陳 磊，黃 翔，曾 琪

（1.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京 210016；2.上海飛機(jī)制造有限公司，上海 200436）

隨著復(fù)雜曲面零件在飛機(jī)制造領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，數(shù)字化檢測(cè)技術(shù)在保證飛機(jī)復(fù)雜零件的尺寸測(cè)量精度方面發(fā)揮著重要作用。測(cè)量模型與理論數(shù)模（CAD模型）的精確匹配是誤差檢測(cè)分析的重要前提，由于數(shù)字化測(cè)量設(shè)備的測(cè)量坐標(biāo)系與CAD模型的設(shè)計(jì)坐標(biāo)系不統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)云模型與CAD模型的位姿配準(zhǔn)已成為數(shù)字化檢測(cè)技術(shù)的關(guān)鍵。

通常，根據(jù)被測(cè)物的CAD模型是否已知，可將位姿配準(zhǔn)大致分為兩類(lèi)，CAD模型未知的點(diǎn)云重構(gòu)配準(zhǔn)和CAD模型已知的模型引導(dǎo)配準(zhǔn)。本文針對(duì)零件CAD模型已知的情況開(kāi)展研究，通過(guò)求解滿足特定配準(zhǔn)要求的最佳剛性變換，實(shí)現(xiàn)檢測(cè)點(diǎn)云與理論數(shù)模的準(zhǔn)確配準(zhǔn)。Meng等[1]研究了CAD模型引導(dǎo)的定位配準(zhǔn)方法，并給出模型配準(zhǔn)誤差的評(píng)定方法。王東霞等[2]將粒子群優(yōu)化算法融入ICP配準(zhǔn)，實(shí)現(xiàn)被測(cè)曲面與設(shè)計(jì)曲面精確定位。迭代最近點(diǎn)（Iterative Close Point, ICP）算法[3]是模型配準(zhǔn)中應(yīng)用較為廣泛的方法，但是基于最小二乘原理的ICP算法在模型配準(zhǔn)應(yīng)用中求解速度慢，配準(zhǔn)可靠性差，尤其當(dāng)實(shí)測(cè)零件存在局部變形時(shí)，配準(zhǔn)結(jié)果不理想[4-5]。針對(duì)ICP配準(zhǔn)算法的不足，普遍解決方式是利用特征信息適當(dāng)簡(jiǎn)化點(diǎn)云，再進(jìn)行配準(zhǔn)計(jì)算。點(diǎn)云簡(jiǎn)化常用的特征信息包含法向量分布[6]、曲率分布[7]、邊界特征[8]等簡(jiǎn)單特征。由于復(fù)雜零件的幾何特征差異明顯，多數(shù)情況下，不能保證不同特征點(diǎn)在簡(jiǎn)化過(guò)程中合理保留，影響配準(zhǔn)精度和效率。考慮到零件配準(zhǔn)的功能要求，文獻(xiàn)[9]依據(jù)葉片型面不同區(qū)域具有不同公差設(shè)計(jì)要求的特點(diǎn)，在ICP算法基礎(chǔ)上提出了一種區(qū)域公差約束的配準(zhǔn)方法，盡可能將模型配準(zhǔn)控制點(diǎn)集約束在公差帶以內(nèi)。文獻(xiàn)[10]利用最大熵原理解決基于加工定位和質(zhì)量檢測(cè)的配準(zhǔn)問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]和[12]則針對(duì)數(shù)控加工工藝特點(diǎn)，研究了加工余量約束條件下測(cè)量數(shù)據(jù)與CAD模型的配準(zhǔn)方法。

