)了一些研究。Nielsen等分別用有限元方法[1]、復(fù)模態(tài)疊加法[2]和模態(tài)子結(jié)構(gòu)的方法[3]建立了輪軌振動(dòng)模型，研究了不同波長(zhǎng)的扁疤產(chǎn)生的最大輪軌沖擊力，確定了對(duì)應(yīng)的輪軌接觸丟失的車輛運(yùn)行速度。Wu和Thompson等[4-6]用數(shù)值解析的方法建立軌道的鐵木辛科梁模型，分析了在連續(xù)兩層彈性支撐和離散支撐上的軌道受到不同尺寸的車輪扁疤沖擊力和沖擊噪音。Baeza[7]分析比較了赫茲模型和三維非赫茲模型中車輪扁疤產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。文獻(xiàn)[8]應(yīng)用車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論分析了車輪扁疤激擾下輪軌沖擊噪聲的特性。翟婉明[9]將車輪扁疤等沖擊型激擾模型作為激擾源輸入到車輛-軌道耦合系統(tǒng)模型中。Johansson[10]研究了車輪多邊形化對(duì)輪軌垂向動(dòng)態(tài)作用力的影響。Meinke[11]等人數(shù)值模擬了初始理想圓形車輪在激勵(lì)作用下逐漸向多邊形的發(fā)展過(guò)程。谷永磊等建立高速鐵道車輛-板式無(wú)砟軌道動(dòng)力學(xué)數(shù)值分析模型，采用現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試得到的高速鐵路鋼軌波磨數(shù)據(jù)作為系統(tǒng)激勵(lì)，研究不同深度的鋼軌波磨對(duì)高速鐵路輪軌相互作用、車輛運(yùn)行穩(wěn)定性的影響[12]，并研究了高速鐵路軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性與鋼軌波磨間的內(nèi)在關(guān)系以及軌道振動(dòng)特性對(duì)鋼軌波磨影響的機(jī)理[13]。陳光雄等基于摩擦系統(tǒng)自激振動(dòng)理論[14-15]建立了由輪對(duì)和鋼軌組成的輪軌系統(tǒng)摩擦自激振動(dòng)模型，使用該模型對(duì)輪軌系統(tǒng)進(jìn)行了摩擦自激振動(dòng)發(fā)生趨勢(shì)的仿真分析[16]。

本文為了探究輪軌垂向動(dòng)態(tài)相互作用，把軌道考慮成離散支撐的連續(xù)的鐵木辛科梁，在鋼軌上移動(dòng)車輪通過(guò)一系懸掛連接一質(zhì)量塊作為簡(jiǎn)單的車輛模型，建立了輪軌垂向耦合振動(dòng)模型。通常，相比頻域范圍，鋼軌的時(shí)域振動(dòng)模型需要更多的計(jì)算工作量[17]，所以對(duì)鋼軌在移動(dòng)載荷作用下的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行拉普拉斯變換，用格林函數(shù)法求解其在頻域上的響應(yīng)解，再通過(guò)反傅里葉變換求得鋼軌在時(shí)域內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)。用非線性赫茲接觸理論和數(shù)值迭代方法分析計(jì)算不同工況下車輪扁疤、多邊形化缺陷和鋼軌波磨缺陷引起的輪軌垂向動(dòng)態(tài)沖擊力。

