閆寶偉，潘 增，薛 野，段美壯

（華中科技大學(xué) 水電與數(shù)字化工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）

1 水文現(xiàn)象中的相關(guān)性及其度量

相關(guān)性分析是研究現(xiàn)象之間是否存在某種依存關(guān)系，并對(duì)具有依存關(guān)系的現(xiàn)象探討其相關(guān)方向以及相關(guān)程度，是研究隨機(jī)變量之間相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法。相關(guān)性普遍存在于水文現(xiàn)象中，無(wú)論水文事件內(nèi)部屬性間（如洪水的峰和量等），還是由外部原因（如空間、因果關(guān)系等）引起的相關(guān)性，如洪水的地區(qū)組成和遭遇、降雨和徑流的關(guān)系等，都是兩個(gè)或多個(gè)變量間的互相關(guān)。水文時(shí)間序列（如年、月徑流）有時(shí)會(huì)存在短滯時(shí)或長(zhǎng)滯時(shí)的相依關(guān)系，屬于單個(gè)變量不同時(shí)序間的相關(guān)，稱之為自相關(guān)。除了單相關(guān)即兩個(gè)變量相關(guān)外，一個(gè)要素或變量還可能同時(shí)與幾個(gè)要素或變量之間相關(guān)，如徑流不僅與降雨有關(guān)，還受蒸發(fā)、氣溫、下墊面及人類活動(dòng)等影響，這種相關(guān)關(guān)系稱為復(fù)相關(guān)，水文計(jì)算中的多元回歸就屬于此類。在多變量情況下，研究?jī)蓚€(gè)要素或變量同時(shí)消除了其余控制要素影響后的相關(guān)，稱為偏相關(guān)，例如應(yīng)用偏相關(guān)分析可以尋找與徑流量顯著相關(guān)的氣象因素和土地利用-覆被變化因素等［1］。相關(guān)性分析是水文計(jì)算的一項(xiàng)重要內(nèi)容，深入了解水文現(xiàn)象中出現(xiàn)的這些相關(guān)性，并能根據(jù)研究對(duì)象和分析目的的不同選用適合的分析方法，對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題將有很大的幫助。

1.1 相關(guān)性的度量 水文變量之間的相關(guān)性按其度量方式不同可分為相關(guān)性指標(biāo)和相關(guān)性結(jié)構(gòu)，其中相關(guān)性指標(biāo)是衡量變量間相關(guān)程度的度量指標(biāo)，包括以下指標(biāo)。

（1）刻畫全局相關(guān)性的相關(guān)系數(shù)，如Pearson線性相關(guān)系數(shù)ρ、Spearman秩相關(guān)系數(shù)R和Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ。線性相關(guān)系數(shù)僅適用于描述呈線性相關(guān)關(guān)系的變量，而秩相關(guān)系數(shù)由于具有單調(diào)遞增變換不變性和對(duì)異常數(shù)據(jù)有較強(qiáng)的抗沖擊能力等良好性質(zhì)，致使它非常適用于描述變量間的非線性相關(guān)關(guān)系。但它們只是對(duì)變量間關(guān)聯(lián)程度的全局度量，不能捕捉到復(fù)雜變量的局部相關(guān)性特征。

（2）描述極值相關(guān)特征的尾部相關(guān)系數(shù)，包括上尾部相關(guān)系數(shù)λU和下尾部相關(guān)系數(shù)λL。尾部相關(guān)系數(shù)是一個(gè)廣泛應(yīng)用于極值理論的相關(guān)性測(cè)度指標(biāo)，在分析水文極值事件的屬性特征（如洪峰與洪量、干旱歷時(shí)與烈度等）時(shí)發(fā)揮著重要作用［2-3］，如果不考慮它們之間的尾部相關(guān)性，可能會(huì)出現(xiàn)高估或低估水文極值事件的風(fēng)險(xiǎn)［3-4］。