ICP算法的配準(zhǔn)運(yùn)算時(shí)間大部分消耗在尋找對(duì)應(yīng)最近點(diǎn)集上，而三維激光掃描測(cè)得的曲面點(diǎn)云模型數(shù)據(jù)量級(jí)在106～108，且大量的點(diǎn)云并不能明顯提高配準(zhǔn)精度，因此，在保證配準(zhǔn)精度的前提下，減少對(duì)應(yīng)最近點(diǎn)的數(shù)量以減少迭代搜索時(shí)間，提高ICP算法的配準(zhǔn)速度。飛機(jī)零件通常是自由曲面或直線、平面、圓柱面、球面等基本幾何特征的組合，其特征的幾何性質(zhì)可以由離散的關(guān)鍵特性點(diǎn)來(lái)擬合，有鑒于此，本文將能表達(dá)產(chǎn)品理論形狀的關(guān)鍵特性點(diǎn)定義為產(chǎn)品CAD模型的檢測(cè)特征點(diǎn)，并以CAD模型的目標(biāo)匹配點(diǎn)集為引導(dǎo)，采用改進(jìn)的ICP算法尋找點(diǎn)云模型數(shù)據(jù)集中與目標(biāo)匹配點(diǎn)最近的點(diǎn)集，從而提高點(diǎn)云模型與CAD模型的配準(zhǔn)效率和精度。

問(wèn)題描述

對(duì)于CAD模型引導(dǎo)測(cè)量的零件精度評(píng)定，關(guān)鍵是尋找坐標(biāo)變換矩陣T使零件的測(cè)量模型和CAD理論模型配準(zhǔn)對(duì)齊，實(shí)現(xiàn)不同坐標(biāo)系的匹配統(tǒng)一。假設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)中參與配準(zhǔn)運(yùn)算的點(diǎn)為Pi（i=1，2，…，m），對(duì)應(yīng)的CAD模型目標(biāo)匹配點(diǎn)為Si（i=1，2，…，m），坐標(biāo)系匹配后，Pi（i=1，2，…，m）在CAD模型上的投影點(diǎn)為Pi'（i=1，2，…，m），則配準(zhǔn)過(guò)程就是使Pi在CAD模型上的投影點(diǎn)Pi'與對(duì)應(yīng)的目標(biāo)匹配點(diǎn)Si之間的距離之和最小，其目標(biāo)函數(shù)為：

式中，T（Pi）為對(duì)Pi進(jìn)行坐標(biāo)變換的結(jié)果，變換矩陣T是參數(shù)向量[R，t]的函數(shù)，R=（θx，θy，θz）表示測(cè)量模型繞X、Y和Z軸旋轉(zhuǎn)的角度，t=（tx，ty，tz）表示測(cè)量模型沿著X、Y和Z軸方向的平移分量。

由此可見(jiàn)，CAD模型引導(dǎo)的配準(zhǔn)問(wèn)題求解的實(shí)質(zhì)是通過(guò)優(yōu)化算法尋找參數(shù)（θx，θy，θz，tx，ty，tz），使得式（1）表達(dá)的目標(biāo)函數(shù)取得最小值。

CAD模型的目標(biāo)匹配點(diǎn)規(guī)劃

對(duì)于CAD模型引導(dǎo)的配準(zhǔn)求解而言，過(guò)多的目標(biāo)匹配點(diǎn)會(huì)增加運(yùn)算量，且對(duì)配準(zhǔn)精度的提高并不明顯，過(guò)少的目標(biāo)匹配點(diǎn)則難以保證配準(zhǔn)結(jié)果的可靠性。因此，在保證配準(zhǔn)精度的前提下，需在CAD模型上選擇盡可能少的特征點(diǎn)作為目標(biāo)匹配點(diǎn)，以減少配準(zhǔn)迭代計(jì)算，提高配準(zhǔn)效率。鑒于直線、平面、圓柱面、球面、自由曲面等幾何特征是反映零件關(guān)鍵特性的主要特征元素，本文通過(guò)建立檢測(cè)特征點(diǎn)的選取規(guī)則來(lái)選取CAD模型的特征點(diǎn)，并根據(jù)模型配準(zhǔn)的可靠性分析指標(biāo)，規(guī)劃出合理的目標(biāo)匹配點(diǎn)集，以此提高配準(zhǔn)運(yùn)算效率并保證配準(zhǔn)結(jié)果的可靠性。

