潘 浩，王 慧，吳洋洲

（北京航天動(dòng)力研究所，北京，100076）

常平座軸承與十字軸間隙對(duì)整機(jī)固有頻率的影響分析

潘 浩，王 慧，吳洋洲

（北京航天動(dòng)力研究所，北京，100076）

考慮到火箭發(fā)動(dòng)機(jī)常平座軸承與十字軸之間存在間隙，在仿真分析中，必須定義接觸來(lái)模擬這些非線性行為，而有限元軟件ABAQUS在進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，會(huì)自動(dòng)忽略非線性行為，如果用耦合約束代替接觸，計(jì)算得到的結(jié)果往往不理想。針對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)存在的這種間隙結(jié)構(gòu)，采用瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)方法，計(jì)算發(fā)動(dòng)機(jī)在時(shí)域上的位移響應(yīng)，通過(guò)傅里葉變換給出頻域內(nèi)的頻響函數(shù)曲線，根據(jù)峰值頻率從而確定固有頻率，輸出整機(jī)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵點(diǎn)，得到固有頻率相對(duì)應(yīng)的振型。

火箭發(fā)動(dòng)機(jī)；間隙結(jié)構(gòu)；瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析；共振頻率

0 引 言

在防止發(fā)動(dòng)機(jī)與箭體或與伺服機(jī)構(gòu)發(fā)生耦合共振的設(shè)計(jì)過(guò)程中，發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)扭轉(zhuǎn)頻率是一個(gè)重要的指標(biāo)參數(shù)。而在火箭發(fā)動(dòng)機(jī)模態(tài)分析中，常平座軸承與十字軸之間的間隙將影響常平座的連接剛度，這對(duì)整機(jī)的扭轉(zhuǎn)頻率有著重要的影響，這種存在間隙的非線性結(jié)構(gòu)，為發(fā)動(dòng)機(jī)的模態(tài)分析帶來(lái)了困難。

目前的有限元軟件在模態(tài)分析、諧響應(yīng)分析以及隨機(jī)振動(dòng)分析中，只能進(jìn)行線性計(jì)算，任何非線性行為，包括材料的非線性、連接方式的非線性等都將被忽略。因此，必須簡(jiǎn)化處理，即用綁定、耦合等代替接觸，這一定程度上導(dǎo)致結(jié)構(gòu)連接剛度偏大，出現(xiàn)偏差。

在以往的發(fā)動(dòng)機(jī)建模中，通常是將常平座簡(jiǎn)化為質(zhì)量點(diǎn)，這種處理方式并不能正確模擬發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)的一階扭轉(zhuǎn)頻率。考慮到常平座上下軸承與十字軸之間存在間隙，采用動(dòng)力學(xué)方法來(lái)模擬振動(dòng)中的接觸過(guò)程。本文對(duì)間隙結(jié)構(gòu)定義接觸，用瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)法計(jì)算時(shí)域上的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)，經(jīng)過(guò)傅里葉變換得到頻域內(nèi)的頻響函數(shù)曲線，從而確定結(jié)構(gòu)的共振頻率[1,2]。

1 瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)有限元法

瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析是應(yīng)工程需要而產(chǎn)生的一種非線性動(dòng)態(tài)求解方法，用于確定承受任意隨時(shí)間變化載荷的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，通過(guò)傅里葉變換將時(shí)域的結(jié)構(gòu)響應(yīng)轉(zhuǎn)換為頻域上的信號(hào)，找到峰值頻率，從而確定結(jié)構(gòu)的固有頻率。相比傳統(tǒng)的線性模態(tài)分析法，此方法可以找到非線性結(jié)構(gòu)的固有頻率，與模態(tài)試驗(yàn)條件下的實(shí)際情況更為接近。

在ABAQUS中求解瞬態(tài)響應(yīng)的計(jì)算方法有兩種：一種是直接瞬態(tài)響應(yīng)分析法；另一種是模態(tài)瞬態(tài)響應(yīng)分析法。直接瞬態(tài)響應(yīng)分析法是通過(guò)求解整個(gè)模型的阻尼耦合方程，得出各時(shí)間對(duì)應(yīng)的響應(yīng)；而模態(tài)瞬態(tài)響應(yīng)分析法則是采用模態(tài)疊加法得到各時(shí)間對(duì)應(yīng)的響應(yīng)。由于模態(tài)瞬態(tài)響應(yīng)法需要先求解模態(tài)振型，要求系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，而本文要分析的結(jié)構(gòu)模型為存在接觸關(guān)系的非線性系統(tǒng)，故本文將采用直接瞬態(tài)響應(yīng)法。