（3）表示變量間共享信息量的互信息I，它能夠有效捕捉變量間的非線性關(guān)系。I越大，變量之間的相關(guān)性越強(qiáng)，也可以將互信息看作是相關(guān)系數(shù)在高維非線性情況下的推廣，在水文預(yù)報(bào)因子的選擇和水文模型的不確定性分析等方面有一定的優(yōu)勢(shì)［5-7］。

相關(guān)性結(jié)構(gòu)是指變量間是以何種模式相關(guān)，或者通過(guò)什么結(jié)構(gòu)可以將兩個(gè)或多個(gè)變量的概率分布聯(lián)系起來(lái)，通常采用Copula函數(shù)描述。Copula函數(shù)是定義域?yàn)椋?，1］均勻分布的多維聯(lián)合分布函數(shù)，它可以將隨機(jī)變量之間的相關(guān)程度和相關(guān)模式有機(jī)地結(jié)合在一起，從而刻畫隨機(jī)變量間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)。相關(guān)性指標(biāo)是一個(gè)單一數(shù)值，無(wú)法充分反映變量之間的相關(guān)特性，而相關(guān)性結(jié)構(gòu)能夠捕捉變量間所有的相關(guān)性信息［8］。

1.2 相關(guān)性指標(biāo)和相關(guān)性結(jié)構(gòu)的聯(lián)系 Copula函數(shù)是刻畫變量間相關(guān)性結(jié)構(gòu)的一種有效工具，它通過(guò)參數(shù)θ間接地描述變量間的相關(guān)性，如對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，其邊緣分布分別為u和v，則上述相關(guān)性指標(biāo)可由二維Copula函數(shù)Cθ(u,v)得出。例如，對(duì)于Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ，兩者存在如下關(guān)系［9］：

式中：E(·)為期望函數(shù)。

對(duì)于Spearman秩相關(guān)系數(shù)R，則存在如下關(guān)系［9］：

而對(duì)于尾部相關(guān)系數(shù)，引入Copula函數(shù)后，λU和λL可簡(jiǎn)化為［4］：

根據(jù)互信息的定義，有［10］

其中，HC(uv)稱為Copula熵。從而Copula函數(shù)將相關(guān)性指標(biāo)與相關(guān)性結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，由于隨機(jī)變量的所有統(tǒng)計(jì)特征均包含在邊緣分布中，Copula函數(shù)通過(guò)將聯(lián)合分布分為邊緣分布和相關(guān)性結(jié)構(gòu)兩部分分別處理，完整地保留了變量間所有關(guān)于相關(guān)性的信息，逐漸成為水文變量相關(guān)性分析的一種理想工具，近幾年得到了廣泛應(yīng)用和發(fā)展［10-12］。

2 相關(guān)性分析方法及適用范圍

水文計(jì)算中相關(guān)性分析的目的，一是插補(bǔ)展延資料，分析目標(biāo)變量的統(tǒng)計(jì)特征；二是通過(guò)隨機(jī)模擬，增大樣本容量；三是辨識(shí)主要影響因子，簡(jiǎn)化計(jì)算。相應(yīng)的分析方法包括回歸分析、自回歸分析、R/S分析、主成分分析及Copula函數(shù)等。其中，回歸分析是研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)變量間的互相關(guān)性；自回歸分析則是分析某一變量時(shí)序間的短滯時(shí)相關(guān)性；R/S分析適用于描述某一變量的長(zhǎng)程相依性；主成分分析則試圖將多個(gè)變量含有的共同成分提取出來(lái)，重新組合成一組新的互相無(wú)關(guān)的綜合變量；Copula函數(shù)旨在通過(guò)構(gòu)造變量間的聯(lián)合分布函數(shù)，研究變量間的相依概率特征。

