張曉東

（海軍裝備部，北京 100841）

空泡附加質(zhì)量建模的改進(jìn)

張曉東

（海軍裝備部，北京 100841）

基于通過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)過的圓盤表面速度分布估算公式，對圓盤空泡附加質(zhì)量的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了改進(jìn)，給出了更精確的空化圓盤附加質(zhì)量計(jì)算公式，分析了原線性速度分布假設(shè)下的計(jì)算公式的準(zhǔn)確性，建立了帶兩個(gè)空泡的航行體附加質(zhì)量計(jì)算模型。改進(jìn)的模型不僅反映了帶空泡航行體的附加質(zhì)量變化規(guī)律，而且因?yàn)槟Ｐ褪墙⒃趯?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，所以可靠性更高。

水下物體；空泡；附加質(zhì)量

0 引 言

不帶空泡的水下運(yùn)動(dòng)物體的附加質(zhì)量僅僅與物體外形有關(guān)，是一個(gè)常數(shù)，因此在計(jì)算物體非定常水動(dòng)力時(shí)非常方便。但是當(dāng)水下運(yùn)動(dòng)物體的速度較高時(shí)，物體表面將出現(xiàn)空泡，空泡極大地改變了物體周圍的流場，使得物體的附加質(zhì)量也發(fā)生了改變，尤其關(guān)鍵的是，空泡是一個(gè)自由面，當(dāng)物體做非定常運(yùn)動(dòng)時(shí)，空泡外形也在不斷改變，這使得帶空泡物體的附加質(zhì)量也會(huì)發(fā)生變化，因此對帶空泡物體，傳統(tǒng)的附加質(zhì)量計(jì)算方法不再適用，而且試驗(yàn)研究也比較困難。但是在工程上，還是希望能有一個(gè)較為簡單的計(jì)算公式，所以對空泡附加質(zhì)量建模是一件有意義的研究工作。陳瑋琪[1]基于空泡獨(dú)立膨脹原理[2-5]和細(xì)長體空泡的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，對軸對稱空泡附加質(zhì)量進(jìn)行了理論建模，分析了空泡尾部不同閉合方式對空泡附加質(zhì)量的影響。特別是，陳瑋琪在文獻(xiàn)[1]中區(qū)分了對待空泡附加質(zhì)量的兩種觀點(diǎn)：一種是把空泡本身作為物體的一部分，討論了帶空泡物體的附加質(zhì)量；另一種是僅僅考慮物體本身，而把空泡作為流場的一部分，討論了物體在空泡流場作用下的附加質(zhì)量。這兩種觀點(diǎn)都有意義，第一種觀點(diǎn)有助于理解空泡的存在對附加質(zhì)量的影響機(jī)理，第二種觀點(diǎn)有助于理解物體在空泡流場中的受力規(guī)律。文獻(xiàn)[1]對第一種觀點(diǎn)下的空泡附加質(zhì)量討論得較為詳盡，給出了不同形式的近似估計(jì)式，對第二種觀點(diǎn)下的附加質(zhì)量，只給出了空化器表面速度線性分布假設(shè)下的附加質(zhì)量估計(jì)式。但是線性速度假設(shè)略為簡化，并且沒有得到試驗(yàn)檢驗(yàn)?？紤]到在空化器表面流場速度的梯度變化比較大，因此需要進(jìn)一步改進(jìn)速度分布的估算方法，并由此得到更為準(zhǔn)確的附加質(zhì)量估計(jì)式。

1 數(shù)學(xué)模型

以圓盤空化器軸對稱空泡流動(dòng)作為研究對象，見圖1。

空化器空化后，在空泡尾流區(qū)域外，假設(shè)流場是無粘、無旋和不可壓的理想流場，速度勢為φ，遠(yuǎn)處來流壓力為P∞，空泡壓力為Pc。設(shè)空化器和空泡結(jié)合在一起的組合體在x方向的附加質(zhì)量為λ，則在軸對稱流體條件下，有下式成立：

