地里木拉提·玉買江，吐爾洪江·阿布都克力木，黃允滸，古麗米熱·米吉提

（新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830054）

三聯(lián)體類半帶濾波器組的設(shè)計(jì)方法

地里木拉提·玉買江，吐爾洪江·阿布都克力木，黃允滸，古麗米熱·米吉提

（新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830054）

文中提出了一種由3個(gè)內(nèi)核所定義的三聯(lián)體類半帶濾波器組的設(shè)計(jì)方法。采用了Lagrange半帶濾波器組和Remez算法，具體地給出了分解濾波器的設(shè)計(jì)和重構(gòu)濾波器的設(shè)計(jì)。帶參數(shù)的Bernstein多項(xiàng)式用于構(gòu)造內(nèi)核。該濾波器組結(jié)構(gòu)有完全重構(gòu)，正則性等優(yōu)點(diǎn)。確定Bernstein多項(xiàng)式的自由參數(shù)是利用最小二乘法得到。采用了兩個(gè)實(shí)例，對實(shí)例進(jìn)行了具體對比和分析。得出了這種設(shè)計(jì)方法很靈活，比較容易設(shè)計(jì)出不同性能的濾波器組。

FIR數(shù)字濾波器；半帶濾波器組；三聯(lián)體類；小波變換

離散小波變換在需要分解信號方面廣泛應(yīng)用，例如壓縮，去噪，印刷等。在提供時(shí)-頻分析方面，離散小波變換克服了傳統(tǒng)傅里葉變換中的一些限制，而時(shí)-頻分析是處理非穩(wěn)定性信號所需要的[1-2]。設(shè)計(jì)小波濾波器相當(dāng)于設(shè)計(jì)多重速率的完全重構(gòu)濾波器組。傳統(tǒng)濾波器和小波濾波器的主要區(qū)別在于在后一種情況下的正則性。正則性是混疊頻率上實(shí)施零后所得到[3]。

結(jié)構(gòu)上完全重構(gòu)和正則性問題限制了濾波器系數(shù)，復(fù)雜了設(shè)計(jì)過程。設(shè)計(jì)過程相當(dāng)于優(yōu)化濾波器系數(shù)，它易受結(jié)構(gòu)上完全重構(gòu)和正則性的限制。這些限制如果直接用于實(shí)際問題上，將復(fù)雜設(shè)計(jì)過程并復(fù)雜優(yōu)化。利用濾波器組結(jié)構(gòu)替換直接法將會滿足限制條件[4-5]。

文中提出一種結(jié)構(gòu)上完全重構(gòu)并利用三個(gè)半帶的濾波器組。這有設(shè)計(jì)簡單、充實(shí)造型，并且克服半帶濾波器組的限制，這種濾波器組稱為三聯(lián)體半帶濾波器組。下面的兩個(gè)方法將用于設(shè)計(jì)三聯(lián)體的半帶濾波器組。第一個(gè)方法是利用Lagrange半帶濾波器組，過濾器被最大化，轉(zhuǎn)出低的流利度。第二個(gè)方法利用Remez算法[6]，結(jié)果會出現(xiàn)清晰的但沒有正則性的等波濾波器。上述兩種方法是濾波器組的兩極端的特點(diǎn)。在本論文中，設(shè)計(jì)三聯(lián)體半帶濾波器組對上面所述的兩種情況的巨大差距起一個(gè)橋梁作用。濾波器的正則性是利用帶參數(shù)的Bernstein多項(xiàng)式提高清晰度來替換的。這個(gè)技術(shù)根據(jù)最小二乘法來實(shí)現(xiàn)的。迭代過程是用于解決最小二乘法問題。

1 三聯(lián)體半帶濾波器組和Bernstein多項(xiàng)式

本節(jié)所提的濾波器組是三聯(lián)體類濾波器組。低通濾波器由以下等式得到

其中z0，z1，z2是從半帶濾波器中獲得，也就是1/2（1+Z0（z），1/2（1+Z1（z））和 1/2（1+Z2（z））是半帶濾波器組。值得注意，式（1）和（2）提供了濾波器的零相位。

高通濾波器由以下式子得到

其中參數(shù)λ的范圍在0≤λ≤1，當(dāng)λ=0時(shí)，三聯(lián)體類濾波器組會限制半帶對濾波器組，半帶對濾波器組有些限制其作為分析低通濾波器的頻率響應(yīng)將限制半帶過濾器。分解和重構(gòu)低通濾波器的頻率響應(yīng)的幅度在處ω=π/2，半帶對濾波器組限制在0.5和1之間。然而對于三聯(lián)體類濾波器組，當(dāng)頻率響應(yīng)的幅度在ω=π/2可以選擇任何一個(gè)適當(dāng)?shù)摩酥怠Ｌ貏e地當(dāng)兩個(gè)分解和重構(gòu)低通濾波器組的頻率響應(yīng)的幅度在ω=π/2處是

值得注意，適當(dāng)?shù)闹孛麉?shù)，上面的濾波器相當(dāng)于文獻(xiàn)[7]中的正交鏡像濾波器。在文獻(xiàn)[7]中所用的濾波器是與文獻(xiàn)[4]中所用的濾波器是不同的。正交鏡像濾波器大量用于Mallat算法[8]。

在本文中，設(shè)計(jì)內(nèi)核利用帶參數(shù)的Bernstein多項(xiàng)式[9]，即

其中當(dāng)N是奇數(shù)時(shí)，α=[α0，α1…，α（N-1）/2]T，并且

通過半帶濾波器的Z變換，傳遞函數(shù)得到的x≡-（1/4）z（1-z-1）2將代入到式（4）中，內(nèi)核由以下等式給出

值得注意改變多種Bernstein多項(xiàng)式，自然地給濾波函數(shù)零相位和三聯(lián)體類濾波器組的零相位。式（1）和式（2）都在這里使用。結(jié)果濾波器H0和F0的長度分別是