2.1 回歸分析 回歸分析尤其是線性回歸分析是進(jìn)行水文系列插補(bǔ)展延最常用的方法，而實(shí)際上建立在二元正態(tài)分布假設(shè)基礎(chǔ)上的線性回歸并不是水文系列插補(bǔ)展延的合格方法［13］。究其原因，線性回歸中的相關(guān)變量X和Y的總體分布是遵循二元正態(tài)分布的，而水文變量往往呈偏態(tài)型，拿偏態(tài)型的水文變量套用只有服從正態(tài)分布的變量才適用的方法，本身就存在理論誤差，劉光文［13］曾利用兩個(gè)假想水文系列對(duì)線性回歸進(jìn)行誤差檢驗(yàn)，結(jié)果表明，線性回歸插補(bǔ)展延的誤差往往不小，他認(rèn)為“人們對(duì)水文頻率計(jì)算從最初即不肯使用正態(tài)分布，何以對(duì)系列插補(bǔ)展延等水文問(wèn)題就坦然使用假定二元正態(tài)分布的回歸相關(guān)，豈非自相矛盾”。

由此看來(lái)，偏態(tài)型的水文變量不宜直接應(yīng)用線性回歸方法，要么經(jīng)過(guò)正態(tài)變換后應(yīng)用［14］，要么進(jìn)行非線性回歸分析。回歸分析的目的無(wú)非是插補(bǔ)展延資料或是預(yù)測(cè)未來(lái)趨勢(shì)，其實(shí)質(zhì)是求因變量Y在自變量X已知時(shí)的期望，即回歸方程相當(dāng)于y=E（y|x），對(duì)于偏態(tài)型的水文變量，該方程一般為非線性方程，其求解可以借助于Copula函數(shù)，如下［15］：

Copula函數(shù)的引入，從概率的角度分析了變量間的非線性相依關(guān)系，從而可以實(shí)現(xiàn)水文變量的非線性回歸分析，并可以給出預(yù)測(cè)的置信區(qū)間［15］。以清江隔河巖水庫(kù)為例，說(shuō)明這種方法的有效性，其中Copula函數(shù)選用Gumbel-Hougaard Copula。

選取清江隔河巖水庫(kù)壩址斷面1960—2003年共44年的年降水與年徑流資料，按本文介紹的非線性回歸方法，計(jì)算出降水-徑流的非線性回歸曲線及95%的置信區(qū)間，如圖1所示。便于比較，圖中還同時(shí)繪出了線性回歸的趨勢(shì)線及95%的置信區(qū)間。其中，降水與徑流的相關(guān)系數(shù)r2高達(dá)0.929 8，如此高的相關(guān)性，線性回歸似乎可以取得很精確的插補(bǔ)展延，而事實(shí)并非如此，兩條趨勢(shì)線在降水量的均值附近幾乎是重合的，在此區(qū)間內(nèi)兩種方法都可以進(jìn)行有效的插補(bǔ)，但對(duì)于極值（最不利）樣本，線性回歸預(yù)測(cè)值明顯小于非線性回歸值。以樣本中最大值為例，即P=2.2%，線性回歸插補(bǔ)值為629.55，非線性回歸值為664.71，真實(shí)值為671.20，誤差分別為-6.21%和-0.97%，外延的誤差可能會(huì)更高。再者，線性回歸的置信區(qū)間要大于非線性回歸值，尤其是在極值附近，也進(jìn)一步驗(yàn)證了文獻(xiàn)［13］關(guān)于“線性回歸不是水文系列插補(bǔ)展延的合格方法”的科學(xué)論斷。

2.2 自回歸分析 不同于回歸分析，自回歸分析的研究對(duì)象是一個(gè)時(shí)間序列，研究的是一個(gè)變量短滯時(shí)自相關(guān)的性質(zhì)，多用于隨機(jī)模擬或誤差校正。同線性回歸模型一樣，自回歸模型也是建立在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，對(duì)于偏態(tài)型的水文變量仍需做一些變換，這樣難免在轉(zhuǎn)換過(guò)程中出現(xiàn)信息失真。在假定水文時(shí)間序列服從馬爾柯夫過(guò)程的前提下，水文隨機(jī)模型可以看作是一種條件概率模型，這樣模型的重點(diǎn)就轉(zhuǎn)移到如何構(gòu)造有效的聯(lián)合分布或條件分布，如基于核密度估計(jì)的非參數(shù)方法［16-17］。如上所述，Copula函數(shù)是構(gòu)造聯(lián)合分布的一種有效方法，從而可以將該條件概率模型推廣到更一般的情形［18］。