1 檢測(cè)特征點(diǎn)的選取策略

根據(jù)文獻(xiàn)[13]研究成果，假設(shè)預(yù)先指定各個(gè)幾何特征的檢測(cè)特征點(diǎn)數(shù)目為L(zhǎng)，則檢測(cè)特征點(diǎn)的選取策略為：

（1）線段：把線段細(xì)分為3L-2等長(zhǎng)的小段，然后在第 1，4，7，…，（3L-2）段中隨機(jī)采點(diǎn)。

（2）平面：將平面的最大矩形包絡(luò)細(xì)分為L(zhǎng)1×L2的小矩形，L1×L2近似等于L，小矩形應(yīng)盡可能接近于正方形，然后在每個(gè)小矩形上隨機(jī)取一點(diǎn)，同時(shí)需保證所取測(cè)點(diǎn)在被測(cè)平面內(nèi)。

（3）圓：把圓等分為L(zhǎng)個(gè)相等的弧段，然后在每個(gè)弧段中隨機(jī)取一點(diǎn)。

（4）球：對(duì)于半徑為r的球，球面被一簇相距為h的平面所截，測(cè)點(diǎn)均勻分布在lc個(gè)平行且等距的球橫截面圓周上。其中，均勻間隔的平面數(shù)，平面與球相交的圓上的均布測(cè)點(diǎn)數(shù)

（5）圓柱：對(duì)于高為h，半徑為r的圓柱，測(cè)點(diǎn)均勻分布在lc個(gè)平行且等距的圓柱橫截面圓周上，其中等距的橫截面數(shù)目每個(gè)橫截面圓周上的均布測(cè)點(diǎn)數(shù)lp=[L/lc]。

（6）圓錐：對(duì)于高為h，母線長(zhǎng)為d，兩端半徑為r1、r2（r2>r1）的圓錐，測(cè)點(diǎn)均勻分布在lc個(gè)平行且等距的圓錐橫截面圓周上，其中等距的橫截面數(shù)目為

每個(gè)橫截面圓周上的均布測(cè)點(diǎn)數(shù)為：

（7）自由曲面：將自由曲面剖分為L(zhǎng)個(gè)3角片，取每個(gè)三角片的重心為測(cè)點(diǎn)。

由此，可利用CAD軟件系統(tǒng)（如CATIA，UG等）提供的相關(guān)數(shù)據(jù)接口獲取零件的檢測(cè)信息和對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)幾何特征，再根據(jù)本文中所采用的選取策略確定檢測(cè)特征點(diǎn)的分布，作為目標(biāo)匹配點(diǎn)的候選點(diǎn)集。

2 目標(biāo)匹配點(diǎn)的可靠性分析

由于點(diǎn)云測(cè)量數(shù)據(jù)中包含制造誤差和測(cè)量誤差，使得點(diǎn)云模型與CAD模型的配準(zhǔn)結(jié)果可靠性差。因此，本文以文獻(xiàn)[14]中的配準(zhǔn)可靠性指標(biāo)為基礎(chǔ)，在滿足配準(zhǔn)結(jié)果可靠性要求的前提下，確定CAD模型上的目標(biāo)匹配點(diǎn)集。

模型配準(zhǔn)運(yùn)算得到模型配準(zhǔn)最佳變換T*=（R*，t*），CAD模型上參與配準(zhǔn)運(yùn)算的目標(biāo)匹配點(diǎn)記為Si*（i=1，2，…，L），此時(shí)，配準(zhǔn)目標(biāo)函數(shù)f在模型配準(zhǔn)最佳變換T*下取得最小值ε*。由于每個(gè)配準(zhǔn)點(diǎn)的配準(zhǔn)誤差近似服從正態(tài)分布，對(duì)目標(biāo)函數(shù)f可采用F檢驗(yàn)方法作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

