王 順，陳 敏，郭 慶，程偉浩

（東北大學(xué)冶金學(xué)院,遼寧 沈陽 110819）

0 引言

功率超聲因其產(chǎn)生的空化效應(yīng)可提高化學(xué)反應(yīng)速率而廣泛應(yīng)用于冶金領(lǐng)域，Rayleigh 建立的空化泡動力學(xué)模型為超聲空化的研究提供了理論依據(jù)[1-3]。目前，空化泡在功率超聲作用下的研究主要集中于水溶液模擬體系，以直觀的方式觀察空化泡運動過程中尺寸的變化，并不能定量描述空化泡尺寸的演變行為[4-5]。此外，目前關(guān)于空化泡的研究主要集中在常溫下水溶液中，或功率超聲作用下對鋼液中夾雜物去除的影響，缺少功率超聲對鋼液中空化泡尺寸演變的影響的系統(tǒng)研究[5-6]。

由于空化泡不是規(guī)則的球形，且受力情況與能量的交換過程較為復(fù)雜，目前存在的方程難以準(zhǔn)確描述空化泡尺寸的變化規(guī)律[7-8]?；谶@一問題，筆者利用Matlab 軟件運用四階龍格庫塔算法[9]，在RP 方程的基礎(chǔ)上引入能量粘滯損耗及輻射阻尼項，對功率超聲作用下鋼液中單個空化泡尺寸的演變進行研究，分析聲壓幅值、頻率、空化泡初始平衡半徑和氣體多變指數(shù)等因素對空化泡尺寸的影響，探究穩(wěn)態(tài)空化及瞬態(tài)空化條件下的空化效應(yīng)，旨在得出功率超聲參數(shù)對鋼液中空化泡尺寸演變行為的影響規(guī)律，為探究功率超聲產(chǎn)生的空化效應(yīng)對鋼液中流動及傳質(zhì)行為提供理論依據(jù)。

1 模型建立

1.1 基本假設(shè)

功率超聲在鋼液中傳播產(chǎn)生的空化泡發(fā)生膨脹與收縮，為了簡化計算做以下假設(shè)[10-11]：

1）鋼液為不可壓縮流體，忽略溫度與密度的變化；

2）空化泡為球形，且僅做徑向運動，運動只與徑向軸有關(guān)；

3）空化泡的半徑遠小于距鋼包壁的距離；

4）不考慮重力和浮力對空化泡的影響；

5）不考慮空化泡外液體邊界層的化學(xué)反應(yīng)。

1.2 控制方程

Rayleigh-Plesset 方程：

功率超聲作用下鋼液與蒸氣處于相對平衡狀態(tài)，則：

由于空化泡演變過程中存在能量粘滯損耗及輻射阻尼，則：

功率超聲作用在空化泡壁上的壓力：

功率超聲周期T：

式中，μ為粘滯系數(shù)，Pa·s；R為空化泡瞬時半徑，μm；R0為空化泡初始平衡半徑，μm；νl為液相運動粘度，取值0.006 7 m2/s；σ為表面張力系數(shù)，取值1.4 N/m；P0為靜壓力，取值101 325 Pa；PB（t）為空化泡內(nèi)壓力，取值6 Pa；P∞（t）為無窮遠處壓力，Pa；PA為超聲波聲壓幅值，Pa；Pv為飽和蒸汽壓，Pa；ρl為液相密度，取值7 000 kg/m3；t為功率超聲作用時間，s；T為功率超聲作用周期，s；k 為氣體多變指數(shù)；ω為功率超聲角頻率，rad/s；f為頻率，kHz。

1.3 計算求解

R-P 方程為非線性二階常微分方程，常規(guī)方法無法求解此方程的數(shù)值解，采用四階龍格庫塔法進行迭代求解[4]。

假設(shè)時間步長為h，四階龍格庫塔法計算所涉及的方程如下。

其中：

1.4 研究方案

通過改變聲壓幅值、頻率、空化泡初始平衡半徑及氣體多變指數(shù)考察功率超聲參數(shù)對鋼液中空化泡半徑的影響，以空化泡半徑的大小為指標(biāo)評價空化效應(yīng)的強弱。通過方程（7）與方程（8）可以得到空化泡半徑，以R/R0值表述空化泡尺寸的變化規(guī)律。