設(shè)水文時(shí)間序列Xt一階相依，利用Copula函數(shù)可求得Xt依Xt-1的條件分布函數(shù)［19］，根據(jù)抽樣的反函數(shù)法就可以對(duì)水文時(shí)間序列進(jìn)行隨機(jī)模擬了，稱這種基于Copula函數(shù)的隨機(jī)模型為CAR（1）模型［19］。如果Xt是平穩(wěn)序列，如年徑流，則該模型為平穩(wěn)CAR（1）模型；如果Xt是非平穩(wěn)序列，如月或日徑流等，則該模型為季節(jié)性CAR（1）模型［20］。CAR（1）模擬的原理不是對(duì)樣本進(jìn)行直接抽樣，而是首先生成樣本對(duì)應(yīng)的概率值，并且該值是按一定的相依結(jié)構(gòu)進(jìn)行排序的，然后再以此概率對(duì)樣本抽樣。由于樣本序列的所有特性都包含在分布函數(shù)里面，所以不會(huì)產(chǎn)生信息的失真，能夠保持原有序列的分布特征。

圖1 隔河巖水庫(kù)降水—徑流的回歸分析

2.3R/S分析 根據(jù)相關(guān)結(jié)構(gòu)特性，水文時(shí)間序列可分為獨(dú)立、短滯時(shí)相關(guān)和長(zhǎng)滯時(shí)相關(guān)三種情形。短滯時(shí)相關(guān)可以由自相關(guān)系數(shù)來(lái)定量表征，長(zhǎng)滯時(shí)相關(guān)結(jié)構(gòu)常由Hurst系數(shù)給出。Hurst系數(shù)是水文學(xué)家Hurst在大量實(shí)證研究的基礎(chǔ)上提出的，用來(lái)定量表征時(shí)間序列的持續(xù)性或長(zhǎng)程相依性［21］，一般采用R/S分析法（也稱重標(biāo)極差分析法）計(jì)算，其基本內(nèi)容是：對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列{xt}，把它分為A個(gè)長(zhǎng)度為N的等長(zhǎng)子區(qū)間，對(duì)于每一個(gè)子區(qū)間Ia，記Ra為IM上的極差，Sa為IM上的標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算每個(gè)IM上的Ra/Sa，可得A個(gè)值，取其平均值記作（R/S）N，Hurst提出并經(jīng)Mandelbrot證實(shí)，有如下關(guān)系式存在［22］：

式中：K為常數(shù)，h為Hurst系數(shù)，可由最小二乘法求得。

為了描述現(xiàn)在對(duì)未來(lái)的影響，Mandelbrot引進(jìn)了一個(gè)相關(guān)性度量的指標(biāo)C（t），它表示零時(shí)刻過(guò)去的增量和未來(lái)增量的相關(guān)系數(shù)。根據(jù)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)理論，得出了C（t）與h的關(guān)系：

從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)函數(shù)來(lái)看，當(dāng)h=0.5時(shí)，任意t時(shí)刻過(guò)去與未來(lái)增量的相關(guān)函數(shù)C（t）=0，這時(shí)序列為獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程；當(dāng)h＞0.5時(shí)，C（t）＞0，正相關(guān)，即序列未來(lái)的變化趨勢(shì)受過(guò)去變化趨勢(shì)的影響，并且兩者的變化趨勢(shì)相同；當(dāng)h＜0.5時(shí)，C（t）＜0，負(fù)相關(guān)，序列未來(lái)的變化趨勢(shì)同樣受過(guò)去變化趨勢(shì)的影響，但兩者的變化趨勢(shì)相反。因此R/S分析在時(shí)間序列中具有很強(qiáng)的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)作用［23］，還可以用于水文序列的變異性分析［24］。

