李光 戴喜生

摘要：研究了SaintVenant方程組的CrankNicolson格式離散化并建立學(xué)習(xí)控制模型.首先給出了表示明渠流水流質(zhì)量和動(dòng)量守恒的SaintVenant方程組，并線性化；其次，采用CrankNicolson格式進(jìn)行離散，得到了無(wú)條件穩(wěn)定的離散化方程組；最后通過(guò)離散化后得到的狀態(tài)空間方程，建立了基于迭代學(xué)習(xí)控制的數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)進(jìn)一步研究算法的收斂性奠定了基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：SaintVenant方程；離散化；CrankNicolson格式，迭代學(xué)習(xí)控制

中圖分類(lèi)號(hào)：TP273文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.3969/j.issn.10036199.2017.01.002

1引言

現(xiàn)代渠道系統(tǒng)一般由明渠渠段構(gòu)成[1]，1871年圣·維南（Saint Venant）得到圣維南非恒定流偏微分方程（SaintVenant方程）奠定了明渠非恒定流的理論基礎(chǔ)，之后很長(zhǎng)時(shí)間雖很多學(xué)者試圖改進(jìn)SaintVenant方程（圣維南方程），許多專(zhuān)家學(xué)者仍多以圣維南方程組進(jìn)行渠道運(yùn)行自動(dòng)控制建模[2].圣維南方程組屬于一階擬線性雙曲型偏微分方程，目前為止還無(wú)法求得其精確解析解，在實(shí)際中對(duì)方程組的處理常采用數(shù)值解的方法將方程組進(jìn)行離散化，把微分方程連續(xù)的定解域離散到定解域中的一些網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)，得到一組代數(shù)方程[2-4].本文主要內(nèi)容是探究如何用CrankNicolson（CN）格式離散圣維南方程組，從而得到基于迭代學(xué)習(xí)控制的數(shù)學(xué)模型.圣維南方程組的離散方法有有限元法、有限差分法、特征線法等[2].有限差分法中的CN格式為顯式-隱式混合格式，結(jié)合顯式和隱式格式的優(yōu)點(diǎn)，具有無(wú)條件穩(wěn)定，精度高于相應(yīng)的顯式和隱式格式等特點(diǎn)[5].文獻(xiàn)[6]中對(duì)熱傳導(dǎo)方程的離散采用的是CN格式離散的方法.文獻(xiàn)[7]中作者分析了顯式、隱式和CN三種差分格式對(duì)土壤溫度日變化的模擬能力，對(duì)比結(jié)果表明CN方案比隱式方案計(jì)算誤差小，且絕對(duì)穩(wěn)定.文獻(xiàn)[8]中運(yùn)用CN格式方法對(duì)耦合非線性偏微分系統(tǒng)進(jìn)行了處理.還有一些文獻(xiàn)也用到了CN方案，如[9-10].雖然CN格式離散用于偏微分系統(tǒng)已多見(jiàn)報(bào)道，但CN格式在具有耦合特性的圣維南方程組渠道系統(tǒng)上的應(yīng)用尚未見(jiàn)報(bào)道.

明渠渠道系統(tǒng)的控制方法基于迭代學(xué)習(xí)控制.迭代學(xué)習(xí)控制適用于具有重復(fù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的被控系統(tǒng)，其目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)有限區(qū)間上的完全跟蹤.通過(guò)輸出信號(hào)與給定期望的偏差，修正不理想的控制信號(hào)進(jìn)行下一次迭代，直到對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行完全跟蹤[11].明渠渠道系統(tǒng)常用于農(nóng)田灌溉以及調(diào)水工程，其輸水過(guò)程呈現(xiàn)出時(shí)間上的周期性、過(guò)程上的重復(fù)性.例如一片農(nóng)田一年中某段時(shí)期每年的需水量大致是接近的，每年的需水量具有周期性.在農(nóng)田灌溉領(lǐng)域迭代學(xué)習(xí)控制已有應(yīng)用.文獻(xiàn)[12]基于迭代學(xué)習(xí)控制方法控制一個(gè)周期性的分布參數(shù)系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)中心支軸噴霧灌溉設(shè)備的控制，達(dá)到農(nóng)田的最優(yōu)灌溉.

綜上所述，本文采用CN格式對(duì)圣維南方程組進(jìn)行離散化，并建立基于迭代學(xué)習(xí)控制方法的渠道系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型.

2系統(tǒng)描述

文獻(xiàn)[13]考慮渠道上下游為常水位水庫(kù)的緩坡單渠渠道.節(jié)制閘門(mén)的開(kāi)啟會(huì)引起渠道水流流態(tài)變化，此時(shí)為漸變非恒定流用以水位Y（x，t）、流量Q（x，t）為變量的圣維南方程組來(lái)描述，水位和流量是關(guān)于空間和時(shí)間的變量.此方程是非線性雙曲型偏微分方程：

3學(xué)習(xí)控制建模

文獻(xiàn)[16]中，作者將熱流方程在時(shí)間上進(jìn)行前向差分，在空間上進(jìn)行有限差分，由此離散化后得到的方程形如（19a）式偏差分的矩陣形式，隨后對(duì)得到的線性方程組進(jìn)行迭代解，用數(shù)值解的方法進(jìn)行求解.本文對(duì)于C-N離散化后的渠道系統(tǒng)基于迭代學(xué)習(xí)控制方法進(jìn)行控制.現(xiàn)在假設(shè)用i表示N個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，閘門(mén)控制渠道水的流量，利用前一次操作時(shí)測(cè)得的流量和水深與期望流量和水深的誤差信息來(lái)修正閘門(mén)的下一次調(diào)控，如此反復(fù)調(diào)控閘門(mén)直到水渠水的流量與水深完全跟蹤上期望值.試驗(yàn)中研究的控制系統(tǒng)由于每次試驗(yàn)重復(fù)運(yùn)行時(shí)所表示的函數(shù)關(guān)系不變，是可重復(fù)的，因此我們用整數(shù)k表示每次試驗(yàn)重復(fù)操作的次數(shù)，其中k=0，1，2，3….

當(dāng)?shù)趉次試驗(yàn)滿(mǎn)足f（ek（i））<ε時(shí)，試驗(yàn)結(jié)束，當(dāng)不滿(mǎn)足這一條件時(shí)將繼續(xù)進(jìn)行第k+1次試驗(yàn).

5結(jié)論

本文首先對(duì)圣維南方程組的離散方法作了介紹，闡述了C-N格式離散圣維南方程組的優(yōu)點(diǎn).由于線性系統(tǒng)相比非線性系統(tǒng)更易于分析與設(shè)計(jì)，借用現(xiàn)有研究成果對(duì)非線性的圣維南方程組進(jìn)行了線性化；隨后，引入C-N格式，對(duì)線性化后的圣維南方程進(jìn)行離散化；接著，引入疊加向量，將與離散時(shí)間和空間有關(guān)的二維方程化為了只與離散時(shí)間有關(guān)的一維方程，得到了狀態(tài)空間方程；最后，對(duì)狀態(tài)空間方程進(jìn)行了迭代學(xué)習(xí)控制建模，為下一步算法的收斂性研究做鋪墊.

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