圖1 圓盤空化器的軸對稱空泡Fig.1 A schematic of an axisymmetric cavity in a flow pasta disk

式中：SH=πR表示圓盤表面，Sc是空泡表面。上式最右邊兩項(xiàng)中的第一項(xiàng)是速度勢在空化器表面上的積分，根據(jù)文獻(xiàn)[1]，空化器本身的附加質(zhì)量λc按如下定義：

其物理含義可如此理解：如果將速度勢理解為沖量，則空化器表面上沖量積分的變化率，就是與空化器本身附加質(zhì)量相聯(lián)系的非定常流體動(dòng)力。

現(xiàn)在估算圓盤表面的速度勢φ。已知空泡外形可以由空泡截面獨(dú)立膨脹原理[3]得到，

其中：對于定?？张?，以下經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式成立：

其中：S（t）是任意一個(gè)空泡截面的面積，L是空泡長度，ΔP=P∞-Pc是壓差，空化數(shù)σ=ΔP/0.5ρV2，Cx為空化器阻力且有Cx=Cx0（1+σ），對于圓盤空化器，Cx0=0.82。

注意，φH是空化器邊緣速度勢，因此如果能得到流體沿圓盤表面的速度分布u（r），就能根據(jù)速度勢的表達(dá)式

計(jì)算出空化器表面任意半徑r位置處的速度勢。

2 速度分布估算

首先考察文獻(xiàn)[1]對速度分布進(jìn)行線性假設(shè)的方法。經(jīng)驗(yàn)表明，靠近空化器附近x≤2RH處，空泡外形接近于一個(gè)三次拋物線

因此在靠近空化器邊緣，空泡曲面的切線斜率為

空化器空化后，空泡表面的流體相對速度為Vk=，因此空化器邊緣與空化器表面平行的流體相對速度分量為sinα，由公式（9）可以得到tgα＝1，即

在空化器中心，平行空化器表面的絕對速度分量為0，因此，如果假設(shè)從圓盤中心r=0到圓盤邊緣r=RH的絕對平行速度分量為線性關(guān)系，則有

將（10）式代入（7）式即可計(jì)算出空化器表面的速度勢，再代入（1）式積分，就可求出空化器的附加質(zhì)量

這是文獻(xiàn)[1]的思想。

從以上分析可以看出，λc的準(zhǔn)確程度取決于速度分布u（r）的準(zhǔn)確程度，對u（r）的更好估計(jì)可以在文獻(xiàn)[5]中找到：假設(shè)速度分布函數(shù)u（r）僅取決于圓盤上的位置半徑r而與空化數(shù)σ無關(guān)，則可將速度分布近似表示為拋物線形式

3 空化器的附加質(zhì)量

利用（12）式作為圓盤表面速度分布的估算公式，無疑要更為精確，將之代入（7）式中，即可計(jì)算出圓盤表面的速度勢

基于（6）式和（13）式，就可以計(jì)算空化器的附加質(zhì)量了。將之代入（1）式，得到

將n=4.55代入其中，整理得到

對比文獻(xiàn)[1]中線性假設(shè)下的附加質(zhì)量公式（11）可看出，兩者的表達(dá)式完全相同，只是項(xiàng)前面的常系數(shù)略有差異，線性速度假設(shè)下是0.177，而本文是0.162，因此線性假設(shè)計(jì)算的附加質(zhì)量略偏大。

對于無界流中的空化圓盤，常系數(shù)a≈1.5[2]，因此當(dāng)空化數(shù)σ→0時(shí)，公式（11）和公式（15）計(jì)算結(jié)果的相對誤差為

由此可看出，線性假設(shè)還是相當(dāng)準(zhǔn)確的。

4 空化器和空泡組合體的附加質(zhì)量

文獻(xiàn)[1]給出了空泡尾部以鏡像平板封閉的細(xì)長體空泡（見圖2）附加質(zhì)量為

其中：系數(shù)K=λc/ρφHSH是空化器的附加質(zhì)量系數(shù)。

今采用（12）式速度分布，故需將（15）式代入（17）式中得到空化器加空泡組合體附加質(zhì)量為

圖2 鏡像對稱空泡Fig.2 A schematic of amirror symmetric cavity

5 帶頭空泡和尾空泡的航行體附加質(zhì)量

水下高速航行體有可能在頭部和尾部都產(chǎn)生空泡，見圖3。要計(jì)算它的彈道，就必須要考慮航行體帶空泡的附加質(zhì)量。這里將空泡視為航行體的一部分，因此應(yīng)考慮空泡+航行體的組合體的附加質(zhì)量。