布朗運(yùn)動(dòng)是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)h=0.5時(shí)的特例，兩者的區(qū)別在于布朗運(yùn)動(dòng)中的增量是獨(dú)立的，而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)中的增量是非獨(dú)立的。如果假定水庫(kù)蓄水過(guò)程服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，即認(rèn)為在調(diào)洪過(guò)程中，任意時(shí)間間隔的蓄洪量增量不是相互獨(dú)立的，而是與過(guò)去有關(guān)，或者認(rèn)為，任意時(shí)刻水庫(kù)的蓄水量與初始蓄水狀態(tài)有關(guān)，由此可以得到水庫(kù)調(diào)洪演算隨機(jī)數(shù)學(xué)模型的一般形式［25-26］，即

式中：H（t）為庫(kù)水位過(guò)程，H0為初始庫(kù)水位；Q（t）為任意時(shí)刻入庫(kù)洪水；（qH，C）為相應(yīng)時(shí)刻的泄洪；、分別為入流和泄洪的均值過(guò)程線；C為流量系數(shù)等水力參數(shù)；G（H）為水庫(kù)面積-水位關(guān)系曲線。

與文獻(xiàn)［25］不同的是，Bh(t)服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)而不是維納過(guò)程（布朗運(yùn)動(dòng)），由此將水庫(kù)調(diào)洪演算的隨機(jī)數(shù)學(xué)模型推廣為更一般的情形，通過(guò)方程的求解或模擬，可以求得庫(kù)水位過(guò)程的概率密度，進(jìn)而可以應(yīng)用于水庫(kù)的防洪風(fēng)險(xiǎn)分析。

2.4 主成分分析 水文事件往往包含多個(gè)特征變量，這些特征變量能從不同的側(cè)面反映所研究對(duì)象的特征，但在某種程度上存在信息的重疊，具有一定的相關(guān)性，因此有可能用較少的綜合指標(biāo)分別綜合存在于各變量中的各類信息。主成分分析就是這樣一種方法，在力求數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，對(duì)高維的變量空間降維，將多個(gè)實(shí)測(cè)變量轉(zhuǎn)換為少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的主成分，把各變量之間互相關(guān)聯(lián)的復(fù)雜關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化分析。在水文計(jì)算中，主成分分析較多的用于提取影響氣候變化因子的主成分，建立降水與主成分的回歸分析模型，進(jìn)而對(duì)未來(lái)降水進(jìn)行預(yù)測(cè)［27］。

洪水事件是一個(gè)包含洪峰、洪量和峰現(xiàn)時(shí)間等多特征變量的極值水文事件，單純由一個(gè)變量分析其重現(xiàn)期是不全面的，文獻(xiàn)［28］試圖對(duì)各個(gè)變量加權(quán)，求得一個(gè)能反映洪水過(guò)程量級(jí)的綜合指標(biāo)，但由于各變量間存在一定的相關(guān)性，直接加權(quán)求和可能會(huì)使某些重疊信息多次加權(quán)，因此，可以考慮采用主成分分析的方法先提取出洪水事件的幾個(gè)相互獨(dú)立的主成分，然后對(duì)所得的主成分根據(jù)方差貢獻(xiàn)率加權(quán)得到綜合指標(biāo)?，F(xiàn)以隔河巖水庫(kù)為例說(shuō)明之。

根據(jù)隔河巖水庫(kù)1951—2004年汛期3h時(shí)段資料選取歷時(shí)為7d的年最大洪水過(guò)程，描述洪水過(guò)程的指標(biāo)選為洪峰、1d洪量、3d洪量、7d洪量和主峰峰現(xiàn)時(shí)間5個(gè)指標(biāo)，分別記為x1、x2、x3、x4和x5。按主成分分析方法，前兩個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率分別為75.24%和19.26%，累積貢獻(xiàn)率接近95%，因此可以認(rèn)為前兩個(gè)主成分足以反映整個(gè)洪水事件的信息。得到的兩個(gè)主成分分別為：