所涉及的參數(shù)及初始條件取值為：聲壓幅值PA取值范圍是1～100P0；超聲頻率f的取值范圍是20～80 kHz；空化泡初始平衡半徑R0的取值范圍為1～50 μm；氣體多變指數(shù)k的取值范圍為1～1.65。其中，氣體多變指數(shù)定義為：在實際熱力內(nèi)平衡過程中，如果P乘以v的n次方為一個定值，則稱這個過程為多變過程，以k描述氣體多變指數(shù)。

2 結(jié)果與討論

2.1 聲壓幅值對鋼液中空化泡半徑演變過程的影響

在頻率為24 kHz，空化泡初始平衡半徑為10 μm，氣體多變指數(shù)為1.35 條件下，探究聲壓幅值對空化泡半徑演變的影響。利用Matlab 軟件計算得到的空化泡半徑與初始平衡半徑的比值（R/R0）隨聲壓幅值變化的曲線如圖1 和圖2 所示。

圖1 1～2P0 范圍內(nèi)聲壓幅值對鋼液中空化泡半徑的影響Fig.1 Influence of sound pressure amplitude on cavitation bubble radius in the liquid steel in the range of 1～2P0

圖2 3～100P0 范圍內(nèi)聲壓幅值對鋼液中空化泡半徑的影響Fig.2 Influence of sound pressure amplitude on cavitation bubble radius in the liquid steel in the range of 3～100P0

由圖1（a）可見，聲壓幅值在1～1.5P0范圍內(nèi)變化時，鋼液中空化泡半徑變化趨勢為正弦曲線，隨著聲壓幅值的增加，空化泡的半徑變化幅度增強。當(dāng)聲壓幅值為2P0時，在nT/2 周期內(nèi)，空化泡半徑的演變僅表現(xiàn)為振動幅度明顯增強，但在（n+1）T/2 周期內(nèi)，空化泡半徑演變的過程中出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，但空化泡未發(fā)生崩潰，為穩(wěn)態(tài)空化。聲壓幅值在1～2P0范圍內(nèi)，空化泡半徑做周期性振蕩，由于聲壓幅值的增加，空化效應(yīng)對空化泡的作用增強，表現(xiàn)為負壓區(qū)功率超聲對空化泡的拉伸作用增強，空化泡的半徑增大；在正壓區(qū)功率超聲對空化泡的壓縮作用增強，空化泡的半徑減小?？栈莸姆逯蛋霃诫S聲壓幅值的變化如圖1（b）所示，聲壓幅值由1P0增加至1.5P0時，空化泡的峰值半徑由11.18 μm 增加至12.26 μm。當(dāng)聲壓幅值由1.5P0增加至2P0時，空化泡的峰值半徑增加至17.03 μm，且斜率增加，表明空化泡的峰值半徑急劇增加，而空化泡半徑的劇烈變化易使空化現(xiàn)象由穩(wěn)態(tài)空化向瞬態(tài)空化轉(zhuǎn)變。因此有利于穩(wěn)態(tài)空化的聲壓幅值為1.5P0。另外，穩(wěn)態(tài)空化時產(chǎn)生的空化泡振蕩周期較長，持續(xù)上浮，可在鋼液鈣處理過程中有效促進夾雜物上浮[10]。

