解 霞 董正超 楊建華

(南通大學(xué)理學(xué)院 江蘇 南通 226019)

夫瑯禾費(fèi)縫衍射的計(jì)算機(jī)模擬*

解 霞 董正超 楊建華

(南通大學(xué)理學(xué)院 江蘇 南通 226019)

在大學(xué)物理的教學(xué)中，夫瑯禾費(fèi)衍射是波動(dòng)光學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)之一．以夫瑯禾費(fèi)衍射的光學(xué)模型為基礎(chǔ)，根據(jù)傅里葉光學(xué)理論給出夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布的一般公式，利用MATLAB軟件對(duì)單縫、雙縫、多縫以及十字縫和字縫等縫衍射屏的夫瑯禾費(fèi)衍射進(jìn)行模擬，并對(duì)計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果作出分析．縫衍射實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果顯示快速且清晰，衍射條紋分布符合衍射規(guī)律，實(shí)現(xiàn)了對(duì)實(shí)際光波衍射的模擬．

夫瑯禾費(fèi)衍射 傅里葉變換 MATLAB

衍射現(xiàn)象是波動(dòng)的重要特性之一[1]．波在傳播過(guò)程中遇到障礙物，其波面受到一定的限制，就會(huì)發(fā)生衍射，即波的傳播方向會(huì)改變．需要指出的是，只有當(dāng)障礙物的幾何線度與波長(zhǎng)大小可比時(shí)，衍射現(xiàn)象才會(huì)顯著地表現(xiàn)出來(lái)．由于可見(jiàn)光波長(zhǎng)較短，光波的衍射現(xiàn)象在日常生活中表現(xiàn)得并不特別明顯[2]．另一方面，光學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)光學(xué)系統(tǒng)、實(shí)驗(yàn)環(huán)境和實(shí)驗(yàn)者都提出了較高的要求，因而光學(xué)實(shí)驗(yàn)在實(shí)際操作和觀察測(cè)量時(shí)存在諸多不利因素．計(jì)算機(jī)仿真模擬是利用計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)實(shí)際系統(tǒng)建立模型，在一定的條件下對(duì)模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的一門技術(shù)．在教學(xué)中，常以一定的理論模型為依據(jù)，利用計(jì)算機(jī)模擬的方法對(duì)實(shí)際物理過(guò)程和實(shí)驗(yàn)結(jié)果作出模擬．因具有良好的可操作性、可重復(fù)性，以及易觀察及低成本等優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算機(jī)仿真模擬在光學(xué)理論和實(shí)驗(yàn)教學(xué)中被迅速推廣[3，4]．MATLAB作為一套高性能的分析計(jì)算軟件，廣泛應(yīng)用于高?；A(chǔ)課程和專業(yè)課程的教學(xué)中[4]．本文利用MATLAB軟件的編程和繪圖功能，對(duì)幾種夫瑯禾費(fèi)縫衍射進(jìn)行模擬，并結(jié)合計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果作出分析．

1 夫瑯禾費(fèi)衍射光場(chǎng)分布

當(dāng)光源和光屏距離衍射屏無(wú)窮遠(yuǎn)(或者相當(dāng)于無(wú)窮遠(yuǎn))時(shí)，在衍射屏上的入射波及在各個(gè)方向的衍射波都可以看成平面波，光屏上所觀察到的衍射稱為夫瑯禾費(fèi)衍射．夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)的光路如圖1所示．S為單色點(diǎn)光源，置于透鏡L1的焦點(diǎn)處，從L1出射的平面光波垂直入射到衍射屏AB上．在衍射屏后放置另一透鏡L2，在透鏡L2像方焦平面處的光屏上可觀察到夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣．

圖1 夫瑯禾費(fèi)衍射光路圖

根據(jù)惠更斯-菲涅爾原理，光屏上P點(diǎn)處的光振動(dòng)是衍射屏處波振面上所有子波波源發(fā)出的子波傳到P點(diǎn)的光振動(dòng)的相干疊加，P點(diǎn)的光強(qiáng)度取決于衍射角θ的衍射光在該點(diǎn)相干疊加的結(jié)果[1]．