1輪軌垂向動(dòng)態(tài)響應(yīng)的求解

輪軌垂向耦合振動(dòng)模型包括車輛子系統(tǒng)和軌道子系統(tǒng)。車輛子系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)量塊(1/8車體和1/4構(gòu)架)、一系懸掛、二系懸掛和車輪組成的車輛簡(jiǎn)化模型，軌道子系統(tǒng)由鋼軌、扣件、軌枕和道砟組成，輪軌垂向耦合振動(dòng)的物理模型如圖1所示。車輛子系統(tǒng)以速度V沿著軌道縱向正方向前進(jìn)，其中，Mc是1/8車體質(zhì)量，Mt是1/4構(gòu)架質(zhì)量，Mw是車輪質(zhì)量，并且分別只考慮它們各自的垂向位移自由度(Zc，Zt和Zw)，K1和C1分別是一系懸掛系統(tǒng)的剛度和阻尼，K2和C2分別是二系懸掛系統(tǒng)的剛度和阻尼。在軌道子系統(tǒng)中，Kpv和Cpv分別為扣件的剛度和阻尼，Kbv和Cbv分別為道砟的剛度和阻尼，Kpα和Cpα分別為扣件的回轉(zhuǎn)剛度和回轉(zhuǎn)阻尼，si是第i個(gè)軌枕到參考點(diǎn)的距離，si+1是第i+1個(gè)軌枕到參考點(diǎn)的距離，兩者間距為軌距d，并且只考慮鋼軌垂向位移和橫截面旋轉(zhuǎn)位移兩個(gè)自由度，考慮軌枕的垂向位移和點(diǎn)頭位移兩個(gè)自由度。其他物理參數(shù)為：楊氏模量E，剪切模量G，密度ρ，鋼軌的單位長(zhǎng)度質(zhì)量mr，鋼軌的橫截面積S，截面慣性矩I，剪切系數(shù)κ，軌枕質(zhì)量之半Ms，軌枕慣性質(zhì)量矩之半Js。假設(shè)車輛子系統(tǒng)和軌道子系統(tǒng)都是對(duì)稱的，所以只研究整個(gè)輪軌垂向耦合振動(dòng)的一側(cè)。

車輛子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程[18]：

(1)

其中，{z}=[zc(t)zt(t)zw(t)]T，{p}=[0 0P0-P(t)]T，P0是軸重之半，P(t)為輪軌垂向接觸力，M為質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為剛度矩陣。

圖1輪軌垂向耦合振動(dòng)模型

軌道子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：

[-P(t)δ(x-Vt) 0]T

(2)

(3)

δ(x-ξ)[1 0]T

(4)

(5)

其中，Csv=Cpv+Cbv，Ksv=Kpv+Kbv。

由式(4)和式(5)可以得到：

(6)

(7)

其中

格林函數(shù)的Γ矩陣是以下等式的解：

(8)

其中

Γ=Γ(x,x′,ω)=diag(Γw(x,x′,ω),

Γθ(x,x′,ω))，Γw(x,x′,ω)=Γθ(x,x′,ω)=

則

(9)

2輪軌垂向沖擊力的計(jì)算

(10)

對(duì)于不同的輪軌缺陷，輪軌相對(duì)位移Δz會(huì)有不同的表達(dá)形式。

2.1車輪缺陷引起的輪軌相對(duì)位移

主要研究車輪扁疤和車輪多邊形化兩種車輪缺陷。車輪扁疤主要分為新扁疤和舊扁疤，車輪扁疤和車輪多邊形化的示意圖如圖2所示。車輪的新扁疤和舊扁疤的深度都為e，車輪新扁疤的寬度為l0，車輪舊扁疤的寬度為l，則車輪的新扁疤和舊扁疤分別產(chǎn)生的輪軌相對(duì)位移Δzn和Δzr為：

(11)

(12)

車輪多邊化導(dǎo)致的輪軌相對(duì)位移Δzp為：

(13)

其中，Δr0是車輪多邊形化的幅值，n為車輪多邊形的階數(shù)，Rw是車輪的名義滾動(dòng)圓半徑。

圖2車輪缺陷

2.2鋼軌缺陷引起的輪軌相對(duì)位移

只考慮鋼軌的波磨缺陷導(dǎo)致的輪軌相對(duì)位移的變化，把鋼軌波磨考慮成正弦函數(shù)形式r=r0sinkx，其中r0是鋼軌波磨的幅值，k為波數(shù)，車輪在含有波磨的鋼軌上的不同位置，其對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的輪軌相對(duì)位移也不同，如圖3所示。

圖3車輪在波磨鋼軌上的不同位置

車輪運(yùn)行在波磨鋼軌的不同位置會(huì)產(chǎn)生不同的輪軌相對(duì)位移Δzc，用分段函數(shù)表示Δzc，

(14)