在直接瞬態(tài)響應(yīng)分析中，通過(guò)直接數(shù)值積分方法求解耦合方程來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)。運(yùn)動(dòng)方程為

定義一個(gè)固定積分時(shí)間t?，通過(guò)中心差分法計(jì)算離散點(diǎn)處的速度和加速度

將外力用3個(gè)相鄰的時(shí)間點(diǎn)表示，則方程形式變形為

合并同類項(xiàng)，運(yùn)動(dòng)方程為

其中，

上述求解過(guò)程如同一系列靜力分析求解過(guò)程，每一個(gè)時(shí)間步以新的載荷向量執(zhí)行一次，求解方程組，從而得到下一時(shí)刻的瞬態(tài)結(jié)果。

2 發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)模態(tài)分析

模態(tài)分析是將線性定常系統(tǒng)振動(dòng)微分方程中的物理坐標(biāo)變化為模態(tài)坐標(biāo)，使方程組解耦為單自由度的獨(dú)立方程，從而求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。本文采用ABAQUS有限元分析軟件，進(jìn)行模態(tài)分析，其中對(duì)常平座的建模采用了以下3種簡(jiǎn)化方式：

a）將常平座簡(jiǎn)化成質(zhì)量點(diǎn)，約束3個(gè)方向的平動(dòng)自由度，放開(kāi)3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；

b）將常平座簡(jiǎn)化成質(zhì)量點(diǎn)，約束3個(gè)方向的平動(dòng)自由度和繞軸向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，放開(kāi)另外兩個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；

c）建出常平座上下兩個(gè)軸承的實(shí)體模型，十字軸采用梁?jiǎn)卧M，十字軸和軸承進(jìn)行耦合約束，放開(kāi)各自在伺服機(jī)構(gòu)作動(dòng)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，約束其它的自由度。

發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)有限元模型如圖1所示。

表1為3種方案計(jì)算結(jié)果以及模態(tài)試驗(yàn)獲得的一階扭轉(zhuǎn)和一階彎曲頻率，其中一階彎曲方向?yàn)榘l(fā)動(dòng)機(jī)搖擺部分垂直于氫氧渦輪泵連線方向，試驗(yàn)值是采用錘擊法獲得。

表1 3種方案計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比

由表1可以看出，一階彎曲頻率結(jié)果較為接近，說(shuō)明常平座對(duì)一階彎曲頻率影響不大，近似認(rèn)為發(fā)動(dòng)機(jī)一階彎曲頻率真實(shí)值為16 Hz左右，而一階扭轉(zhuǎn)頻率各結(jié)果相差較大，其中方案一計(jì)算結(jié)果較小，方案二計(jì)算結(jié)果較大。分析原因，方案一沒(méi)有考慮常平座對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)的軸向扭轉(zhuǎn)限制，導(dǎo)致整機(jī)扭轉(zhuǎn)頻率過(guò)低；方案二用剛性連接代替了常平座的變形協(xié)調(diào)作用，導(dǎo)致連接剛度增大，造成整機(jī)的扭轉(zhuǎn)頻率過(guò)大；方案三的模型更接近實(shí)際情況，但計(jì)算結(jié)果較試驗(yàn)值偏大，這是因?yàn)閷?shí)物裝配好后，十字軸與常平座上下軸承之間存在間隙，在進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)時(shí)，由于這些間隙的存在，降低了常平座自身剛度，而有限元模態(tài)分析在模擬十字軸與常平座上下軸承之間的連接關(guān)系時(shí)，采用的是耦合自由度法，其連接剛度相對(duì)實(shí)際情況也會(huì)增大。因此為了更好地模擬一階扭轉(zhuǎn)頻率，必須考慮間隙結(jié)構(gòu)對(duì)扭轉(zhuǎn)頻率的影響。