取統(tǒng)計(jì)量：U=εa/ε*

式中，εa為配準(zhǔn)目標(biāo)函數(shù)f在實(shí)際變換下的值。

從統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，U遵從第一自由度和第二自由度都為l=L-6的F分布，則給定置信度α，可推導(dǎo)出由X、Y、Z3個(gè)坐標(biāo)軸方向的平移變換誤差δt=（δtx，δty，δtz）T引起的配準(zhǔn)平移位置誤差的上界估計(jì)為：

式中，為置信度α對(duì)應(yīng)的臨界值，λt為矩陣Jt的最小特征值，Jt=式中，nt為目標(biāo)匹配點(diǎn)處的曲面法矢量。

一般將X、Y、Z3個(gè)坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換誤差δθ=（δθx，δθy，δθz）T等效為繞單位向量ω的旋轉(zhuǎn)角度θ，則配準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)角度θ的上界估計(jì)為：

式中，λr為矩陣Jr的最小特征值，其中，qi=Ra Pi，Pi為第i個(gè)目標(biāo)匹配點(diǎn)的對(duì)應(yīng)測(cè)量坐標(biāo)，Ra為測(cè)量坐標(biāo)系相對(duì)于CAD模型設(shè)計(jì)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣。

式（2）、式（3）定量檢驗(yàn)配準(zhǔn)點(diǎn)的位置和數(shù)目對(duì)模型配準(zhǔn)可靠性的影響程度，則可被采用作為描述配準(zhǔn)結(jié)果可靠性的度量指標(biāo)。利用配準(zhǔn)可靠性指標(biāo)對(duì)目標(biāo)匹配點(diǎn)的候選點(diǎn)集進(jìn)行優(yōu)化選擇，在CAD模型上篩選出滿足配準(zhǔn)可靠性要求的目標(biāo)匹配點(diǎn)集，具體過(guò)程如下：

步驟1：設(shè)CAD模型上檢測(cè)特征點(diǎn)的總數(shù)為ψ，定置信度α、平移位置誤差上界閾值和旋轉(zhuǎn)角度誤差上界閾值。

步驟2：按照檢測(cè)特征點(diǎn)選取策略，建立目標(biāo)匹配點(diǎn)的候選點(diǎn)集，并按式（2）、（3）計(jì)算當(dāng)前平移位置誤差d和旋轉(zhuǎn)角度誤差θ。

步驟3：若d

步驟4：ψ=ψ-1，若ψ-6 < 0，則轉(zhuǎn)步驟5；否則，轉(zhuǎn)步驟2。

步驟5：輸出篩選后的目標(biāo)匹配點(diǎn)集

模型配準(zhǔn)

為實(shí)現(xiàn)測(cè)量模型與CAD模型的精確配準(zhǔn)，以式（1）為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，采用奇異值分解與最近點(diǎn)迭代相結(jié)合的配準(zhǔn)算法（Singular Value Decomposition Iterative Closest Point，SVD-ICP）求解模型配準(zhǔn)的全局最優(yōu)解。具體求解過(guò)程如下：

步驟1：通過(guò)粗配準(zhǔn)將測(cè)量模型的每個(gè)點(diǎn)Pi變換到CAD模型坐標(biāo)系得到點(diǎn)，變換后的測(cè)量數(shù)據(jù)集為，此時(shí)旋轉(zhuǎn)矩陣為R0、平移矩陣為T(mén)0。

步驟2：設(shè)置迭代計(jì)數(shù)器k=1，測(cè)量數(shù)據(jù)集和目標(biāo)匹配點(diǎn)集的精確配準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)矩陣Rk為正交矩陣和平移矩陣T k為0矩陣。

步驟3：尋找測(cè)量數(shù)據(jù)集中與按照目標(biāo)匹配的可行性分析獲得的CAD模型目標(biāo)匹配點(diǎn)集最近的點(diǎn)集，得到精確匹配點(diǎn)對(duì)precise_match=

步驟4：計(jì)算精確匹配點(diǎn)對(duì)各點(diǎn)集的重心：，并對(duì)兩點(diǎn)集作相對(duì)于各自重心的重合平移：

步驟5：計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)集和目標(biāo)匹配點(diǎn)集構(gòu)造的協(xié)方差矩陣：