3算例與分析

在數(shù)學(xué)軟件Maple里對(duì)上述各種缺陷產(chǎn)生的輪軌垂向沖擊力進(jìn)行了編程計(jì)算，其中計(jì)算參數(shù)如下：E=210GPa，G=81GPa，κ=0.4，ρ=7850kg/m3，mr=60kg/m，S=7.69×10-3m2，I=30.55×10-6kgm2，Kpv=50×106N/m，Kpα=1×107Nm/rad，Cpv=2×105Ns/m，Cpα=1×104Nms/rad，Kbv=1×109N/m，Cbv=1×106Ns/m，Ms=129kg，Js=1.28kgm2，d=0.6m，s1=0.3m，V=60m/s，P0=70kN，Mc=4000kg，Mt=1800kg，Mc=1000kg，K1=1.176×106N/m，C1=1.96×104Ns/m，K2=0.2205×106N/m，C2=9.8×103Ns/m，Rw=0.46m。為了更加清楚地研究車輪缺陷和鋼軌缺陷對(duì)輪軌垂向動(dòng)態(tài)相互作用的影響，不考慮軌道不平順譜對(duì)輪軌垂向沖擊力的影響。仿真結(jié)果如圖4～圖7所示。

圖4不同新扁疤深度引起的輪軌沖擊力

圖5不同舊扁疤深度引起的輪軌沖擊力

圖6不同車輪多邊形化幅值導(dǎo)致的輪軌沖擊力

圖7不同鋼軌波磨幅值導(dǎo)致的輪軌沖擊力

分別計(jì)算了車輪新扁疤和舊扁疤在0.5mm、1.0mm、1.5mm和2.0mm四種不同深度引起的輪軌垂向沖擊力，計(jì)算軌道長(zhǎng)度為60m，時(shí)間步長(zhǎng)為0.05ms。圖4為四種不同車輪新扁疤深度在第37號(hào)軌枕和第38號(hào)軌枕之間引起的輪軌垂向沖擊力，為了方便分析對(duì)比，圖5為四種不同車輪舊扁疤深度在第37號(hào)軌枕和第38號(hào)軌枕之間引起的輪軌垂向沖擊力，從圖4和圖5可以看出，隨著車輪扁疤深度的增加，輪軌垂向沖擊力最大值也隨之增加，車輪新扁疤的數(shù)學(xué)模型會(huì)引起車輪滾過(guò)新扁疤區(qū)域后的輪軌垂向沖擊力在輪軌靜載荷附近的振蕩，最后再收斂到輪軌靜載荷，而車輪舊扁疤的數(shù)學(xué)模型則不會(huì)引起輪軌垂向沖擊力在輪軌靜載荷附近的振蕩，從而說(shuō)明車輪舊扁疤更能精確地模擬輪軌垂向沖擊力的變化。

對(duì)車輪多邊形化在0.05mm、0.10mm和0.15mm三種不同幅值下的輪軌垂向沖擊力進(jìn)行了計(jì)算，時(shí)間步長(zhǎng)為0.05ms。圖6為車輪多邊形化的不同幅值在第85號(hào)軌枕和第95號(hào)軌枕之間導(dǎo)致輪軌沖擊力的變化。從圖中可以看出，同一速度下的輪軌垂向沖擊力的周期一致，但是輪軌垂向沖擊力的幅值是與車輪多邊形化的幅值有關(guān)，隨著車輪多邊形化的幅值的增加，輪軌垂向沖擊力也會(huì)相應(yīng)的增大，基本上呈正比例增加，并在輪軌靜載荷處上下波動(dòng)。

對(duì)鋼軌波磨的不同幅值引起的輪軌沖擊力變化進(jìn)行了計(jì)算，分別計(jì)算了鋼軌波磨幅值為20μm、40μm和60μm三種不同幅值下輪軌沖擊力的變化，鋼軌波磨的波長(zhǎng)為0.05m，計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)為0.1ms。圖7為鋼軌波磨的不同幅值在第37號(hào)軌枕和第38號(hào)軌枕之間引起的輪軌沖擊力變化。從圖中可以看出，由于鋼軌波磨的波長(zhǎng)是一致的，所以鋼軌垂向沖擊力的變化周期是一致的，但不同的鋼軌波磨幅值會(huì)產(chǎn)生不同的輪軌沖擊力的大小，類似于不同幅值的車輪多邊形化引起的輪軌沖擊力，隨著鋼軌波磨幅值的增加，輪軌垂向沖擊力也隨之增大，其輪軌沖擊力的最大值基本上與三種鋼軌波磨幅值呈線性關(guān)系，并在輪軌靜載荷處上下波動(dòng)。圖7與圖6的不同之處是，圖7的輪軌垂向沖擊力變化并不呈現(xiàn)光滑的諧波變化，這可能與鋼軌波磨的波長(zhǎng)大小有關(guān)，另外，即使兩種缺陷的幅值相同，兩種缺陷產(chǎn)生的最大輪軌垂向力也不同，鋼軌波磨會(huì)產(chǎn)生相對(duì)比較大的輪軌垂向沖擊力，因此鋼軌的波磨相比車輪多邊形化會(huì)對(duì)輪軌垂向沖擊力產(chǎn)生更大的影響。