設(shè)波長(zhǎng)為λ的單位振幅單色相干平面光波垂直照射衍射屏，衍射屏位于x0y0平面，在距離衍射屏z處的xy平面上觀察衍射場(chǎng)．在傅里葉光學(xué)中，夫瑯禾費(fèi)衍射的光場(chǎng)復(fù)振幅分布為

(1)

(2)

2 夫瑯禾費(fèi)縫衍射

觀察夫瑯禾費(fèi)縫衍射時(shí)，若縫寬過(guò)寬，遠(yuǎn)超過(guò)光波長(zhǎng)，無(wú)法產(chǎn)生明顯的衍射現(xiàn)象；若縫寬過(guò)窄，則透過(guò)衍射屏的光強(qiáng)太弱．因此，縫寬過(guò)寬或者過(guò)窄都不利于觀察光波的衍射．另一方面，如果縫的長(zhǎng)度過(guò)長(zhǎng)(或者相當(dāng)于無(wú)限長(zhǎng))，則衍射圖樣在縫的長(zhǎng)度方向不發(fā)生衍射，衍射圖樣在該方向被壓縮于一條線上，也不利于觀察衍射圖樣的條紋分布．因此，在光學(xué)實(shí)驗(yàn)或計(jì)算機(jī)模擬過(guò)程中需要對(duì)縫的縫寬和縫的長(zhǎng)度加以約束限制．

2.1 單縫衍射

當(dāng)衍射屏上只有一條狹縫時(shí)，夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的模擬如圖2所示．

圖2 單縫衍射

圖2(a)是單縫衍射屏，其縫寬沿x軸方向，縫長(zhǎng)沿y軸方向；圖2(b)給出該單縫的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，光波在x方向有明顯的衍射．光屏中央有一條較寬的明條紋，兩側(cè)對(duì)稱地分布著一些強(qiáng)度較小的明條紋，中央明條紋的寬度約是其他明條紋寬度的兩倍，相鄰明紋之間有一條暗紋；圖2(c)是x方向的光強(qiáng)分布曲線，光強(qiáng)最大峰對(duì)應(yīng)中央明條紋，兩側(cè)的突起峰對(duì)應(yīng)強(qiáng)度較小的亮條紋，與衍射圖樣一致；因單縫的長(zhǎng)度是有限的，該光波透過(guò)單縫在y方向也有一定的衍射，圖2(d)給出光屏x-y平面上的光強(qiáng)分布．

2.2 雙縫衍射

當(dāng)衍射屏上有兩條平行狹縫時(shí)，設(shè)雙縫的縫長(zhǎng)沿y方向，縫寬沿x方向，夫瑯禾費(fèi)雙縫衍射的模擬如圖3所示．

圖3 雙縫衍射

雙縫衍射圖樣中央處是一條特別亮的明紋，兩側(cè)各有一條光強(qiáng)度稍弱的明紋以及強(qiáng)度更弱的明紋；相鄰的明紋之間有一條暗紋．在單縫衍射主極大寬度內(nèi)有5條明紋，由于單縫衍射的調(diào)制，高級(jí)次明紋的光強(qiáng)較弱．

2.3 3縫衍射

當(dāng)衍射屏上有3條平行狹縫時(shí)，設(shè)3縫的縫長(zhǎng)沿y方向，縫寬沿x方向，夫瑯禾費(fèi)3縫衍射的模擬如圖4所示．

圖4 3縫衍射

3縫衍射圖樣的明條紋寬度比雙縫衍射的明紋寬度窄，相對(duì)光強(qiáng)度大；相鄰主極大明紋之間有一個(gè)次極大明紋和兩條暗紋．在單縫衍射主極大寬度內(nèi)有5條比較細(xì)亮的明紋，受單縫衍射因素的影響，高級(jí)次明紋的光強(qiáng)較弱．