步驟6：根據(jù)文獻(xiàn)[15]，由協(xié)方差矩陣H構(gòu)造式（4）的四維對(duì)稱矩陣H'4×4。

步驟7：求解H'4×4的特征值和特征向量，其中最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為旋轉(zhuǎn)四元數(shù)ω=（ω1，ω2，ω3，ω4）T。

步驟8：根據(jù)式（5）計(jì)算得到旋轉(zhuǎn)矩陣Rk，以及公式Tk=μ'-Rkμ解得平移矩陣T k。

步驟9：終止條件判斷：計(jì)算本次和最近一次迭代變換后測(cè)量數(shù)據(jù)與CAD模型的匹配誤差量Δ，如式（6）所示，若滿足Δ<ζ，則迭代結(jié)束并轉(zhuǎn)步驟10；否則令k=k+1，并轉(zhuǎn)步驟3。其中ζ為預(yù)先設(shè)置的閾值。

步驟10：將粗配準(zhǔn)的旋轉(zhuǎn)矩陣R0和平移矩陣T0、精配準(zhǔn)的旋轉(zhuǎn)矩陣Rk和平移矩陣Tk共同作用于測(cè)量模型，即為最終的配準(zhǔn)結(jié)果。

實(shí)例分析與驗(yàn)證

為分析不同目標(biāo)匹配點(diǎn)集對(duì)配準(zhǔn)結(jié)果的影響，以某型飛機(jī)翼肋的CAD模型為基礎(chǔ)，在零件型面上以較高密度離散出5000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)施加已知的旋轉(zhuǎn)和平移變換，然后對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)添加隨機(jī)噪聲的仿真數(shù)據(jù)作為零件型面的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖1所示，具體參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表1。

圖1 零件型面離散點(diǎn)Fig.1 Discrete points of part surface

分別用均勻采樣方法和前文的檢測(cè)特征點(diǎn)選取策略，確定CAD模型上的目標(biāo)匹配點(diǎn)集S1、S2（點(diǎn)數(shù)N1=N2=300），如圖2中的（a）、（b）所示。利用目標(biāo)匹配點(diǎn)的可靠性分析給出的可靠性分析方法對(duì)檢測(cè)特征點(diǎn)集S2進(jìn)行篩選（設(shè)定平移位置誤差和旋轉(zhuǎn)角度誤差的置信度均為97%），將篩選出的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為目標(biāo)匹配點(diǎn)集S（3N3=164），結(jié)果如圖 （2c）所示。

為便于直觀地評(píng)價(jià)配準(zhǔn)精度，設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)與CAD模型匹配后，測(cè)量數(shù)據(jù)中任意一點(diǎn)在CAD模型上的投影點(diǎn)與對(duì)應(yīng)目標(biāo)匹配點(diǎn)之間的距離為，則配準(zhǔn)誤差為

測(cè)量數(shù)據(jù)與3種不同目標(biāo)匹配點(diǎn)集的配準(zhǔn)結(jié)果如表2所示，3種目標(biāo)匹配點(diǎn)集的配準(zhǔn)精度的差值小于0.001mm，說(shuō)明在目標(biāo)匹配點(diǎn)數(shù)量足夠的情況下，增加目標(biāo)匹配點(diǎn)的數(shù)量對(duì)模型配準(zhǔn)精度不會(huì)有明顯提高。并且以S3為目標(biāo)匹配點(diǎn)集的計(jì)算耗時(shí)最短，由此可見(jiàn)通過(guò)目標(biāo)匹配點(diǎn)的布局優(yōu)化在改善配準(zhǔn)精度的同時(shí)，可以明顯提高配準(zhǔn)的計(jì)算效率。

