陳恒大, 鄔曉光, 王希財

(1. 長安大學(xué) 橋梁與隧道陜西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710064; 2. 山東公路設(shè)計(jì)咨詢有限公司, 山東 濟(jì)南 250102)

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多塔斜拉橋豎彎基頻估算實(shí)用公式

陳恒大1, 鄔曉光1, 王希財2

(1. 長安大學(xué) 橋梁與隧道陜西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710064; 2. 山東公路設(shè)計(jì)咨詢有限公司, 山東 濟(jì)南 250102)

為方便快速計(jì)算多塔斜拉橋的豎向自振頻率,有效解決多塔斜拉橋概念設(shè)計(jì)階段有限元軟件模擬的工作量較大的問題,基于最簡單的多塔斜拉橋形式----三塔斜拉橋,應(yīng)用Rayleigh法,求得了主梁豎向自由振動的振型函數(shù)和主塔縱向自由振動的振型函數(shù),推導(dǎo)了三塔斜拉橋豎彎振動頻率公式,并通過與規(guī)范解及有限元解的對比,驗(yàn)證了該公式的可行性.研究結(jié)果表明,給出的能量法得到的豎彎基頻計(jì)算值與有限元值誤差比規(guī)范解與有限元值誤差小.則認(rèn)為本文公式能滿足斜拉橋概念設(shè)計(jì)階段的要求,且該公式適用于三塔斜拉橋的振動基頻快速估算.

橋梁工程; 三塔斜拉橋; 豎彎頻率; 估算; 實(shí)用公式

隨著跨海大橋的興起與橋梁結(jié)構(gòu)形式的多樣化,三塔斜拉橋應(yīng)運(yùn)而生,在三塔斜拉橋設(shè)計(jì)過程中,需要快速了解結(jié)構(gòu)動力特性及掌握橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對動力特性的影響,而有限元模型的建立又需要耗費(fèi)大量的時間,實(shí)用估算公式的提出就會大大的提高設(shè)計(jì)效率,也可以作為有限元模型結(jié)果正確性的依據(jù).因此,建立滿足工程精度要求的振動基頻簡化計(jì)算公式具有較大的應(yīng)用價值.國內(nèi)外有關(guān)學(xué)者對獨(dú)塔或雙塔斜拉橋在概念設(shè)計(jì)階段的動力特性估算已經(jīng)開展了研究[1-4].《公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)規(guī)范》中的雙塔斜拉橋的基頻估算公式是以雙塔漂浮體系為基礎(chǔ),找出影響斜拉橋振動特性的主要設(shè)計(jì)參數(shù),根據(jù)現(xiàn)有斜拉橋振動特性資料進(jìn)行回歸分析或者曲線擬合,由于統(tǒng)計(jì)樣本在數(shù)量及規(guī)格上的不足,大跨度、超大跨度斜拉橋估算頻率值與真實(shí)頻率值存在較大差異[5-8];李國豪將斜拉橋看作一種在縱向稍作浮動的彈性支承連續(xù)梁,提出單質(zhì)點(diǎn)振子模型估算漂浮體系斜拉橋的1階頻率,需要將橋面質(zhì)量及塔架自重等效換算后堆聚塔頂存在誤差較大的問題[9];袁萬城等針對文獻(xiàn)[9]單質(zhì)點(diǎn)模型計(jì)算精度不足的缺陷,采用分開考慮主塔、主梁的雙質(zhì)點(diǎn)振動模型,提高了漂浮體系斜拉橋基本周期的估算精度[10];張楊永根據(jù)主塔塔頂?shù)目雇苿偠扰c主梁的等效擺動剛度的差異,對文獻(xiàn)[10]提出的估算公式進(jìn)行修正[11];文獻(xiàn)[12]將漂浮體系斜拉橋比擬為多跨連續(xù)彈性地基梁,利用Rayleigh法給出了漂浮體系斜拉橋1階豎彎頻率近似計(jì)算公式;文獻(xiàn)[13]同樣是將斜拉橋簡化成多跨連續(xù)彈性地基梁模型,并對其進(jìn)行修正;文獻(xiàn)[14]考慮了斜拉橋主塔偏位對豎彎基頻的影響,對文獻(xiàn)[12-13]提出的估算公式進(jìn)行完善和修正;申林、鞠小華等采用Rayleigh法分別推導(dǎo)了半漂浮體系斜拉橋和單跨懸索橋的近似豎彎基頻表達(dá)式[15-16];文獻(xiàn)[17-21]采用Rayleigh法針對多塔懸索橋的豎彎振動頻率進(jìn)行了推導(dǎo),并提出了精度較高的修正公式.綜上所述,獨(dú)塔和雙塔漂浮體系的斜拉橋已有相關(guān)的豎彎基頻近似計(jì)算公式,相比傳統(tǒng)獨(dú)塔或雙塔斜拉橋,三塔斜拉橋的中間塔兩側(cè)既沒有輔助墩和過渡墩又沒有端錨索,缺少了對主梁和索塔剛度的有效幫助,使已經(jīng)是柔性結(jié)構(gòu)的斜拉橋柔性更大,且在諸多文獻(xiàn)中均未對三塔斜拉橋的豎彎基頻近似計(jì)算公式有相關(guān)的討論,對該結(jié)構(gòu)的豎彎基頻還停留在定性認(rèn)識的基礎(chǔ)上,對其定量計(jì)算公式上基本處于盲區(qū).為此本文對三塔斜拉橋的振動基頻進(jìn)行研究,采用Rayleigh法推導(dǎo)其豎彎基頻估算實(shí)用公式可供初步概念設(shè)計(jì).

