楊必成, 陳強

(1. 廣東第二師范學院 數(shù)學系, 廣東 廣州510303； 2. 廣東第二師范學院 計算機科學系, 廣東 廣州510303)

一個半離散非齊次核的Hilbert型不等式

楊必成1, 陳強2

(1. 廣東第二師范學院 數(shù)學系, 廣東 廣州510303； 2. 廣東第二師范學院 計算機科學系, 廣東 廣州510303)

引入獨立參數(shù),應用權函數(shù)的方法及實分析技巧,建立一個具有最佳常數(shù)因子的半離散非齊次核的Hilbert型不等式,還考慮了其具有最佳常數(shù)因子的等價形式.

Hilbert型不等式;參數(shù);權函數(shù);等價式;逆式

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(3):292-295

(1)

(2)

當μi=νi=1(i∈N)時,式(2)變?yōu)槭?1)(文獻[2]并沒有證明式(2)及確定常數(shù)因子的最佳性).

(3)

(4)

(5)

關于半離散Hilbert不等式的一些最新結果,可參閱文獻[8-11].

下文引入獨立參數(shù),應用權函數(shù)法及實分析技巧,建立一個類似于式(5)的具有最佳常數(shù)因子的半離散非齊次核Hilbert型式,同時考慮其具有最佳常數(shù)因子的等價式.

(6)

(7)

則有以下不等式:ωα(σ,x)

(8)

(9)

對上式做變換：u=Uα(x)Vα(t),有

故式(8)成立.

故式(9)成立.證畢.

(10)

故式(10)成立.證畢.

(11)

(13)

證明 配方,并由帶權的H?lder不等式[12],有

(14)

由式(9)及Lebesgue逐項積分定理[13],有

(15)

再由式(8)，有式(12).配方并由H?lder不等式[12],有

(16)

故式(12)成立,且與式(11)等價.

同理可證式(13)成立,且其與式(11)等價.因而式(11)、(12)與式(13)齊等價.證畢.

(17)

若用正常數(shù)K(≤kα(σ))取代式(11)的常數(shù)因子kα(σ)后，式(11)仍成立,則有

即有

kα(σ)≤K(ε→0+).

故K=kα(σ)為式(11)的最佳值.

式(12)的常數(shù)因子必是最佳值.不然,由式(16),必導出式(11)的常數(shù)因子亦非最佳值的矛盾.同理,由等價性,可證式(13)的常數(shù)因子為最佳值.證畢.

[1]HARDYGH.NoteonatheoremofHilbertconcerningseriesofpositiveterms[J]. Proceedings London Math Soc,1925,23(2):Records of Proc xlv-xlvi.

[2] HARDY G H, LITTLEWOOD J E, POLYA G. Inequalities[M]. Cambridge: Cambridge University Press,1952.

[3] YANG B C. On best extensions of Hardy-Hilbert’s inequality with two parameters[J]. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics,2005,6(3):Article No 81.

[4] 王竹溪,郭敦仁.特殊函數(shù)論[M].北京:科學出版社,1979. WANG Z X，GUO D R. Introduction of Particular Functions[M]. Beijing: Science Press,1979.

[5] 楊必成.算子范數(shù)與Hilbert型不等式[M].北京:科學出版社,2009. YANG B C. The Norm of Operator and Hilbert-Type Inequalities[M]. Beijing: Science Press,2009.

[6] YANG B C. Discrete Hilbert-type Inequalities[M]. Sharjah: Bentham Science Publishers,2011.

[7] 楊必成.一個推廣的Hardy-Hilbert型不等式[J].廣東第二師范學院學報,2015,35(3):1-8. YANG B C. An extension of Hardy-Hilbert-type inequality[J]. Journal of Guangdong University of Education,2015,35(3):1-8.

[8] 楊必成,陳強.一個半離散含多參數(shù)的Hilbert型不等式[J].浙江大學學報:理學版,2012,39(6):623-626. YANG B C, CHEN Q. A half-discrete Hilbert-type inequality with multi-parameters[J]. Journal of Zhejiang University: Science Edition,2012,39(6):623-626.

[9] HUANG Q L, WANG A Z, YANG B C. A more accurate half-discrete Hilbert-type inequality with a general non-homogeneous kernel and operator expressions[J]. Mathematical Inequalities and Applications,2014,17(1):367-388.

[10] WANG A Z, YANG B C. A more accurate reverse half-discrete Hilbert-type inequality[J]. Journal of Inequalities and Applications,2015:85.DOI:10.1186/s13660-015-0613-8.

[11] YANG B C, DEBNATH L. Half-Discrete Hilbert-Type Inequalities[M]. Singapore: World Scientific Publishing Co Pte Ltd，2014.

[12] 匡繼昌.常用不等式[M].濟南:山東科技出版社,2004. KUANG J C. Applied Inequalities[M]. Jinan: Shandong Science and Technology Press,2004.

[13] 匡繼昌.實變函數(shù)與泛函分析(續(xù)論)[M].北京:高等教育出版社,2015. KUANG J C. Real Functions and Functional Analysis (Continuous)[M]. Beijing: Higher Education Press,2015.

A half-discrete Hilbert-type inequality with a non-homogeneous kernel.

YANG Bicheng1，CHEN Qiang2

(1.DepartmentofMathematics,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China；2.DepartmentofComputerScience,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China)

By introducing independent parameters and applying the method of weight functions and technique of real analysis, a half-discrete Hilbert-type inequality with a non-homogeneous kernel and a best possible constant factor is provided. The equivalent forms with the best possible constant factors are considered.

Hilbert-type inequality; parameter; weight function; equivalent form; reverse

2015-03-22.

國家自然科學基金資助項目(61370186,61640222)；廣東第二師范學院教授博士科研專項經(jīng)費項目(2015ARF25).

楊必成(1947-)，ORCID：http://orcid.org/0000-0001-6830-7795，男,教授,主要從事可和性、算子理論及解析不等式研究,E-mail:bcyang@gdei.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.008

O 178

A

1008-9497(2017)03-292-04