許澤宇，王洪波，康永來，卜奎晨，趙 洪

（中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

返回式滑翔飛行器最小航程軌跡優(yōu)化方法

許澤宇，王洪波，康永來，卜奎晨，趙 洪

（中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

針對返回式滑翔飛行器在高馬赫狀態(tài)下的落區(qū)和航程難以大幅度調節(jié)的問題，采用 Gauss偽譜法和序列二次規(guī)劃法進行軌跡優(yōu)化，實現(xiàn)最小航程設計；提出了航程壓縮比的概念，建立了動力學模型和飛行約束體系，以類CAV-H飛行器為對象進行了仿真。研究表明，低空速度消耗和空間機動有益于減小航程；在指定縱平面內可將最小航程壓縮至最大航程的42%；當落區(qū)在指定航向上且飛行器可偏離縱面做機動時，飛行器可返回離軌原點；通過軌跡優(yōu)化，可以調節(jié)返回式滑翔飛行器的航程從而控制其落區(qū)范圍。

最小航程；航程壓縮比；約束體系；滑翔機動；軌跡優(yōu)化

0 引 言

傳統(tǒng)意義上，人們希望飛行器飛得更遠，文獻中常以航程最大作為優(yōu)化指標[1]。然而在實際應用中，為了適用于多個場合，飛行器需要具有一定的航程范圍，最小航程設計使之能夠同時覆蓋遠距離和近距離區(qū)域。在有限靶場的條件下，小航程設計對于飛行試驗也具有實際意義[2]。對于返回式滑翔飛行器，航程設計使得飛行器在能夠快速返回的同時可以控制不同的落區(qū)范圍。顧文錦等人研究了末段大空域變軌，但機動范圍有限[3]；鮮勇等人研究了偏離航向的兩級火箭大范圍橫向機動，但主要依靠動力段實現(xiàn)航程調整[4]；王晨曦等人研究了用滑翔段阻力加速度能量管理方法來調節(jié)航程，但在指定航向條件下只將最小航程壓縮至最大航程的49.3%[5]；楊凌霄等人研究了基于機動模式下的最小射程，但文中沒有指定航向[6]。

本文以類CAV-H返回式滑翔飛行器為仿真對象進行建模，通過軌跡優(yōu)化的方法，實現(xiàn)指定航向條件下的最小航程設計，從而達到落區(qū)控制的目的。

1 模型的建立

1.1 最小航程指標

航程定義為飛行起始點至飛行落點所對應的球面大圓弧投影距離，可將最小航程與最大航程之比定義為航程壓縮比，它表征航程調節(jié)能力，航程壓縮比越小，航程調節(jié)能力越強。文獻[7]中介紹了國外常見3 000 km以上彈道式飛行器的航程壓縮比普遍在40%以上。

文中在指定航向的情況下，以航程最小作為設計指標。不失一般地，在0 °經緯度處，取正東方向為返回式滑翔飛行器飛行起始航向和落區(qū)所在方向，可取經度末值最小作為性能指標函數：

式中ft為末值時間；λ為經度；J為性能指標函數。

1.2 動力學模型

飛行器動力學模型為

式中h為地心高度；φ為緯度；θ為當地彈道傾角；ψ為航向角；α為攻角；g為重力加速度；σ為傾側角；L為升力；D為阻力。

位置信息由地心高度h、經度λ和緯度φ確定，速度信息由速度大小v、當地彈道傾角θ和航向角ψ確定。當地彈道傾角是速度與當地水平面的夾角，向上為正，航向角是速度在當地水平面的投影與正北方向的夾角，順時針為正。