1 基于Rayleigh法計(jì)算振動頻率

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行固有振動時,如果不考慮阻尼力消耗能量,其動能和勢能會反復(fù)交換,對于保守系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)總能量是守恒的.可知,頻率ωb的近似公式為

(1)

式中:ωb為與此對應(yīng)的頻率;EI(x)為彎曲剛度;m(x)為質(zhì)量分布值;φ(x)為滿足橋梁位移邊界條件的近似振型函數(shù).

為方便表述,對下文中的符號作如下說明:EGIG,ETIT為主梁、主塔的抗彎剛度;η,ξ,ηci為主梁、主塔及拉索的振型函數(shù);mG,mT,mci為主梁、主塔及拉索的線均布質(zhì)量;Eci,Aci為拉索的彈性模量及截面面積;αci,Lci為拉索的水平傾角及長度.

1.1 結(jié)構(gòu)體系的勢能

斜拉體系在鉛垂平面內(nèi)發(fā)生一階豎向振動時,其勢能為主梁、主塔(中間主塔及邊塔)和拉索勢能之和.

主梁的勢能為

(2)

主塔的勢能為

(3)

圖1 拉索與主梁的變形協(xié)調(diào)

Fig.1 Deformation compatibility of cable and main girder

拉索的勢能為

(4)

(5)

于是,整個斜拉體系的勢能為

(6)

1.2 結(jié)構(gòu)體系的動能

斜拉體系在鉛垂平面內(nèi)發(fā)生一階豎向振動時,其動能為主梁、斜拉索和主塔動能之和.

主梁的動能為

(7)

斜拉索的動能為

(8)

主塔的動能為

(9)

則整個斜拉體系的動能為

(10)

1.3 斜拉體系的豎彎基頻

將式(6)、式(10)代入式(1),可得到斜拉體系的豎向振動頻率的計(jì)算公式為

(11)

李國豪在文獻(xiàn)[9]中指出,在結(jié)構(gòu)的勢能中,拉索的勢能是主要的,主梁、主塔及拉索的二次能是次要的,可以忽略不計(jì).結(jié)構(gòu)動能中,主梁的動能是主要的,拉索、主塔的動能是次要的,亦可以忽略.于是可得該結(jié)構(gòu)的豎彎頻率理論近似公式:

(12)

由式(12)可知,基頻ωb僅與結(jié)構(gòu)的計(jì)算參數(shù)Eci,Aci,MG和振型函數(shù)η(z,t)有關(guān),與其他因素?zé)o關(guān).求解三塔斜拉橋的振動基頻,獲得其基本振型函數(shù)η(z,t)是前提.

2 三塔斜拉橋豎彎基本振型

根據(jù)文獻(xiàn)[3]及三塔斜拉橋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),可得到其1階反對稱和正對稱的豎彎振型,如圖2、圖3所示.

圖2 1階反對稱豎彎振型

圖3 1階正對稱豎彎振型

由圖2、圖3分析可知,其振型函數(shù)η(x,t)與四跨連續(xù)梁豎向自由振動的振型函數(shù)η(x,t)類似.由于拉索和主梁滿足變形協(xié)調(diào)條件,故只需確定滿足邊界條件的主梁的振型函數(shù)η(x,t)即可.由此,只要找到能滿足其豎向自由振動的振型函數(shù)η(x,t),即可計(jì)算出三塔斜拉橋的1階豎彎振動頻率ωb,具體推導(dǎo)如下文.

3 一階反對稱豎向彎曲頻率計(jì)算公式

主梁一階反對稱的振型關(guān)于中間支座反對稱,如圖4所示.

圖4 主梁1階反對稱豎彎振型

對于滿足1階反對稱豎彎自由振動,設(shè)其滿足邊界條件的主梁振型函數(shù)為

第1跨主梁振型曲線可表示為

(13)

第2跨主梁振型曲線可表示為

(14)

第3跨主梁振型曲線可表示為

(15)

第4跨主梁振型曲線可表示為

(16)

由于主梁振型曲線在各橋塔處是連續(xù)的,即滿足變形協(xié)調(diào)條件,可得:

即:

(17)

于是可得:

(18)

(19)

將式(18)和式(19)代入式(12)可得:

(20)

4 一階正對稱豎向彎曲頻率計(jì)算公式

主梁一階正對稱的振型關(guān)于中間支座對稱,如圖5所示.