2 自適應(yīng)參數(shù)最小二乘法的設(shè)計(jì)

BN0代入式（6）中，BN1

代入式（7）中，BN2代入式（8）中分別用B0（x），B1（x）和B2（x）表示，那么B0（x），B1（x）和B2（x）分別等于

2.1 分解濾波器H0的設(shè)計(jì)

利用以上等式，可以看出濾波器（1）可以表示為如下兩個(gè)形式：

從這可以看出H0是帶參數(shù)的多重線性函數(shù)。特別是H0對α線性的（當(dāng)β固定時(shí)）和對β線性的（當(dāng)α固定時(shí)）。值得注意的是α，β可以同時(shí)不同，但H0是對自由參數(shù)α和β時(shí)不會是線性的。

2.2 重構(gòu)濾波器F0的設(shè)計(jì)

利用式（9）-（11）可以看出（12）式中的濾波器為

其中

從式（14）中可以看出F0對參數(shù)啄是線性，參數(shù)α，β從分解濾波器的設(shè)計(jì)中得到。

3 設(shè)計(jì)實(shí)例

例1：N0=N1=7，N2=5。濾波器H0和F0的長度各自分別為29和39。選擇L0=L1=L2=2，（α0=α1=α2=β0=β1=β2=啄0=啄1=啄2=0）且兩個(gè)濾波器都六級正則性，也就是每個(gè)濾波器在 z=-1處六重零優(yōu)化 cp=0.4（ωp=0.436π），cs=0.8（ωs=0.705π），γ=0.5。優(yōu)化的自由參數(shù)值為α3=-0.044 06，β3=-0.494 8，因此，α=（α0α1α2α3）=（0 0 0-0.044 06），β=（β0β1β2β3）=（0 0 0-0.49 48）。

在圖1中給出了濾波器組的頻率響應(yīng)圖和所有參數(shù)為0時(shí)最大的響應(yīng)圖和利用雷米交換算法設(shè)計(jì)一對等波紋。等波紋的阻帶波紋的大小是和最小二乘法優(yōu)化濾波器的波紋大小是相同。通過對波紋的最大化，我們很容易看到對例題所對應(yīng)圖的清晰度增加了。等波紋明顯的出來，但z=-1處沒有零，也就是在ω=π附近低消弱。

例2：N0=N1=7，N2=5。濾波器H0和F0的長度各自分別為29和39。選擇L0=L1=L2=1（α0=α1=β0=β1=0）和L2=2（γ0=γ1=γ2=0）并且兩個(gè)濾波器都四級正則性也就是每個(gè)濾波器在z=-1處四重零優(yōu)化cp=0.4，cs=0.8，γ=0.5。

優(yōu)化的自由參數(shù)值為α=（α0α1α2α3）=（0 0-0.6203 -0.2523），

濾波器組的頻率響應(yīng)圖在圖2中給出，同時(shí)表明通過阻止正則性提高銳度。

圖3畫出了尺度函數(shù)和小波函數(shù)的圖像。

圖1 例1中H0，H1的頻率響應(yīng)圖

圖2 例2中H0，H1的頻率響應(yīng)圖

圖3 尺度函數(shù)（t）和小波函數(shù)ψ（t）

4 結(jié) 論

文中給出了雙正交濾波器組的設(shè)計(jì)方法。我們使用了三聯(lián)體的半帶濾波器組和Bernstein多項(xiàng)式，并且確認(rèn)在結(jié)果上施加完全重構(gòu)和約束條件。濾波器傳送函數(shù)是一個(gè)帶自有參數(shù)的多重線性函數(shù)并產(chǎn)

生重復(fù)二次目標(biāo)函數(shù)。迭代過程是為了處理最小乘方問題。多種設(shè)計(jì)實(shí)例的給出為了顯示設(shè)計(jì)技術(shù)的有效性和靈活性。濾波器的正則性容易替換增加頻率響應(yīng)的清晰度轉(zhuǎn)出。光滑的對稱拓展和小波函數(shù)容易得到。值得注意，不可分的二維濾波器組可以轉(zhuǎn)換成一維的濾波器組。

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A novel approach to design the class of triplet halfband filterbanks

Dilmurat·OMAR，Turghunjan·ABDUKIRIM，HUANG Yun-hu，Gulmira·MIJIT
（School of Mathematical Sciences，Xinjiang Normal University，Urumqi 830054，China）

A new approach to is presented for designing the class of triplet halfband filter bank which are defined by three kernels.Adopted Lagrange half band filters and Remez algorithm which are specific given analysis filterbank and decomposition filterbank.The parametric Bernstein polynomial is used to construct the kernels.The design of the free parameters of the Bernstein polynomial is achieved through a least squares method.The filterbank have the advantage of structural perfect reconstruction and structural regularity.Using two examples to concretely comparison and analysis.The design technique is flexible in that allows filter with different characteristic to be design with ease.

FIR digital filters；halfband filters；triplet；wavelet transform

TN713.4

A

1674-6236（2017）09-0010-04

2016-07-05稿件編號：201607034

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11261061；61362039；10661010）；新疆維吾爾自治區(qū)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（200721104）

地里木拉提·玉買江（1993—），男，新疆喀什人，碩士研究生。研究方向：小波分析及其應(yīng)用。