翁銘華

（閩江學(xué)院 物理學(xué)與電子信息工程系，福建 福州 350108）

利用BS方程研究由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)

翁銘華

（閩江學(xué)院 物理學(xué)與電子信息工程系，福建 福州 350108）

在重夸克極限下建立由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的BS方程并求解得到相應(yīng)的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的質(zhì)量.

BS方程；粲夸克；重夸克極限

近年來人們已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上尋找并發(fā)現(xiàn)含有兩個(gè)粲夸克的重子[1-4].隨著大型強(qiáng)子對撞機(jī)LHC的運(yùn)行，將進(jìn)行更高能量的對撞實(shí)驗(yàn)必將會給人們提供更多關(guān)于高能區(qū)域的新物理現(xiàn)象.我們將獲得更多的含有兩個(gè)粲夸克的重子的激發(fā)態(tài)的信息.由此，迫切需要對含有兩個(gè)粲夸克的重子的激發(fā)態(tài)的相關(guān)性質(zhì)的理論研究.

90年代初發(fā)展起來的重夸克有效理論是適用于重夸克質(zhì)量可看做趨于無窮大的體系[5,6].例如：由一重一輕兩個(gè)夸克構(gòu)成的介子體系，以及由一個(gè)重夸克和兩個(gè)輕夸克構(gòu)成的重子體系.對于由一重一輕兩個(gè)夸克構(gòu)成的介子體系，重夸克與輕夸克之間傳遞的能量小小于重夸克的質(zhì)量，從而對重夸克的動量沒有影響.對于由一個(gè)重夸克和兩個(gè)輕夸克構(gòu)成的重子，兩個(gè)輕夸克可以看作一個(gè)整體，即先構(gòu)成輕的雙夸克，再與重夸克相互作用形成重子.由于重夸克的質(zhì)量相對于重輕體系之間傳遞的能量來說可視為無窮大，所以重夸克的速度可以看作是恒定的.由一重一輕兩個(gè)夸克構(gòu)成的介子體系，以及由一個(gè)重夸克和兩個(gè)輕夸克構(gòu)成的重子體系，重夸克與輕的部分的相互作用與重夸克的自旋和質(zhì)量無關(guān).重夸克有效理論所具有的重夸克的對稱性，是重夸克極限下的新的對稱性，適用于研究一些非微擾的現(xiàn)象.

在重夸克有效理論的框架下，由兩個(gè)粲夸克與一個(gè)輕夸克構(gòu)成的重子可以看做由兩個(gè)部分組成：由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的重的雙夸克和一個(gè)輕夸克[7].我們可以想象，由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的重的雙夸克由于質(zhì)量非常大，那么對應(yīng)的雙夸克的半徑就很小，可以近似于點(diǎn)粒子考慮.這也是為何我們采用由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的重的雙夸克模型而不是由一重一輕兩個(gè)夸克構(gòu)成的雙夸克模型.且在重夸克極限下，由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的重的雙夸克帶有顏色，并且具有味道和自旋的對稱性.如需做更進(jìn)一步的研究可以將兩種情況的雙夸克模型同時(shí)考慮進(jìn)來，這將是下一步的工作.在重夸克有效理論的框架下，我們采用了由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克圖像，關(guān)于由兩個(gè)粲夸克與一個(gè)輕夸克構(gòu)成的重子的復(fù)雜的三體問題就被簡化為二體問題，在理論處理上帶來極大的便利.

Bethe-Salpeter(BS)方程是在相對論情況下用于描述兩粒子束縛態(tài)的方程，在非相對論極限下可轉(zhuǎn)化為薛定諤方程.采用BS方程研究粒子體系，可以將相對論效應(yīng)的貢獻(xiàn)考慮進(jìn)來，這一點(diǎn)BS方程優(yōu)于薛定諤方程.但是，BS方程的求解要比薛定諤方程復(fù)雜許多.于是通常在建立BS方程的過程中，采用各種各樣的方法以簡化求解，如wick轉(zhuǎn)動等.在我們的模型中，我們采用重夸克極限的近似.由于粲夸克的質(zhì)量相對于輕夸克是非常大的，所以將粲夸克質(zhì)量看做無窮大是合理的.在此近似下，重夸克的傳播子的形式可以得到簡化.同時(shí)，我們對BS方程的相互作用核采用了瞬時(shí)近似.在瞬時(shí)近似下，兩個(gè)粲夸克之間傳遞的四動量被簡化為三動量，忽略了能量傳遞的部分.由于粲夸克的質(zhì)量非常大，可以認(rèn)為大大于他們之間傳遞的能量，所以瞬時(shí)近似在研究兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克系統(tǒng)是合理的.