3 瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析

3.1 含間隙結(jié)構(gòu)的常平座模型

考慮常平座上下軸承與十字軸之間的間隙，即軸與軸承之間的間隙為0.2 mm，十字軸軸套與耳座的間隙為0.15 mm，其有限元模型如圖2所示。

3.2 激振力大小對(duì)整機(jī)固有頻率的影響

定義軸與軸承、軸套與耳座為接觸關(guān)系，切向摩擦系數(shù)為0.2，法向?yàn)橛步佑|。在有限元軟件ABAQUS中設(shè)置3個(gè)分析步驟：a）對(duì)整體施加x負(fù)方向的重力，大小為10 N/t（設(shè)置此分析步的目的是因?yàn)橹苯蛹虞d大載荷會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不收斂）；b）對(duì)整體施加x負(fù)方向的重力，大小為9 800 N/t；在模態(tài)試驗(yàn)中，一般會(huì)選取多個(gè)點(diǎn)作為激勵(lì)點(diǎn)，以保證試驗(yàn)測(cè)得的模態(tài)頻率和振型不會(huì)丟失，由于本文分析的振型為一階扭轉(zhuǎn)振型，將激勵(lì)點(diǎn)選在推力室身部，激振力的方向與推力室相切，且只對(duì)這一點(diǎn)施加載荷；c）在發(fā)動(dòng)機(jī)推力室身部施加隨時(shí)間變化的z向載荷集中力，載荷大小分為4種工況：F1=5 000 N，F(xiàn)2=500 N，F(xiàn)3=50 N，F(xiàn)4=0.01 N，持續(xù)時(shí)間為0.2 s，幅值曲線定義如表2所示，計(jì)算4種工況下發(fā)動(dòng)機(jī)的位移響應(yīng)。

表2 激振力幅值曲線

以激振點(diǎn)位移輸出響應(yīng)為例，圖3為4種工況下激振點(diǎn)Z向位移隨時(shí)間的變化曲線，圖4為各工況位移在0～20 Hz上的頻響函數(shù)曲線，且為了便于比較，將工況3幅值擴(kuò)大15倍，工況4幅值擴(kuò)大10倍，每條曲線的峰值頻率代表發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)的一階固有頻率。

由圖4可以看出，在0～20 Hz內(nèi)，激振點(diǎn)有4個(gè)峰值，即4階固有頻率，將每種工況對(duì)應(yīng)的峰值頻率見(jiàn)表3。

3.3 預(yù)緊力對(duì)整機(jī)固有頻率的影響分析

以第3.2節(jié)有限元計(jì)算模型為例，將b）中的重力大小改為98 N/t，方向不變，即初始預(yù)緊力縮小了100倍，c）中激振力大小為5 kN，重新計(jì)算，得到前3階固有頻率分別為4.76 Hz、9.52 Hz和14.28 Hz，其頻響函數(shù)曲線如圖5所示。

3.4 獲取固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型

為了得到固有頻率對(duì)應(yīng)的整機(jī)振型，以及減小誤差，采用單輸入多輸出的方法，輸出點(diǎn)結(jié)合發(fā)動(dòng)機(jī)測(cè)點(diǎn)布局，輸出主要組件母線上的部分點(diǎn)（機(jī)架顯示十字梁，發(fā)動(dòng)機(jī)搖擺部分顯示氫氧渦輪泵、推力室和噴管），其空間測(cè)點(diǎn)布局如圖6所示。

以第3.2節(jié)a）中激振 力為5 kN時(shí)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果為例，輸出圖6中各點(diǎn)3個(gè)方向的位移響應(yīng)，并進(jìn)行傅里葉變換，得到各點(diǎn)各方向的頻響函數(shù)，在Dasp數(shù)據(jù)分析軟件中，將各點(diǎn)各方向的頻響函數(shù)作為約束條件，輸入到空間圖中，從而生成結(jié)構(gòu)圖。將所有的頻響函數(shù)進(jìn)行集總平均，得到一條平均后的模態(tài)指示函數(shù)曲線，如圖7所示（每一個(gè)峰值對(duì)應(yīng)其中的一階固有頻率），對(duì)前3階頻率進(jìn)行定階，用實(shí)模態(tài)多自由度法進(jìn)行擬合，得到發(fā)動(dòng)機(jī)前3階固有頻率、模態(tài)阻尼，以及相應(yīng)的振型，見(jiàn)表4和圖8～圖10，其中一階彎曲方向?yàn)榘l(fā)動(dòng)機(jī)垂直于氫氧渦輪泵連線方向。