由圖2（a）可見，聲壓幅值在3～100P0范圍變化時，隨著聲壓幅值的增加，空化泡半徑與初始平衡半徑的比值增加，空化效應(yīng)增強?？栈菡駝又芷诳s短，空化泡的半徑變化趨勢為非正弦曲線，空化泡經(jīng)歷若干次膨脹與收縮過程后發(fā)生崩潰，為瞬態(tài)空化。另外，隨著聲壓幅值的增大，空化泡經(jīng)歷的膨脹與收縮至崩潰次數(shù)逐漸減小，當(dāng)聲壓幅值為10P0時，空化泡經(jīng)歷3 次膨脹與收縮后發(fā)生崩潰，而當(dāng)聲壓幅值大于30P0時，空化泡在經(jīng)歷2 次膨脹與收縮過程后發(fā)生崩潰。空化泡崩潰前膨脹與收縮過程的減少亦表明空化效應(yīng)的增強。由圖2（b）可見，聲壓幅值在3～30P0范圍內(nèi)，空化泡的峰值半徑先增加后減小，在聲壓幅值由3P0增加至10P0時，空化泡的峰值半徑由33.37 μm 增加至57.18 μm，當(dāng)聲壓幅值增加至30P0時，空化泡的峰值半徑減小為34.86 μm。隨后，當(dāng)聲壓幅值由30P0增加至100P0時，空化泡的峰值半徑增加至65.78 μm?？栈莘逯蛋霃降脑黾佑欣诋a(chǎn)生瞬態(tài)空化，但過高的聲壓幅值脫離工業(yè)實際操作過程。且聲壓幅值為10P0與80P0條件下所對應(yīng)的空化泡峰值半徑分別為57.18 μm 與58.02 μm，這表明10P0與80P0條件下所產(chǎn)生的空化效應(yīng)強度基本一致，考慮工業(yè)實際應(yīng)用，瞬態(tài)空化適宜的聲壓幅值為10P0。另外，由于瞬態(tài)空化條件下空化泡產(chǎn)生至崩潰所持續(xù)的時間較短，且較高的聲壓幅值可加速空化泡的運動，可有效提高鋼液內(nèi)的傳質(zhì)速率。

2.2 穩(wěn)態(tài)空化（1.5P0）條件下各參數(shù)對鋼液中空化泡半徑的影響

2.2.1 初始平衡半徑對鋼液中空化泡半徑的影響

由圖3（a）可見，空化泡初始平衡半徑在5～50 μm的范圍內(nèi)變化時，隨著空化泡初始平衡半徑增大，空化泡膨脹與收縮的程度增強。這是由于初始平衡半徑增大，可提高空化泡與鋼液的接觸面積，促進空化泡對周圍能量的吸收，導(dǎo)致空化泡的峰值半徑增大。當(dāng)空化泡初始平衡半徑為50 μm 時，空化泡半徑變化周期延長，這是由于空化泡初始平衡半徑較大時，需要更充足的時間吸收能量，導(dǎo)致空化泡膨脹與收縮周期增加。由圖3（b）可見，隨著空化泡半徑的增加，空化泡的峰值半徑增加，當(dāng)空化泡初始平衡半徑由5 μm 增加至50 μm 時，空化泡的峰值半徑由5.35 μm 增加至141.75 μm，與空化泡初始平衡半徑相比，空化泡的峰值半徑分別增加了0.35 μm 和91.75 μm。因此，為提高穩(wěn)態(tài)空化條件下的空化效果，空化泡初始平衡半徑應(yīng)控制在50 μm。

圖3 5～50 μm 范圍內(nèi)初始平衡半徑對鋼液中空化泡半徑的影響Fig.3 Influence of initial equilibrium radius on cavitation bubble radius in the molten steel in the range of 5～50 μm

2.2.2 頻率對鋼液中空化泡半徑的影響

由圖4（a）可見，頻率在20～32 kHz 范圍內(nèi)變化時，空化泡半徑變化趨勢基本一致，此頻率范圍內(nèi)對空化泡半徑的影響較小。當(dāng)頻率為50 kHz 和80 kHz 時，空化泡半徑的振蕩幅度提高，表明較高的頻率可提高空化泡的半徑，且在一個周期內(nèi)空化泡半徑出現(xiàn)多次振蕩。圖4（b）可見，隨著功率超聲頻率的增加，空化泡的峰值半徑增大。當(dāng)功率超聲的頻率由20 kHz 增加至80 kHz 時，空化泡的峰值半徑由11.21 μm 增加至12.29 μm，與功率超聲頻率增加60 kHz 的幅度相比，空化泡的峰值半徑僅增加了1.08 μm。說明功率超聲的頻率對空化泡半徑演變的影響較小。

圖4 20～80 kHz 范圍內(nèi)頻率對空化泡半徑的影響Fig.4 Influence of frequency on cavitation bubble radius in the range of 20～80 kHz