由泡利不相容原理，兩個(gè)粲夸克為味道相同的夸克，構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的總的自旋角動量量子數(shù)與總的軌道角動量量子數(shù)之和必須為奇數(shù).于是，由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的總的軌道角動量量子數(shù)1，總的自旋角動量量子數(shù)只能為0，構(gòu)成總的角動量量子數(shù)為1[8].由此可以定義兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的BS波函數(shù)如下：

其中ψ為粲夸克波函數(shù)，x1,x2為空間坐標(biāo)，i,j,k為顏色指標(biāo)，α,β為自旋指標(biāo),PD為雙夸克的動量,p為兩個(gè)粲夸克之間的相對動量，X=(x1+x2)/2為雙夸克的質(zhì)心坐標(biāo)，x=x1-x2為兩個(gè)夸克之間的相對坐標(biāo).方程(1)分別給出了由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的BS波函數(shù)在坐標(biāo)空間和動量空間的定義以及兩者之間的傅里葉變換關(guān)系.在實(shí)際求解過程中，大多采用的是BS波函數(shù)在動量空間的定義式.我們之后的計(jì)算均在動量空間進(jìn)行.

對于由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)，BS方程在動量空間的表達(dá)式可寫為如下形式：

其中S(p1)和S(p2)分別兩個(gè)粲夸克的傳播子，將采用重夸克極限下的形式，K(1g)和K(cf)為兩個(gè)粲夸克之間的相互作用核中的單膠子交換項(xiàng)和標(biāo)量禁閉項(xiàng)，將采用瞬時(shí)近似.兩個(gè)粲夸克之間的相互作用核的形式來源于由一個(gè)重夸克和一個(gè)輕夸克構(gòu)成的介子體系的勢模型.雖然這是非相對論的勢模型，但是由于我們采用的是BS方程的方法研究體系，所以得到的結(jié)果包含部分的相對論效應(yīng).且單膠子交換和標(biāo)量禁閉這兩種相互作用已成功的應(yīng)用于由一個(gè)重夸克和一個(gè)輕夸克構(gòu)成的介子體系.

兩個(gè)粲夸克之間的相互作用核中的單膠子交換項(xiàng)和標(biāo)量禁閉項(xiàng)K(1g)和K(cf)在瞬時(shí)近似下可以分別寫為如下形式[9]：

其中αs和k分別為單膠子交換項(xiàng)和標(biāo)量禁閉項(xiàng)的耦合常數(shù)，pt為兩個(gè)粲夸克之間的相對動量沿雙夸克動量PD投影的橫向分量，K(cf)中的第二項(xiàng)是為了消除紅外奇點(diǎn)而引入，μ為無窮小量為了消除數(shù)值計(jì)算出現(xiàn)的發(fā)散而引入.由于采用了瞬時(shí)近似，相互作用核中的兩個(gè)粲夸克之間的相對動量沿雙夸克動量PD投影的縱向分量，即兩個(gè)粲夸克之間傳遞的能量已經(jīng)被忽略，這將使得BS方程從四維化簡為三維.

兩個(gè)粲夸克的傳播子S(p1)和S(p2)在重夸克極限下可以分別寫為如下形式：

其中mc為粲夸克的質(zhì)量，mD為兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的質(zhì)量，vD=vDμγμ為兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的速度與γ矩陣的點(diǎn)積，，pl為兩個(gè)粲夸克之間的相對動量沿雙夸克動量PD投影的縱向分量，ε為無窮小量為消除數(shù)值計(jì)算中出現(xiàn)的發(fā)散而引入.