1.3 氣動模型

類比文獻[8]，進行類CAV-H返回式滑翔飛行器氣動建模計算，可得到升阻比氣動特性曲線如圖1、圖2所示。

1.4 飛行約束體系

a）法向過載約束。

為保持滑翔飛行器結構完整及儀器正常工作，需對法向過載ny1提出限制條件：

b）熱流密度約束。

滑翔飛行器馬赫數約為20，在大氣中高速飛行，氣動加熱嚴重，熱流密度約束是重要的路徑約束：

式中為駐點熱流密度；為與飛行器外形有關的指數；為頭部駐點曲率半徑；K為與飛行器外形和和材料有關的常數；ρ為當前大氣密度；為海平面大氣密度；為環(huán)繞速度。

c）動壓約束。

為保持滑翔飛行器氣動操縱面所產生的鉸鏈力矩在一定控制能力之內，需要對動壓q提出限制：

d）控制量約束。

飛行器熱防護通常分布在機體下表面，飛行器一般不做負攻角飛行，同時滑翔段機動能力強，要求控制量變化平緩，因此需要滿足控制量及其變化率約束。

e）終端約束。

為滿足返回段末端能量管理（Terminal Area Energy Management, TAEM）關于速度和高度的要求，保證正常抵達落區(qū)，常取滑翔終端約束：

返回式滑翔飛行器常以高速返回，在最小航程狀態(tài)下能量過剩。為達到滑翔段末端速度要求，需要在飛行過程中將速度大幅度降下來——在最小航程指標約束下，這是非常困難的。

2 滑翔軌跡優(yōu)化方法

滑翔飛行器可通過彈道優(yōu)化方法實現(xiàn)最小航程。通過高斯偽譜法將最優(yōu)控制問題轉化為受一系列代數約束的參數優(yōu)化問題，再用序列二次規(guī)劃法進行求解。

2.1 高斯偽譜法

高斯偽譜法(Gauss Pseudospectral Method, GPM)是在“兩端密、中間疏”的一系列Legendre時間節(jié)點上將狀態(tài)量和控制量進行離散（見圖3），利用這些離散點構造全局Lagrange插值多項式去近似擬合系統(tǒng)動力學方程、約束方程和性能指標函數。

文中最優(yōu)控制問題可描述為

式中x為狀態(tài)量；u為控制量；f為動力學微分方程；g為等式約束方程；h為不等式約束方程；φ為終端約束方程；λ為經度值。

用初始值及N個節(jié)點上的離散值去近似狀態(tài)量的時間歷程：

用各節(jié)點上的離散值去近似控制量的時間歷程為

對狀態(tài)量求導，得：

此時動力學微分方程在各節(jié)點（n= 1,2,???,N）上轉化為一系列等式約束代數方程：

將動力學微分方程、等式約束方程、終端約束方程這3項等式合并到不等式中，可以將最優(yōu)控制問題轉化為非線性規(guī)劃問題：

2.2 序列二次規(guī)劃法

對于非線性約束優(yōu)化問題（Non-Linear Program, NLP）：

得到一個搜索方向d=dk，然后經過搜索求得步長ak，于是下一個迭代點為xk+1=xk+akdk。這就是序列二次規(guī)劃（Sequence Quadratic Programming, SQP）算法的一般方法[9]。式中正定矩陣一般是 Lagrange函數在迭代點xk處Hesse矩陣的近似。

目前對于非線性規(guī)劃問題的求解方法較多，本文選取GPOPS優(yōu)化工具進行計算。

3 仿真結果與分析

仿真條件：根據文獻[10]，返回式滑翔飛行器飛行起始點高度為100 km，起始速度7 200 m/s，當地彈道傾角0 °；滑翔終端高度為30 km，終端速度為3 000～ 4 000 m/s；飛行器質量907 kg，氣動參考面積1.146 m2；滿足第1.4節(jié)約束條件。

3.1 縱平面內的最小航程仿真結果

在滿足滑翔段路徑約束條件及滑翔段終端約束條件的情況下，縱平面內最大航程11 000 km，最小航程可壓縮至最大航程的42%，如圖4所示。

可見最小航程條件下飛行高度偏低，且更密集地在該高度附近進行小幅“跳躍”，這有利于速度消耗和最小航程的實現(xiàn)?？v平面內最小航程條件下速度隨高度消耗曲線如圖5所示。