表4 發(fā)動(dòng)機(jī)前3階模態(tài)及阻尼比

4 對(duì)比分析

比較整機(jī)模態(tài)分析結(jié)果與瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果，后者頻響函數(shù)曲線在5.8 Hz附近有一響應(yīng)峰值，對(duì)照振型圖，即瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果比模態(tài)分析多出了一階轉(zhuǎn)動(dòng)頻率。觀察振型圖，在該頻率下，發(fā)動(dòng)機(jī)搖擺部分整體繞軸向轉(zhuǎn)動(dòng)，組件之間并沒(méi)有發(fā)生相對(duì)扭轉(zhuǎn)，分析原因，當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)搖擺部分繞軸向有微小轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于常平座上下軸承與十字軸、十字軸軸套與耳座之間存在間隙，十字軸并不能與常平座軸承充分接觸，常平座對(duì)整機(jī)繞軸向的約束較小，剛度較低。但十字軸與常平座上下軸承之間存在摩擦力，相比模態(tài)分析中方案一，由于受摩擦力的限制，對(duì)繞軸向的剛度起到一定程度的增強(qiáng)作用，因此整機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率5.8 Hz介于模態(tài)分析方案一和方案三結(jié)果之間。當(dāng)外激勵(lì)方向沿發(fā)動(dòng)機(jī)切向，激勵(lì)頻率接近該階頻率時(shí)，系統(tǒng)同樣會(huì)發(fā)生共振[3]。從表4可以看出，一階轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼比較大，可以認(rèn)為十字軸與上下軸承之間的摩擦力是產(chǎn)生阻尼的主要因素。

當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)搖擺部分繞軸向轉(zhuǎn)角繼續(xù)增大時(shí)，十字軸與軸承充分接觸，常平座對(duì)整機(jī)的扭轉(zhuǎn)約束完全體現(xiàn)，從圖8所示的振型圖可以看出，推力室頭部存在變形，即發(fā)生相對(duì)扭轉(zhuǎn)，此振型對(duì)應(yīng)模態(tài)分析的一階扭轉(zhuǎn)振型。表5給出了模態(tài)分析方案三結(jié)果、瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果以及與試驗(yàn)值的對(duì)比。

表5 3種方法固有頻率/阻尼比對(duì)比

由表5可知，相比模態(tài)分析方案三，瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果與試驗(yàn)值更為接近，且一階扭轉(zhuǎn)頻率比方案三小得多，說(shuō)明間隙的存在會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)之間連接剛度降低[4,5]。而3種方法獲得的一階彎曲頻率相差不大，均與近似理論值16 Hz接近，說(shuō)明間隙結(jié)構(gòu)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)一階彎曲頻率影響不大，即間隙主要影響發(fā)動(dòng)機(jī)一階扭轉(zhuǎn)頻率。

對(duì)比瞬態(tài)動(dòng)力學(xué) 3種工況下的頻響函數(shù)曲線及表3可以看出，3種工況下峰值頻率基本相同，但在某些激振力下，發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)部分階次的峰值頻率不明顯，甚至不出現(xiàn)如工況4在17.58 Hz附近沒(méi)有峰值，說(shuō)明用瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)求解間隙結(jié)構(gòu)固有頻率時(shí)，激振力的大小會(huì)影響共振頻率，應(yīng)選用不同的激振力進(jìn)行加載，以免發(fā)生固有頻率缺失的情況。

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，裝配結(jié)構(gòu)存在間隙時(shí)，模態(tài)頻率隨載荷變化而明顯發(fā)生變化，激振力較小時(shí)頻率較低，激振力較大時(shí)頻率較大，且當(dāng)載荷增大到一定程度時(shí)，頻率值趨于穩(wěn)定。而本文4種工況激振力下，得到的頻率基本一致，這是由于在初始重力即預(yù)緊力作用下，常平座十字軸與軸承的接觸剛度已經(jīng)確定，因此4種激振力作用下得到的模態(tài)頻率基本相同。

對(duì)比第3.2節(jié)與第3.3節(jié)計(jì)算結(jié)果，在重力減小，即初始預(yù)緊力減小的情況下，得到的固有頻率也都相應(yīng)降低。分析認(rèn)為，預(yù)緊力較小導(dǎo)致常平座軸承與十字軸接觸剛度相應(yīng)減小，從而使扭轉(zhuǎn)和彎曲頻率降低。

在 Dasp分析軟件中定階擬合第 4階固有頻率（17.58 Hz左右）時(shí)，得到的模態(tài)頻率為22 Hz，與17.58 Hz相差較大，且振型依然為發(fā)動(dòng)機(jī)搖擺部分沿垂直于氫氧渦輪泵連線方向的一階彎曲。結(jié)合線性模態(tài)分析結(jié)果，這是因?yàn)榘l(fā)動(dòng)機(jī)沿氫/氧渦輪泵連線方向一階彎曲頻率以及垂直于連線方向的一階彎曲頻率較為接近，Dasp軟件在擬合模態(tài)時(shí)，各階模態(tài)參數(shù)之間的相互影響較大，會(huì)出現(xiàn)個(gè)別階的模態(tài)振型不協(xié)調(diào)。理論和試驗(yàn)表明，單點(diǎn)共振法測(cè)模態(tài)頻率適用于各階固有頻率相隔較遠(yuǎn)，不需要進(jìn)行模態(tài)分離的結(jié)構(gòu)，這種方法對(duì)各階固有頻率相互接近的情況，測(cè)得結(jié)果誤差較大[7]，甚至?xí)G失某階頻率。