4結(jié)論

(1) 建立了輪軌垂向耦合振動(dòng)模型，把鋼軌考慮成離散支撐的連續(xù)的鐵木辛科梁，用格林函數(shù)法求解其在頻域上的響應(yīng)解，再通過(guò)反傅里葉變換求得鋼軌在時(shí)域內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)，可以從高頻結(jié)構(gòu)振動(dòng)的角度研究輪軌垂向相互作用，克服了傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中只考慮輪軌振動(dòng)的低頻成分，忽略中高頻振動(dòng)影響的缺陷。

(2) 隨著車輪扁疤深度的增加，輪軌垂向沖擊力的最大值也隨之線性地增加，車輪新扁疤的數(shù)學(xué)模型會(huì)引起車輪滾過(guò)新扁疤區(qū)域后的輪軌垂向沖擊力在輪軌靜載荷附近的振蕩，最后再收斂到輪軌靜載荷，而車輪舊扁疤的數(shù)學(xué)模型則不會(huì)引起這種振蕩，從而說(shuō)明車輪舊扁疤更能精確地模擬輪軌垂向沖擊力的變化。

(3) 相比車輪多邊形化，鋼軌的波磨則會(huì)對(duì)輪軌垂向沖擊力產(chǎn)生更大的影響，也就是說(shuō)，即使兩種缺陷的幅值相同，各自導(dǎo)致的輪軌垂向力不同，鋼軌波磨缺陷會(huì)產(chǎn)生相對(duì)比較大的輪軌垂向沖擊力。

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Investigation on Wheel-Rail Vertical Dynamic Interaction Due to Wheel-rail Imperfections Based on Green’s Function Method

ZHANGBaoan1a,ZHENGJing1b,ZHOUHechao2

(1a.National Engineering Research Center for High-speed EMU; 1b. R&D Center, CRRC Sifang Co.,Ltd, Qingdao 266000, China; 2.Institute of Railway & Urban Rail Transit, Tongji University, Shanghai 201804, China)

The wheel-rail vertical coupled vibration model was established, in which the rail was considered as a continuous Timoshenko beam discretely supported. The lumped masses of wheel, a quarter of bogie frame and one eighth of carbody were connected using primary and secondary suspensions respectively, and this subsystem was taken as a simplified vehicle model. In order to efficiently and accurately investigate the effects of wheel and rail defects on vertical dynamic interaction between wheel and rail, Laplace transform was implemented for the motion equations of the rail under a moving load, and those motion equations were solved in the frequency domain by Green's function method, then inverse Fourier transform was carried out to obtain vibration response of rail in the time domain. Wheel-rail vertical impact forces due to wheel flat, wheel polygonalization and rail corrugation in various cases were calculated by numerical iterations according to the nonlinear Hertzian contact theory. Results show that the vertical wheel-rail dynamic response can be solved by the Green function method accurately and efficiently, and it provides a theoretical foundation for the research of wheel-rail interaction in the range of high frequency.

Timoshenko beam; Green’s function; vertical wheel-rail impact force; wheel flat; wheel polygonalization; rail corrugation

2017-01-06

中國(guó)鐵路總公司科技研究開(kāi)發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2016G008-F);上海市浦江人才計(jì)劃(16PJ1409500)

張寶安(1987-),男,山東日照人,工程師,博士,主要從事車輛動(dòng)力學(xué)方面的研究,(E-mail)zhangbaoan@cqsf.com

1673-1549(2017)02-0026-06

10.11863/j.suse.2017.02.06

U271.91

A