王洪彬，武怡宏

(1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255049；2.淄博師范高等?？茖W(xué)校 招生就業(yè)處，山東 淄博255130)

Marcinkiewicz積分交換子的BMO估計(jì)

王洪彬1，武怡宏2

(1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255049；2.淄博師范高等專科學(xué)校 招生就業(yè)處，山東 淄博255130)

Marcinkiewicz積分交換子由Marcinkiewicz積分算子和BMO函數(shù)所生成，是調(diào)和分析中的重要算子. 將變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的原子分解定理進(jìn)行適當(dāng)推廣, 利用其證明了Marcinkiewicz積分交換子在變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的有界性.

Marcinkiewicz積分；交換子；Herz型Hardy空間；BMO

算子的有界性理論一直是調(diào)和分析研究的主要課題, 它極大地推動(dòng)了調(diào)和分析與其它學(xué)科有機(jī)結(jié)合的進(jìn)程.Marcinkiewicz積分交換子是調(diào)和分析中的重要算子, 它在調(diào)和分析理論中具有重要的地位. 變指標(biāo)函數(shù)空間理論作為調(diào)和分析領(lǐng)域的重要理論, 是二十世紀(jì)九十年代Kovik和Rákosník在研究具有非標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)條件的非線性Dirichlet邊值問(wèn)題時(shí)提出的[1]. 變指標(biāo)函數(shù)空間不僅從本質(zhì)上推廣了經(jīng)典函數(shù)空間, 而且它與偏微分方程、概率論、彈性力學(xué)及流體力學(xué)等數(shù)學(xué)、力學(xué)中的多個(gè)分支有著非常緊密的聯(lián)系[2], 已成為近年來(lái)調(diào)和分析領(lǐng)域最活躍的課題之一. 近些年來(lái)，調(diào)和分析中的許多重要空間, 如變指標(biāo)Triebel-Lizorkin空間[3]、變指標(biāo)Herz空間[4]、變指標(biāo)Hardy空間[5]和變指標(biāo)Herz型Hardy空間[6]等相繼被建立，對(duì)于調(diào)和分析中的重要算子及其交換子在上述空間中的研究也取得了一定的成果[7-11]. 本文適當(dāng)推廣變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的原子分解定理，并用它證明Marcinkiewicz積分交換子在此空間中的有界性.

1 預(yù)備知識(shí)和記號(hào)

設(shè)Sn-1為n(n≥2)上的單位球面，Ω∈Lipβ(Sn-1)(0<β≤1)是零次齊次函數(shù)且滿足∫Sn-1Ω(x′)dσ(x′)=0, 其中對(duì)任意x≠0有年，Stein[12]定義了如下與Littlewood-Paleyg函數(shù)相關(guān)的Marcinkiewicz積分算子：,其中,

令b為n中的局部可積函數(shù), 定義由Marcinkiewicz積分算子μ和函數(shù)b所生成的交換子為

下面介紹變指標(biāo)函數(shù)空間中的一些知識(shí)和記號(hào). 給定開(kāi)集Ω?n及可測(cè)函數(shù)p(·):Ω→[1,)，Lp(?)(Ω)表示Ω上所有可測(cè)函數(shù)f的集合, 且滿足對(duì)某個(gè)λ>0, 使得p(x)dx<.

在變指標(biāo)Lp空間中有如下幾個(gè)重要的引理.

引理 1[1]令p(·)∈P(n). 若f∈Lp(·)(n)且g∈Lp′(·)(n), 則fg在n上可積并且

其中rp=1+1/p--1/p+. 上述不等式被稱為廣義H?lder不等式.

引理 2[4]設(shè)p(·)∈B(n). 則存在常數(shù)C>0使得對(duì)所有n中的球B, 都有

引理 3[4]令p(·)∈B(n). 則存在正常數(shù)C使得對(duì)所有n中的球B和所有可測(cè)子集S?B, 都有

其中δ1,δ2是常數(shù)且滿足0<δ1,δ2<1(注意在整篇文章中δ1,δ2都同引理3中的一樣).

下面給出變指標(biāo)Herz空間的定義. 對(duì)于k∈, 令且Ak=BkBk-1. 記+和分別是所有正整數(shù)和所有非負(fù)整數(shù)的集合, 對(duì)k∈有χk=χAk, 若k∈+則且其中χAk是Ak的特征函數(shù).