5 結(jié) 論

本文對(duì)存在間隙結(jié)構(gòu)的發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)模型進(jìn)行了線性模態(tài)分析和瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，并對(duì)這兩種方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)論如下：

a）發(fā)動(dòng)機(jī)常平座軸承與十字軸之間的間隙對(duì)一階扭轉(zhuǎn)頻率影響較大，而對(duì)一階彎曲頻率影響較小，并且間隙的存在將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)連接剛度降低；

b）用瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析方法得到的固有頻率，由于考慮了結(jié)構(gòu)的非線性，相比線性模態(tài)分析，其結(jié)果與試驗(yàn)值會(huì)更加接近，但對(duì)于固有頻率相互接近的情況，得到的結(jié)果誤差較大；

c）用瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析方法求解間隙結(jié)構(gòu)固有頻率時(shí)，應(yīng)加載不同的激振力分別求解，保證不會(huì)丟失某階頻率，但激振力大小對(duì)模態(tài)頻率大小幾乎沒(méi)有影響；

d）對(duì)含間隙配合的非線性結(jié)構(gòu)，預(yù)緊力會(huì)影響結(jié)構(gòu)接觸剛度，并且預(yù)緊力較小時(shí)，接觸剛度較低；

e）線性模態(tài)分析求解方便快捷，但對(duì)于存在間隙的結(jié)構(gòu)，其結(jié)果誤差可能較大，而瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析對(duì)計(jì)算機(jī)配置要求較高，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，且數(shù)據(jù)處理過(guò)程繁瑣，效率低，采用哪種方法應(yīng)綜合考慮。

[1] 李承德. 錘擊振動(dòng)試驗(yàn)的模態(tài)分析法[J]. 汽車技術(shù), 1981(02): 22-24, 36.

[2] 李承德. 錘擊振動(dòng)試驗(yàn)的模態(tài)分析法下[J]. 汽車技術(shù), 1981(3): 27-30.

[3] Lacarbonara W, Rega G, Nayfeh A H. Resonant non-linear normal modes, Part I: analytical treatment for structural one-dimensional systems[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2003, 38: 851-872.

[4] 王德帥. 考慮軸承磨配間隙飛高速電主軸靜動(dòng)態(tài)特性分析[D]. 哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2014.

[5] 白爭(zhēng)鋒. 考慮較間間隙的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2011.

[6] 馬晨光, 劉昌洪. 含較大間隙結(jié)構(gòu)頻率的影響機(jī)理研究[D]. 北京: 北京力學(xué)會(huì)第21屆學(xué)術(shù)年會(huì)暨北京振動(dòng)工程學(xué)會(huì)第22屆學(xué)術(shù)年會(huì), 2015.

[7] Bishop R E, Gladwell G M L. An investigation into the theory of resonance testing[D]. London: Philosophical Transactions of the Royal Society of London: Series A, 1963.

Impact Analysis of Clearances Between the Gimbal Mount Assembly and Cross Shaft on Natural Frequencies of the Rocket Engine

Pan Hao, Wang Hui, Wu Yang-zhou
(Beijing Arospace Propulsion Institute, Beijing, 100076)

Considering that there are clearances between the gimbal mount assembly and cross shaft of engine, contact must be defined to simulate these non-linear behaviors in the simulation analysis. However, these non-linear behaviors will be ignored automatically when modal analysis is performed with finite elements software ABAQUS. If the contact is replaced by coupling constraints, the calculated results are not always perfect. Transient dynamic analysis is used to compute the displacement response of engine in time domain about the structure of engine with clearances in this paper. Then we can find the natural frequencies based on the peak of frequency-response curves obtained by fourier transform. We can also find the modes of vibration corresponding to natural frequencies according to the output of key points of the rocked engine.

Clearances; Transient dynamic analysis; Resonant frequency

V43

A

1004-7182(2017)02-0035-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170208

2016-01-25；

2016-11-22

潘 浩（1990-），男，助理工程師，主要研究方向?yàn)橐后w火箭發(fā)動(dòng)機(jī)總裝設(shè)計(jì)