由圖5可知，最小航程條件下速度的消耗主要是在第1次達到波谷之后的低空小幅跳躍平滑段完成的，這是由于低空大氣稠密，能較快地消耗能量，飛行時間更短。同時研究發(fā)現(xiàn)，在第1次到達波谷時，過載達到首個峰值，之后熱流、動壓持續(xù)增加，并在該段達到峰值，說明該段也是飛行環(huán)境最為惡劣的一段。

3.2 偏離縱面的最小航程仿真結果

當落區(qū)在初始航向上、且可偏離縱面做機動時，最小航程軌跡優(yōu)化結果及其在水平面投影軌跡見圖6。本文所述全約束條件下，飛行器通過大范圍機動可以大大減小航程，返回原點，此時飛行器最小航程為零，航程壓縮比也為零。通過最小航程軌跡在水平面的經緯度投影，可知在全約束條件下，飛行器仍具備較強的轉彎機動能力。

全約束條件下最小航程軌跡優(yōu)化的控制量變化見圖7。

由圖7可見，在平飛段，近似按第1.3節(jié)最大升阻比攻角飛行，很好地應用了飛行器優(yōu)異的氣動性能。同時，控制量的變化較為平緩，有益于最小航程軌跡在工程中的實現(xiàn)。最小航程軌跡優(yōu)化結果中，速度及緯度隨高度的變化曲線見圖8。

由圖8可知，第3.1節(jié)中縱平面內的速度消耗規(guī)律仍然適用于縱面外，速度的消耗主要在低空平滑段完成，當高度下降到50 km左右，速度曲線開始急劇下降，緯度曲線也開始浮動，說明飛行器下降到此高度時開始做橫向空間大范圍機動，很好地發(fā)揮了飛行器的氣動性能，這與前文返回式滑翔飛行器氣動性能的分析相符。速度的消耗和優(yōu)異的機動能力為實現(xiàn)最小航程提供了有益條件。

4 結 論

本文提出了最小航程指標和“射程壓縮比”的概念，以類CAV-H返回式滑翔飛行器為仿真對象建立了運動模型，構造了法向過載、熱流密度、動壓、控制量、終端約束等條件下的約束體系。通過 Gauss偽譜法和序列二次規(guī)劃法進行軌跡優(yōu)化，可以實現(xiàn)指定航向條件下的最小航程。仿真驗算結果表明，通過優(yōu)化，縱平面內最小航程可壓縮至最大航程的42%；當落區(qū)在初始航向上、且飛行器可偏離縱面做機動時，最小航程為零，飛行器可返回離軌原點。研究還發(fā)現(xiàn)，通過低空速度消耗和空間機動，能夠縮小航程。本文方法可以用于指導小航程軌跡設計和返回式滑翔飛行器的落區(qū)控制。

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[2] 張亦馳. 薩德為啥要兜圈子-兼談導彈的能量管理機動[J]. 航空知識, 2017, 549(1): 56-59.

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[10] 聶萬勝, 馮必鳴, 李柯. 高速遠程精確打擊飛行器方案設計方法與應用[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2014.

Trajectory Optimization Research for Reentry Glide Vehicle with Minimum-Range Constraint

Xu Ze-yu, Wang Hong-bo, Kang Yong-lai, Bu Kui-chen, Zhao Hong
(China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076)

To obtain the minimum-range for reentry glide vehicle, Gauss Pseudospectral Method and Sequence Quadratic Programming are adopted in trajectory optimization. Firstly, range-compress-ratio is defined, and the dynamic equations and the constraints are given. Optimization simulation based on the look-like CAV-H vehicle is conducted, the result showed that velocity consuming method and maneuvering method are useful to achieve minimum range. In the initial-flying-plane only, the minimum range can be compressed to 42% of the maximum range. While not only in the initial-flying-plane, the vehicle can return where it started to glide, and the minimum range can be 0. Through trajectory optimization, the range and landing place of the reentry glide vehicle can be in control.

Minimum range; Range-compress-ratio; Constraint system; Glide maneuver; Trajectory optimization

V448.23

A

1004-7182(2017)02-0012-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170203

2016-12-31；

2017-02-08

許澤宇（1991-），男，碩士研究生，主要研究方向為飛行器總體設計與彈道設計