則對(duì)兩個(gè)主成分按方差貢獻(xiàn)率進(jìn)行加權(quán)得到的綜合指標(biāo)為：z=0.796y1+0.204y2。

根據(jù)所得的綜合指標(biāo)計(jì)算每年最大洪水過(guò)程的綜合指標(biāo)值，按指標(biāo)大小對(duì)每年的洪水過(guò)程進(jìn)行排序。水庫(kù)調(diào)洪的結(jié)果可以作為洪水過(guò)程量級(jí)的一個(gè)較客觀的衡量，對(duì)洪水的惡劣程度可以按洪水經(jīng)水庫(kù)調(diào)度所得的最高庫(kù)水位和最大下泄流量進(jìn)行排序［28］：對(duì)于調(diào)洪最高水位高于汛限水位的洪水過(guò)程，按調(diào)洪最高水位進(jìn)行排序，對(duì)于調(diào)洪水位相等的洪水過(guò)程，按照最大下泄流量進(jìn)行排序。將隔河巖水庫(kù)每年的最大洪水過(guò)程輸入到水庫(kù)的調(diào)洪程序中，得到每年的最高調(diào)洪水位和最大下泄流量。按上述原則對(duì)每年的洪水過(guò)程進(jìn)行排序，并與由綜合指標(biāo)法所得的排序進(jìn)行比較，得到兩種方法排序的秩相關(guān)系數(shù)τ=0.96，優(yōu)于文獻(xiàn)［28］所得結(jié)果（τ=0.91），圖2繪出了兩種排序所得經(jīng)驗(yàn)頻率的P-P圖，說(shuō)明兩種排序結(jié)果基本一致，尤其是對(duì)較嚴(yán)重的幾次洪水過(guò)程排序完全一致，從而表明所得的綜合指標(biāo)確實(shí)能夠反映洪水事件的總體量級(jí)。

圖2 兩種排序方法所得經(jīng)驗(yàn)頻率的P-P圖

圖3 不同樣本容量同頻率設(shè)計(jì)值的分布情況

2.5 Copula函數(shù)分析法 相關(guān)性指標(biāo)是變量間整體或局部相關(guān)程度的衡量，無(wú)法完整刻畫變量間的相依關(guān)系。Copula函數(shù)以概率的形式反映變量間的相依性，是描述變量間相關(guān)性結(jié)構(gòu)的有效工具，它不僅可以描述變量間的互相關(guān)關(guān)系，還可以刻畫變量的自相關(guān)特性，如上面提到的年、月或日徑流等的隨機(jī)模擬。Copula函數(shù)所刻畫的互相關(guān)既可以是同一水文事件的各屬性變量，如暴雨、洪水和干旱等極值水文事件的各特征變量［29］；還可以是相互之間有關(guān)聯(lián)的不同水文事件，原則上要有一定的物理聯(lián)系，如不同區(qū)域的豐枯遭遇［30］、不同季節(jié)的旱澇組合［31］以及干支流或支流間的洪水遭遇問(wèn)題等［32］。