2.4 4縫衍射

當(dāng)衍射屏上有4條平行狹縫時(shí)，設(shè)4縫的縫長(zhǎng)沿y方向，縫寬沿x方向，夫瑯禾費(fèi)4縫衍射的模擬如圖5所示．

圖5 4縫衍射

4縫衍射圖樣的明條紋寬度比3縫衍射的明紋寬度更窄，相對(duì)光強(qiáng)度更大；相鄰主極大明紋之間有兩個(gè)次極大明紋和3條暗紋．與雙縫和3縫衍射圖樣對(duì)比，因縫數(shù)增多，4縫衍射圖樣的明紋寬度更窄，光強(qiáng)度更大，因此主極大明紋更加細(xì)亮，在光屏上可觀察到細(xì)亮的光譜線．

3 夫瑯禾費(fèi)復(fù)雜縫衍射

3.1 十字縫

設(shè)衍射屏上兩個(gè)相互垂直的狹縫交點(diǎn)處為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條狹縫的縫長(zhǎng)沿x軸方向，另一條狹縫的縫長(zhǎng)沿y軸方向，如圖6(a)所示．夫瑯禾費(fèi)十字縫衍射的模擬如圖6所示．

圖6 十字縫衍射

圖6(b)所示的衍射圖樣中心處可見(jiàn)一個(gè)光強(qiáng)度較大的亮斑，中央亮斑的周圍有很多具有十字對(duì)稱性的衍射亮斑，離中心越遠(yuǎn)，衍射亮紋的光強(qiáng)度越弱．由于在x和y兩個(gè)方向上同時(shí)存在衍射，十字縫衍射可以看成是兩套單縫衍射圖樣相干疊加的結(jié)果．圖6(c)所示是x方向的衍射光強(qiáng)分布，光強(qiáng)分布關(guān)于y軸對(duì)稱，與衍射圖樣圖6(b)一致．

圖7 字縫衍射

4 結(jié)論

本文的模擬中，光波在縫寬的方向出現(xiàn)較顯著的衍射現(xiàn)象．由于縫長(zhǎng)是有限的，光波在縫長(zhǎng)方向被約束，因此在縫長(zhǎng)所在的方向也有較弱的衍射．這樣的雙向衍射現(xiàn)象非但不會(huì)影響對(duì)衍射圖樣條紋分布的觀察與分析，還深刻地揭示了光波衍射的條件．

對(duì)于平行狹縫的夫瑯禾費(fèi)衍射，可以發(fā)現(xiàn)其共同點(diǎn)：不管是單縫、雙縫還是多縫的夫瑯禾費(fèi)衍射，衍射圖樣中央都是一條特別亮的明紋，兩側(cè)分布著強(qiáng)度稍弱的明紋和強(qiáng)度更小的明紋，相鄰的明紋之間會(huì)有一條暗紋．單縫衍射因子決定了單縫衍射主極大寬度內(nèi)的明條紋相對(duì)光強(qiáng)度較大，更容易觀察．

對(duì)于雙縫和多縫衍射，它們之間也存在著不同點(diǎn)：雙縫衍射的各級(jí)條紋都是主極大明紋；而在3縫衍射中，相鄰主極大明紋之間有一條強(qiáng)度較小的次級(jí)大明紋；4縫衍射相鄰主極大之間則有兩條強(qiáng)度較小的明紋．這種現(xiàn)象是由單縫衍射和多縫干涉共同形成．

1 姚啟鈞.光學(xué)教程(第五版).北京:高等教育出版社,2011.82～89

2 吳許強(qiáng),汪光騏,俞本立.日常生活中的夫瑯禾費(fèi)衍射現(xiàn)象與教學(xué)實(shí)踐.合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011,29(6):41～42

3 甄艷坤,霍漢平.計(jì)算機(jī)仿真在光學(xué)課程教學(xué)中的應(yīng)用.電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào),2011,33(2):88～90

4 張衛(wèi)山,尚劍鋒,劉雪林,等.基于MATLAB GUI的波動(dòng)光學(xué)仿真平臺(tái).大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2013(3):85～87

5 呂乃光.傅里葉光學(xué)(第二版).北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.93～94

*江蘇省高等教育教改研究立項(xiàng)課題，項(xiàng)目編號(hào):2015JSJG236

解霞(1981- )，女，碩士，講師，主要從事大學(xué)物理等課程的教學(xué)和非線性光學(xué)的研究．

董正超(1963- )，男，教授，主要研究方向?yàn)槟蹜B(tài)物理.

2016-12-06)