對于滿足1階正對稱豎彎自由振動,設(shè)其滿足邊界條件的主梁振型函數(shù)為:

圖5 主梁1階正對稱豎彎振型

第1跨主梁振型曲線可表示為

(21)

第2跨主梁振型曲線可表示為

(22)

第3跨主梁振型曲線可表示為

(23)

第4跨主梁振型曲線可表示為

(24)

由于主梁振型曲線在各橋塔處是連續(xù)的,即滿足變形協(xié)調(diào)條件,可得:

經(jīng)簡化可得:

即

(25)

于是,可得:

(26)

(27)

將式(26)和式(27)代入式(12)可得:

(28)

5 算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證文中解與有限元解的計(jì)算精度,下面選取洞庭湖大橋、臺北淡水河橋及濟(jì)南建邦黃河大橋3座三塔斜拉橋?qū)ι鲜龉郊右则?yàn)證,其中算例1、算例2和算例3的主梁截面形式均為π形截面,且皆無輔助墩,實(shí)橋結(jié)構(gòu)計(jì)算參數(shù)如表1所示.

表1 實(shí)橋結(jié)構(gòu)計(jì)算參數(shù)

表2 實(shí)橋一階豎彎基頻頻率對比

根據(jù)表1、表2計(jì)算的數(shù)據(jù)分析可知,本文推導(dǎo)的豎彎基頻能量表達(dá)式與有限元數(shù)值結(jié)果誤差1最大為5.87%,而規(guī)范解與有限元解之間的誤差2最大為19.67%,誤差大小皆能滿足概念設(shè)計(jì)階段的要求;一階反對稱的估算值與有限元值之間的誤差比一階正對稱的估算值與有限元值之間的誤差相對要大,原因在于其振型函數(shù)更趨近于簡支固端梁的振型函數(shù);本文推導(dǎo)的豎彎基頻能量表達(dá)式僅適用于塔梁固結(jié)、墩支承的三塔斜拉橋的豎彎頻率估算,不適用于其他斜拉體系的豎彎頻率估算.

6 結(jié) 論

(1) 主梁的支承條件對斜拉橋豎彎頻率的影響較大,計(jì)算頻率時不可忽視支承條件,應(yīng)充分考慮.

(2) 三塔斜拉橋振動基頻與拉索的彈性模量及截面面積有關(guān),與拉索截面形式無關(guān).

(3) 通過假設(shè)主梁的基本振型函數(shù),推導(dǎo)了其一階豎彎正對稱和反對稱的能量表達(dá)式,其結(jié)果與有限元數(shù)值結(jié)果吻合較好,可以適用于三塔斜拉橋豎彎頻率初步概念設(shè)計(jì)階段的估算中.

(4) 本文豎彎頻率實(shí)用計(jì)算公式適用于三塔斜拉體系,對其他體系斜拉橋應(yīng)另做專門研究,《公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)規(guī)范》中的斜拉結(jié)構(gòu)的豎向彎曲的基頻估算公式不適用于塔梁固結(jié)、墩支承的三塔斜拉體系的豎彎頻率的估算.

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【責(zé)任編輯: 趙 炬】

Estimation Practical Vertical Bending Fundamental Frequency Formula for Vibration of Cable-Stayed Bridges with Three Towers

ChenHengda1,WuXiaoguang1,WangXicai2

(1. Key Laboratory for Bridge and Tunnel of Shaanxi Province, Chang’an University, Xi’an 710064, China; 2. Shandong Highway Design Consulting Co., Ltd., Jinan 250102, China)

In order to calculate fundamental frequency of the cable-stayed bridges with multi-tower conveniently, effectively solving the problem of the large simulation workload in conceptual design phase of multi-tower cable-stayed bridge by finite element software, based on the simplest multi-tower cable-stayed bridge, three-tower cable-stayed bridge, using the Rayleigh method, the vibration mode function of vertical free vibration of main girder and the free vibration mode of main tower are obtained, the formula of vertical bending vibration frequency of three-tower cable-stayed bridge is deduced, and the feasibility of the formula is verified by comparison with normal solution and finite element solution. The results show that the fundamental frequency calculated by the recommended method has a smaller error compared with the finite element method (FEM) result, which meets with the requirement of conceptive design. The presented theoretical formula could be applied to estimate frequency for vibration of cable-stayed bridges with three towers.

bridge engineering; cable-stayed bridges with inclined three towers; vertical bending fundamental frequency; estimation; practical formula

2016-11-24

陜西省交通運(yùn)輸廳科技資助項(xiàng)目(13-25k); 中國電力建設(shè)股份有限公司科技專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2014-38).

陳恒大(1989-),男,山東滕州人,長安大學(xué)博士研究生; 鄔曉光(1961-),男,湖北黃岡人,長安大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師.

2095-5456(2017)02-0146-07

448.27

A