在數(shù)學(xué)上，隨機(jī)變量之間的相關(guān)性由多元分布函數(shù)完全刻畫，Copula函數(shù)作為構(gòu)造多元分布函數(shù)的一種有效工具，在理論層面上，可作為一種比較理想的相關(guān)性分析方法，但在應(yīng)用層面上，可能會(huì)受到水文樣本容量的制約而產(chǎn)生較大的抽樣誤差，使計(jì)算結(jié)果失真。以二維Copula函數(shù)推求的同頻率設(shè)計(jì)值為例，分析抽樣誤差對(duì)設(shè)計(jì)值的影響，進(jìn)而分析Copula函數(shù)計(jì)算結(jié)果的可靠性。圖3給出了不同樣本容量N下，文獻(xiàn)［33］統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方案①在相關(guān)性系數(shù)ρ=0.3、聯(lián)合概率p=0.999（聯(lián)合重現(xiàn)期為千年一遇）、模擬次數(shù)m=1000時(shí)，Copula函數(shù)計(jì)算的同頻率設(shè)計(jì)值組合，可以看出，樣本容量越大，抽樣誤差越小，推求的設(shè)計(jì)值越接近于理論值。若推求的設(shè)計(jì)值相對(duì)誤差同時(shí)小于等于某一給定的許可誤差，則認(rèn)為該設(shè)計(jì)值組合結(jié)果可靠，相應(yīng)的可靠度即為圖中方框內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)與所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)的比值。

表1 不同樣本容量Copula函數(shù)計(jì)算結(jié)果的可靠性分析

表1列出了許可誤差分別為10%和20%時(shí)，不同樣本容量下Copula函數(shù)計(jì)算結(jié)果的可靠度。若許可誤差為10%，3種樣本容量對(duì)應(yīng)的可靠度都較低，N=100時(shí)可靠度也只有46.7%；若降低對(duì)許可誤差的要求，例如取許可誤差為20%，3種樣本容量對(duì)應(yīng)的可靠度均有較大程度提高，N=100時(shí)可靠度接近90%，即便如此，我國(guó)目前也很少有站點(diǎn)能滿足該樣本容量的要求。因此，即使Copula函數(shù)較其他多變量分析方法優(yōu)勢(shì)明顯［33］，但仍然難以擺脫樣本容量對(duì)它的制約。有限樣本容量下，利用大數(shù)據(jù)理論進(jìn)一步挖掘樣本數(shù)據(jù)隱含的有效信息，如外延性和相關(guān)性等特征，或許可以在一定程度上提高Copula函數(shù)計(jì)算結(jié)果的可靠性。實(shí)際應(yīng)用中，也可根據(jù)給定的可靠度和許可誤差，參考本例的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)確定滿足精度要求所需的最小樣本數(shù)。

3 假相關(guān)

假相關(guān)一般指兩個(gè)變量之間表現(xiàn)出的一種虛假的相關(guān)關(guān)系，而實(shí)際并不存在統(tǒng)計(jì)關(guān)系。假相關(guān)可分為兩類［34］，一類是隱假相關(guān)，是由于包含相同的變量造成的，也稱自身假相關(guān)，例如上下游年徑流、徑流量與輸沙率、降雨歷時(shí)與降雨強(qiáng)度等，它們之間由于包含了相同的元素而呈現(xiàn)出較強(qiáng)相關(guān)性，若利用它們之間的強(qiáng)相關(guān)性通過(guò)回歸分析間接插補(bǔ)展延區(qū)間年徑流、含沙量和降雨量等，則絲毫無(wú)助于計(jì)算精度的提高［35］，屬于典型的回歸分析方法的誤用?；貧w方程除了包含反映變量平均關(guān)系的確定項(xiàng)之外，還包含反映變量隨機(jī)性的誤差項(xiàng)，但該誤差也僅僅是當(dāng)前因變量的誤差，若利用當(dāng)前自變量、因變量的某種函數(shù)關(guān)系推算第3個(gè)變量，該誤差也將不可避免的傳遞給第3個(gè)變量。對(duì)于因變量而言，由于其和自變量的高度相關(guān)而使誤差項(xiàng)可以忽略，但該誤差傳遞到第3個(gè)變量時(shí)，由于變量的量級(jí)發(fā)生了變化，誤差的影響可能會(huì)占據(jù)主導(dǎo)地位，從而造成插補(bǔ)展延的失效。