圖3 水下帶空泡航行體Fig.3 A cavity body underwater

為簡化起見，這里假設(shè)頭空泡和尾空泡相距較遠(yuǎn)不發(fā)生相互影響，因此這兩個(gè)空泡都可近似為橢球，但是兩個(gè)空泡的空化數(shù)和對應(yīng)的阻力系數(shù)不一定相同，見圖3中的標(biāo)志。注意圖中全濕流部分的速度勢面積分為0，對軸向附加質(zhì)量沒有影響，可以不用考慮。因此帶空泡航行體的附加質(zhì)量可視為兩個(gè)空泡附加質(zhì)量之和。

但是，這里還不能直接利用公式（18）來計(jì)算頭部空泡的附加質(zhì)量，其原因是頭空泡閉合在航行體上，因此不存在空泡尾部閉合面的速度勢積分（參見圖2），也就是說，在公式（18）中要扣除鏡像平板上的速度勢積分，考慮到鏡像平板對稱性，航行體上頭空泡附加質(zhì)量應(yīng)為

類似地，尾部空泡的前部也沒有表面積分項(xiàng)，因此其附加質(zhì)量為

這里RL是尾空泡封閉面的半徑。兩者之和即得到帶空泡航行體的附加質(zhì)量估計(jì)值

如果RL=RH，σ′=σ，則有

其中：（Cx+Cx′）相當(dāng)于帶空泡航行體的總的阻力系數(shù)，可對比（18）式。

6 結(jié) 論

基于文獻(xiàn)[1]的空泡附加質(zhì)量建模思想，采用通過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)過的圓盤表面速度分布經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式代替原線性速度分布假設(shè)，建立了空泡附加質(zhì)量的更為精確的數(shù)學(xué)模型。在頭空泡與尾空泡相互不干擾的條件下，建立了平頭圓柱水下航行體帶頭空泡和尾空泡的軸向附加質(zhì)量估算方法以用于彈道工程計(jì)算。后續(xù)將考慮空泡干擾條件下的空泡附加質(zhì)量建模方法。

[1]陳瑋琪,王寶壽.空泡附加質(zhì)量的理論建模[C]//2012優(yōu)秀學(xué)術(shù)論文集,中國造船工程學(xué)會(huì).北京,2013.

[2]Vasin A D.The principle of independence of the cavity sections expansion(Logvinovich’s principle)as the basis for investigation on cavitation flows[C].RTO AVT Lecture Series on Supercavitating Flows,2001.

[3]Serebryakow V V.Problems of hydrodynamics for high speed motion in water with supercavitation[C]//Sixth International Symposium on Cavitation(CAV2006).Wageningen,The Netheriands,2006.

[4]Serebryakow V V.Physical-mathematical bases of the principle of independence of cavity expansion[C]//Proceedings of the 7th international Symposium of Cavitation(CAV2009).Michigan,USA,2009:169.

[5]Logvinovich G V.Hydrodynamics of Free-Boundary Flows[M].Naukova Dumka,Kiev,Ukraine;translated from the Russian by the Israel Program for Scientific Translations,Jerusalem(1972),1969.

Im proved model of added mass of cavity body

ZHANG Xiao-dong
(Navy Equipment Department,Beijing 100081,China)

Themathematicalmodel of added mass of cavitating disk is improved based on an experimentally-verified estimated velocity distribution on the surface of the disk.A more accurate added mass calculating formula is given for cavitating disk and the accuracy of the primary calculating formula under the linear hypothesis is analyzed.Finally,an added massmodel for underwater body with two attached cavities is proposed.The improved model shows the varying law of the added mass of cavity body,furthermore,it is more reliable due to using experimental data.

underwater body;cavitation;addedmass

0302 0352

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.02.002

2016-10-13

張曉東（1971-），男，高級工程師，E-mail:bluewing729@sina.com。

1007-7294（2017）02-0138-05