2.2.3 氣體多變指數(shù)對鋼液中空化泡半徑的影響

由圖5（a）可見，隨著氣體多變指數(shù)k的增加，空化泡膨脹與收縮的周期基本保持一致，空化泡半徑的振蕩幅度逐漸降低，且同一周期內(nèi)的振蕩次數(shù)逐漸減少，說明氣體多變指數(shù)的增加對空化泡半徑產(chǎn)生負面影響。由圖5（b）可見，隨著k值的增加，空化泡的峰值半徑逐漸減小。當(dāng)氣體多變指數(shù)由1增加至1.65 時，空化泡的峰值半徑由12.68 μm 減小至11.08 μm，表明增加氣體多變指數(shù)將削弱功率超聲的空化強度。主要原因在于單原子氣體空化泡的峰值半徑大于多原子氣體，且振蕩周期基本一致。上述結(jié)論與多變指數(shù)較小的單原子氣體的空化效應(yīng)優(yōu)于多原子氣體的結(jié)論相吻合[6]。

圖5 氣體多變指數(shù)對空化泡半徑的影響Fig.5 Influence of gas multiplicity index on cavitation bubble radius

2.3 瞬態(tài)空化（10P0）條件下各參數(shù)對鋼液中空化泡半徑的影響

2.3.1 初始平衡半徑對鋼液中空化泡半徑的影響

由圖6（a）可見，與穩(wěn)態(tài)空化條件下空化泡半徑的變化曲線相比，空化泡半徑變化幅度明顯提高。當(dāng)空化泡初始平衡半徑為5 μm 時，空化泡僅經(jīng)歷2 次膨脹與收縮的過程后發(fā)生崩潰。而空化泡初始平衡半徑為10、15 和20 μm 時，空化泡膨脹與收縮次數(shù)增加，分別為3、5 和8 次膨脹與收縮過程后發(fā)生崩潰。當(dāng)空化泡初始平衡半徑為50 μm 時，空化泡經(jīng)歷13 次膨脹與收縮過程后發(fā)生崩潰，且空化泡膨脹幅度明顯減小，表明隨著空化泡初始平衡半徑的增加，空化效應(yīng)減弱。另外，空化泡初始平衡半徑為5 μm 時，空化泡發(fā)生崩潰時峰值半徑達到423.01 μm，空化泡最大半徑膨脹率為846%，而崩潰時膨脹率越大，釋放的能量越多，空化效應(yīng)增強。由圖6（b）可見，空化泡的峰值半徑隨著初始平衡半徑的增加先增大后減小。當(dāng)空化泡初始平衡半徑由5 μm增加至20 μm 時，空化泡的峰值半徑由423.01 μm增加至896.12 μm，此時的膨脹率為448%；當(dāng)初始平衡半徑增加至50 μm 時，空化泡的峰值半徑減小到544.16 μm，此時空化泡膨脹率為108.8%。半徑由5 μm 增大至20 μm 過程中峰值半徑不斷增加，但發(fā)生崩潰時的膨脹率由846%降低為448%，瞬態(tài)空化效應(yīng)減弱。因此，空化泡初始平衡半徑為5 μm 時有利于發(fā)生瞬態(tài)空化。

圖6 5～50 μm 范圍內(nèi)初始平衡半徑對鋼液中空化泡半徑的影響Fig.6 Influence of initial equilibrium radius on cavitation bubble radius in the molten steel in the range of 5～50 μm

2.3.2 頻率對鋼液中空化泡半徑的影響

由圖7（a）可見，頻率在20～28 kHz 范圍內(nèi)變化時，空化泡經(jīng)歷2 次膨脹與收縮的過程后發(fā)生崩潰，且發(fā)生崩潰時空化泡半徑的膨脹率逐漸減小。頻率為32、50 和80 kHz 時，空化泡分別經(jīng)歷4、5和8 次膨脹與收縮過程后崩潰。瞬態(tài)空化過程中，發(fā)生崩潰所經(jīng)歷的膨脹與收縮次數(shù)越多，其空化強度越弱。由圖7（b）可見，在低頻率20～28 kHz 范圍內(nèi)，隨著頻率的增加，空化泡的峰值半徑由488.05 μm 減小至354.43 μm；當(dāng)頻率為32 kHz 時，空化泡的峰值半徑為593.78 μm，為各頻率條件下半徑最大值，但其膨脹與收縮次數(shù)較多，空化泡崩潰時間較長，空化效應(yīng)減弱。當(dāng)頻率為80 kHz 時，空化泡的峰值半徑減小至172.65 μm。表明高頻率的條件下空化泡膨脹與收縮時間延長，空化核未能及時發(fā)生崩潰，空化效應(yīng)減弱。因此，為提高超聲的瞬態(tài)空化強度，功率超聲的頻率應(yīng)選擇為20 kHz。