在應(yīng)用試驗(yàn)中，使用ATOS三維光學(xué)掃描儀檢測(cè)實(shí)際零件得到測(cè)量數(shù)據(jù)，并在Visual Studio 2010編程環(huán)境下實(shí)現(xiàn)模型配準(zhǔn)算法。本文使用的測(cè)量系統(tǒng)為ATOS Compact Scan 5M，其單次掃描的測(cè)量點(diǎn)數(shù)可達(dá)106個(gè)，測(cè)量時(shí)間約0.8s，點(diǎn)距分辨率為0.017～0.481mm，測(cè)量精度可達(dá)0.01mm。

測(cè)量數(shù)據(jù)與CAD模型進(jìn)行配準(zhǔn)時(shí)，分別采用均勻采樣方法和結(jié)合配準(zhǔn)可靠性分析的檢測(cè)特征點(diǎn)選取策略（設(shè)定平移位置誤差和旋轉(zhuǎn)角度誤差的置信度均為97%），確定CAD模型上的目標(biāo)匹配點(diǎn)集S1'、S2'（點(diǎn)數(shù)N1=700、N2=267）。根據(jù)模型配準(zhǔn)提出的方法進(jìn)行配準(zhǔn)，計(jì)算得到配準(zhǔn)誤差以及平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)的誤差上限如表3所示。

從表3可以看出，以檢測(cè)特征點(diǎn)作為目標(biāo)匹配點(diǎn)集的配準(zhǔn)結(jié)果比均勻采樣的目標(biāo)匹配點(diǎn)集的配準(zhǔn)結(jié)果的精度高，主要原因是零件的檢測(cè)特征通常處于零件成形過(guò)程的易變形區(qū)域，而采用本文介紹的檢測(cè)特征點(diǎn)選取策略獲得的目標(biāo)匹配點(diǎn)集會(huì)在該區(qū)域側(cè)重地分布較多匹配點(diǎn)，有利于提高配準(zhǔn)精度。此外，目標(biāo)匹配點(diǎn)集S2'經(jīng)過(guò)篩選參與模型配準(zhǔn)，提高了配準(zhǔn)結(jié)果的可靠性，可避免由于零件變形過(guò)大導(dǎo)致的模型配準(zhǔn)失敗。

表1 仿真數(shù)據(jù)設(shè)置參數(shù)

圖2 不同目標(biāo)匹配點(diǎn)集Fig.2 Different target matching point sets

表2 3種目標(biāo)匹配點(diǎn)集的配準(zhǔn)結(jié)果

表3 不同目標(biāo)匹配點(diǎn)集的配準(zhǔn)誤差對(duì)比

結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種檢測(cè)特征引導(dǎo)的CAD模型配準(zhǔn)方法，可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜零件型面的高精度、高可靠性匹配。

（1）給出了復(fù)雜零件檢測(cè)特征點(diǎn)的選取策略，借助檢測(cè)特征點(diǎn)來(lái)表達(dá)零件CAD模型的主要幾何特征并確定目標(biāo)匹配點(diǎn)集，保證測(cè)量數(shù)據(jù)與CAD模型的配準(zhǔn)精度，有效提高配準(zhǔn)效率。

（2）采用配準(zhǔn)可靠性指標(biāo)篩選所得的目標(biāo)匹配點(diǎn)集進(jìn)行配準(zhǔn)運(yùn)算時(shí)，可以提高配準(zhǔn)可靠性，避免由于零件變形過(guò)大導(dǎo)致的模型配準(zhǔn)失敗。

（3）通過(guò)仿真和實(shí)際應(yīng)用試驗(yàn)，驗(yàn)證了本文配準(zhǔn)方法的可行性和有效性。

此外，目標(biāo)匹配點(diǎn)集在優(yōu)化篩選過(guò)程中，隨點(diǎn)數(shù)遞減而不斷更新，增加前期處理時(shí)間，使整體效率的降低。為此，基于配準(zhǔn)可靠性指標(biāo)的目標(biāo)匹配點(diǎn)集優(yōu)化方法有待進(jìn)一步深入研究，以期達(dá)到更好的整體效果。

參 考 文 獻(xiàn)

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