第2類是顯假相關(guān)，包括點(diǎn)簇假相關(guān)、對(duì)數(shù)變換假相關(guān)和輾轉(zhuǎn)假相關(guān)等。對(duì)于點(diǎn)簇假相關(guān)，仍然是回歸分析技術(shù)的誤用，回歸分析的前提是樣本來(lái)自于同一個(gè)總體，而點(diǎn)簇分布的樣本顯然不是，因此會(huì)造成相關(guān)分析的失效。對(duì)數(shù)變換是否會(huì)造成假相關(guān)，不可一概而論，若變量間存在指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等非線性關(guān)系，經(jīng)對(duì)數(shù)變換后可轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，從而可以繼續(xù)使用線性回歸分析方法；而若利用對(duì)數(shù)變換將兩個(gè)不相關(guān)的變量處理成看似相關(guān)的變量，則會(huì)造成視覺(jué)上的錯(cuò)覺(jué)而誤用回歸分析。輾轉(zhuǎn)假相關(guān)則同第1類假相關(guān)類似，存在誤差的傳遞和累積，致使計(jì)算結(jié)果誤差過(guò)大而失效。

假相關(guān)是相關(guān)分析中出現(xiàn)的一種假象，它并非相關(guān)分析技術(shù)本身的問(wèn)題，而是誤用這種技術(shù)所引起的。為了避免誤用假相關(guān)，不宜對(duì)原始變量進(jìn)行任何數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換和運(yùn)算（指數(shù)和冪函數(shù)關(guān)系除外），而應(yīng)直接研究原始變量。

4 結(jié)語(yǔ)

水文變量常呈現(xiàn)非線性和非正態(tài)性，線性回歸和自回歸分析直接用于水文計(jì)算時(shí)會(huì)遇到理論障礙，Copula函數(shù)通過(guò)描述變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，理論上可以有效解決水文變量的非線性、非正態(tài)問(wèn)題，但在應(yīng)用層面上，可能會(huì)受到水文樣本容量的制約而使其計(jì)算結(jié)果失真，尤其是對(duì)于多維Copu?la函數(shù)更應(yīng)該慎用。R/S分析能夠表征時(shí)間序列的長(zhǎng)程相依性，如果任意時(shí)刻水庫(kù)的蓄水量與初始蓄水狀態(tài)有關(guān)，則可利用R/S分析法建立更為一般的水庫(kù)調(diào)洪演算隨機(jī)模型，借此分析水庫(kù)防洪風(fēng)險(xiǎn)。主成分分析通過(guò)對(duì)高維變量進(jìn)行空間降維，可以將洪水事件的多個(gè)特征變量轉(zhuǎn)換為少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的主成分，進(jìn)而得到反映洪水惡劣程度的綜合指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)洪水的綜合排序。

相關(guān)性分析是水文計(jì)算的一項(xiàng)重要內(nèi)容，幾乎涉及到水文計(jì)算的各個(gè)領(lǐng)域，除了上面列出的幾種方法外，還包括典型相關(guān)分析、灰關(guān)聯(lián)分析和協(xié)整理論等，由于這些方法在水文計(jì)算中運(yùn)用較少，本文不再贅述。此外，還有一些分析計(jì)算要盡量避免相關(guān)性，例如在水文模型的構(gòu)建中，參數(shù)間要盡量獨(dú)立，以減少模型的不確定性；在進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，多個(gè)目標(biāo)也要保證相互獨(dú)立，否則可能會(huì)對(duì)某個(gè)目標(biāo)多重加權(quán)，難以達(dá)到優(yōu)化的目的［36］。相關(guān)性分析的先決條件是變量間確實(shí)存有物理上的聯(lián)系，對(duì)物理意義上毫無(wú)干系卻表現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)關(guān)系的變量進(jìn)行相關(guān)性分析反而可能會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，在確保可以應(yīng)用相關(guān)性分析方法解決問(wèn)題時(shí)，還要明晰各種方法的適用條件和范圍，避免誤用和濫用這種技術(shù)。

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