另一方面，由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的BS波函數(shù)由洛倫茲變換性質(zhì)考慮應(yīng)為軸矢量.于是由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的BS波函數(shù)的參數(shù)化形式可以按照軸矢量的洛倫茲形式展開.同時(shí)考慮到在重夸克極限下，由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的BS方程將對BS波函數(shù)提供附加的約束條件.經(jīng)過計(jì)算，由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的BS波函數(shù)可化簡為如下參數(shù)化形式：

將方程(3-7)代入方程(2)可得到：

將方程(8)離散化，可以得到關(guān)于f～(pt)的本征方程.從實(shí)驗(yàn)選取三個(gè)輸入?yún)?shù)：粲夸克質(zhì)量mc=1.486GeV，來自重夸克偶素的擬合[10];粲夸克之間的相互作用核的參數(shù)αs=0.4，k=0.18，來源于重介子譜的實(shí)驗(yàn)[11].利用逆迭代法求解方程(8)得到由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的質(zhì)量mD=3.68GeV.

為了研究由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)，構(gòu)建了由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的BS方程并求解出相應(yīng)的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的質(zhì)量.兩個(gè)粲夸克之間的相互作用核采用單膠子交換和標(biāo)量禁閉兩種類型，此相互作用核的形式已被成功應(yīng)用于由一個(gè)重夸克和一個(gè)輕夸克構(gòu)成的介子系統(tǒng)的研究.BS方程最初是在閔氏時(shí)空建立的，但是這給求解方程帶來很大的困難.我們對粲夸克傳播子采用重夸克極限的近似并在相互作用核中采用瞬時(shí)近似，使得方程的求解簡化.因?yàn)轸涌淇速|(zhì)量很大，所以采用重夸克極限近似是合理的.因?yàn)閮蓚€(gè)粲夸克之間交換的能量相對于粲夸克質(zhì)量來說非常小，所以我們所用的瞬時(shí)近似是合理的.通過求解離散化之后的BS方程，得到由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的第一激發(fā)態(tài)的質(zhì)量為3.68GeV.

B工廠預(yù)期會得到一萬個(gè)關(guān)于含兩個(gè)粲夸克的重重子的事件.預(yù)期LHC會得到更多關(guān)于含兩個(gè)粲夸克的重重子的事件.含兩個(gè)粲夸克的重重子在重夸克極限以及雙夸克圖像下，可以看作是由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克與一個(gè)輕夸克相互作用形成.因此我們的結(jié)果將對研究含兩個(gè)粲夸克的重重子的性質(zhì)有重要意義.下一步的工作將研究由兩個(gè)粲夸克構(gòu)成的雙夸克的高階激發(fā)態(tài)的性質(zhì).

〔1〕M.Mattsonet al.(SELEX Collaboration),Phys.Rev.Lett.89,112001(2002).

〔2〕A.Ocherashviliet al.(SELEX Collaboration), Phys.Lett.B 628,18(2005).

〔3〕R.Chistovetal.(Belle Collaboration),Phys.Rev.Lett.97,162001(2006).

〔4〕B.Aubertet al.(BABAR Collaboration),Phys.Rev.D74,011103(2006).

〔5〕M.J.White and M.J.Savage,Phys.Lett.B271, 410(1991).

〔6〕M.A.Sanchis-Lozano,Nucl.Phys.B271,440 (1995).

〔7〕M.Anselmino,P.Kroll,and B.Pire,Z.Phys.C36,89(1987).

〔8〕S.S.Gershtein,V.V.Kiselev,A.K.Likhoded, and A.I.Onishchenko, Phys.Rev.D62, 054021(2000).

〔9〕C.-H.Chang,J.-K.Chen,and G.-L.Wang, Commun.Theor.Phys.44,646(2005).

〔10〕S.S.Gershtein,V.V.Kiselev,A.K.Likhoded, and A.I.Onishchenko,Phys.Rev.D62, 054021(2000).

〔11〕E.Eichten,K.Gottfried,T.Kinoshita,K.D.Lane,and T.-M.Yan,Phys.Rev.D17, 3090(1978).

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1673-260X（2017）04-0013-03

2017-01-04

國家自然科學(xué)基金:1復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的競爭性傳播過程研究（11547254），2與大亞灣核反應(yīng)堆中微子實(shí)驗(yàn)相關(guān)的理論研究（11175020）