圖7 20～80 kHz 范圍內(nèi)頻率對空化泡半徑的影響Fig.7 Influence of frequency on cavitation bubble radius in the range of 20～80 kHz

2.3.3 氣體多變指數(shù)對鋼液中空化泡半徑的影響

圖8（a）可見，瞬態(tài)空化條件下，空化泡僅經(jīng)歷1 次膨脹與收縮過程即發(fā)生崩潰，且隨著氣體多變指數(shù)k的增加，空化泡崩潰所經(jīng)歷的周期基本一致，表明瞬態(tài)空化條件下氣體多變指數(shù)對空化泡膨脹與收縮過程影響較小。主要原因在于瞬態(tài)空化頻率高、能量大，空化泡崩潰過程中單原子及多原子氣體的作用性能減弱，對空化效應(yīng)強弱的影響并不明顯。由圖8（b）可見，隨著氣體多變指數(shù)的增加，空化泡的峰值半徑逐漸減小。當(dāng)氣體多變指數(shù)由1 增加至1.65 時，空化泡的峰值半徑由18.22 μm 減小至17.87 μm，僅減小了0.35 μm，亦表明氣體多變指數(shù)對瞬態(tài)空化強弱的影響較小。但考慮能量的吸收與釋放過程，多變指數(shù)較低的單原子氣體有利于產(chǎn)生瞬態(tài)空化。

圖8 氣體多變指數(shù)對空化泡半徑的影響Fig.8 Influence of gas multiplicity index on cavitation bubble radius

3 結(jié)論與展望

1）功率超聲作用下引起鋼液中空化泡的膨脹與收縮，不同聲壓幅值可產(chǎn)生不同的空化效應(yīng)。聲壓幅值在1～2P0的范圍內(nèi)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)空化，可促進夾雜物上浮過程；聲壓幅值在3～100P0的范圍內(nèi)產(chǎn)生瞬態(tài)空化，可加速鋼液內(nèi)的傳質(zhì)過程。

2）穩(wěn)態(tài)空化條件下，隨著頻率和初始平衡半徑的增加，空化泡的峰值半徑增大。初始平衡半徑由5 μm 增加至50 μm 時，空化泡的峰值半徑由5.35 μm增加至141.75 μm；頻率由20 kHz 增加至80 kHz 時，空化泡的峰值半徑由11.45 μm 增加至12.29 μm。

3）瞬態(tài)空化條件下，頻率為20 kHz 時，空化泡經(jīng)歷2 次膨脹與收縮過程后崩潰，對應(yīng)空化泡的峰值半徑為488.05 μm。初始平衡半徑對空化泡尺寸的影響顯著，由5 μm 增加至20 μm 時，空化泡的峰值半徑由423.01 μm 增加至896.12 μm，當(dāng)初始平衡半徑增加至50 μm 時，空化泡的峰值半徑減小至544.16 μm。

4）氣體多變指數(shù)對穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)空化條件下空化泡尺寸的影響較小，但氣體多變指數(shù)較小的單原子氣體產(chǎn)生的空化效應(yīng)優(yōu)于多原子氣體。當(dāng)氣體多變指數(shù)由1 增加至1.65 時，空化泡的峰值半徑僅由18.22 μm 減小至17.87 μm。

5）本研究成果可為探究功率超聲產(chǎn)生的空化效應(yīng)對鋼液中流動及傳質(zhì)行為提供理論依據(jù)，但空化泡的體積、密度及空化泡之間的作用對空化泡膨脹與收縮產(chǎn)生影響，后續(xù)需進一步修正空化泡的尺寸變化方程，并結(jié)合實際設(shè)計試驗，對模擬結(jié)果進行驗證。