定義 1[4]令α∈, 0

在此基礎(chǔ)上給出變指標(biāo)Herz型Hardy空間的定義及其原子分解特征. 用S(n)表示n上的Schwartz空間, 它是由無(wú)窮可微且在無(wú)窮遠(yuǎn)處迅速遞減的函數(shù)所構(gòu)成的,S′(n)表示S(n)的對(duì)偶空間. 令GNf(x)為f(x)的grand極大函數(shù), 其定義為，其中且是非切向極大算子并且其定義為其中φt(x)=t-nφ(x/t).

定義 2[6]令α∈, 0n+1.齊次變指標(biāo)Herz型Hardy空間(n)定義為,其中非齊次變指標(biāo)Herz型Hardy空間(n)定義為,其中.

對(duì)于x∈我們用[x]表示小于等于x的最大整數(shù). 由文獻(xiàn)[6]中的結(jié)論容易得到

定義 3 令α∈,q(·)∈P(n)且非負(fù)整數(shù)s≥[α-nδ2].n上的函數(shù)a被稱為中心(α,q(·))-原子, 如果它滿足(i) 對(duì)某個(gè)r>0有suppa?B(0,r)；； (iii) 對(duì)任意滿足的多重指標(biāo)β有∫a(x)xβdx=0.n上的函數(shù)a被稱為是限制型中心(α,q(·))-原子, 如果它滿足上述條件(ii), (iii)以及對(duì)某個(gè)r≥1有suppa?B(0,r).

注：在定義3中若對(duì)某個(gè)k∈有r=2k, 則稱相應(yīng)的中心(α,q(·))-原子為二進(jìn)中心(α,q(·))-原子.

引理 4[6]令α∈, 0

2 主要結(jié)論及證明

引理 5[13]令k是正整數(shù)， 則對(duì)所有b∈ΒΜΟ(n)和所有j,i∈滿足j>i, 有

‖(b-bBi)kχBj‖Lp(·)(n)

其中B是n中的球.

文獻(xiàn)[14]給出了Marcinkiewicz積分交換子[b,μ]的Lp(?)(n)有界性，下面將其推廣到變指標(biāo)Herz型Hardy空間中.

定理1 令b∈BΜΟ(n),q(·)∈B(n), 0

(1)

首先估計(jì)I2. 由[b,μ]的Lq(·)(n)有界性有

(2)

下面估計(jì)I1. 由aj的消失矩條件得

(3)

因?yàn)長(zhǎng)ipβ(Sn-1)?L(Sn-1), 所以通過(guò)(3)式, Minkowski不等式和廣義H?lder不等式有

所以有

由引理2、引理3和引理5, 有

‖[b,μ](aj)χk‖Lq(·)(n)≤

C2-kn‖aj‖Lq(·)(n)(k-j)‖b‖*‖χBk‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq′(·)(n)≤

(4)

因此, 有

當(dāng)10, 所以由H?lder不等式有

(5)

當(dāng)0

(6)

類似于對(duì)J1的估計(jì), 得

類似于對(duì)J2的估計(jì), 得

所以有

由引理2、引理3和引理5,有

‖[b,μ](aj)χk‖Lq(·)(n)≤

C2-jn‖aj‖Lq(·)(n)(j-k)‖b‖*‖χBk‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq′(·)(n)≤

(7)

因此, 有

當(dāng)10, 所以由H?lder不等式有

(8)

當(dāng)0

(9)

結(jié)合式(1), (2), (5), (6), (8)和(9), 有

因此, 定理1得證.

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(編輯：郝秀清)

BMO estimate for the commutators of Marcinkiewicz integrals

WANG Hong-bin1, WU Yi-hong2

(1.School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China;2. Department of Recruitment and Employment, Zibo Normal College，Zibo 255130，China)

The commutator of Marcinkiewicz integral, which is generated by the Marcinkiewicz integral and BMO function, is very important in harmonic analysis. Using the extended atomic decomposition characterizations of Herz-type Hardy spaces with variable exponent, we obtain the boundedness of the commutator of Marcinkiewicz integral on the Herz-type Hardy spaces with variable exponent.

Marcinkiewicz integral；commutator；Herz-type Hardy space；BMO

2016-06-11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171345);山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2015PA001)

王洪彬, 男,wanghb@sdut.edu.cn

1672-6197(2017)04-0024-06

O

A