張新春

1.加法累數(shù)制與羅馬記數(shù)

先人們?cè)诶每毯塾洈?shù)時(shí)，會(huì)遇到“奈何姓萬(wàn)”的麻煩。于是，在一次次的刻痕過(guò)程中，他們逐漸意識(shí)到可以用一些簡(jiǎn)單的辦法來(lái)處理：刻到一定的數(shù)量后，為了表示比當(dāng)前刻的再多一個(gè)，不再用多刻一條的辦法了，而是改用一個(gè)新的符號(hào)表示。比如，為了表示10，不是在刻了9條后再刻1條，而是用一個(gè)新的記號(hào)X表示。當(dāng)然，20就用XX表示，而當(dāng)X累加到一定個(gè)數(shù)時(shí)（比如X個(gè)）后，又創(chuàng)造一個(gè)新的符號(hào)表示。這就是加法累數(shù)制度。

所謂加法累數(shù)制，是指這樣一種記數(shù)方法，它為每一個(gè)較高級(jí)的單位創(chuàng)造一個(gè)新的符號(hào)，而記錄多少個(gè)單位就把這個(gè)單位重復(fù)寫多少次（有時(shí)再配以適當(dāng)?shù)钠渌幚?，隨后將介紹）。由于創(chuàng)造了符號(hào)（比如用M表示1000），與簡(jiǎn)單的刻痕記數(shù)相比，這種加法累數(shù)制的優(yōu)勢(shì)是明顯的：只要想想寫一個(gè)M與刻1000道刻痕的區(qū)別就知道了。羅馬記數(shù)就是典型的加法累數(shù)制。

羅馬記數(shù)于12世紀(jì)以前盛行于歐洲，今天某些特定的場(chǎng)合還在使用，比如與文件內(nèi)容、書籍章節(jié)等相關(guān)的序號(hào)。羅馬記數(shù)用一些拉丁大寫字母表示數(shù)目，下表中是基本的羅馬記數(shù)符號(hào)。

用V表示5，據(jù)說(shuō)是因?yàn)閂是一只手掌的形象（四指并攏，大拇指分開），字母X表示10，則是因?yàn)閄是兩個(gè)V合起來(lái)。C是表示一百的拉丁語(yǔ)centum的第一個(gè)字母，而L則是由C的一半變形而得。M是千的拉丁語(yǔ)mille的第一個(gè)字母。

作為一種典型的加法累數(shù)制記數(shù)法，羅馬記數(shù)有“重復(fù)幾次”“左右加減”和“加橫線”等法則。

（1）“重復(fù)幾次”：若干個(gè)相同符號(hào)并排排列，等于各個(gè)符號(hào)所表示數(shù)相加的總和。比如，III表示3，XX表示20，CCC表示300等?！爸貜?fù)幾次”的法則是加法累數(shù)制記數(shù)法的基本特征。

（2）兩個(gè)不同符號(hào)并列，若右邊符號(hào)表示的數(shù)大于左邊符號(hào)表示的數(shù)，由“減法原則”即大減小的原則，表示大數(shù)與小數(shù)的差，比如，IV=5-1=4，IX=10-1=9。

（3）兩個(gè)不同符號(hào)并列，若右邊符號(hào)表示的數(shù)小于左邊符號(hào)表示的數(shù)，由“加法原則”即兩數(shù)相加的原則，表示大數(shù)與小數(shù)的和。比如，VII=5+1+ 1=7，XVI=10+5+1=16。

（4）在符號(hào)上加橫線，表示“1000倍”，比如，V=5×1000=5000。

像羅馬記數(shù)這樣的加法累數(shù)制記數(shù)法還是相當(dāng)笨拙的，一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)，寫起來(lái)會(huì)有一長(zhǎng)串，比如，3888=MMMDCCCLXXXVIII。

另外，畢竟符號(hào)是有限的，要表示大數(shù)，會(huì)有更明顯的局限。更重要的是，羅馬記數(shù)的四則運(yùn)算異常復(fù)雜，甚至一些基本的四則運(yùn)算都只有專家才掌握。丹齊克先生在《數(shù)：科學(xué)的語(yǔ)言》一書中描述過(guò)一個(gè)關(guān)于15世紀(jì)一位德國(guó)商人送兒子求學(xué)的故事：“話說(shuō)這位商人有一個(gè)兒子，他想使兒子學(xué)些高深的商業(yè)教育。于是他去求教大學(xué)里的一位名教授，該把兒子送到哪兒去念書。教授回答說(shuō)：如果這位青年的數(shù)學(xué)課程將只限于加和減，他可以進(jìn)國(guó)內(nèi)的大學(xué)學(xué)習(xí)這些功課；至于乘和除，還是意大利最先進(jìn)。他認(rèn)為，只有到那里去才能得到那種高等的教育。”因此，這種記數(shù)法不得不退出歷史舞臺(tái)。

2.乘法累數(shù)制與中國(guó)記數(shù)

乘法累數(shù)制是將加法累數(shù)制中的重復(fù)幾次的辦法改為乘法。比如，500，借用羅馬記數(shù)的符號(hào)，不用把表示100的符號(hào)C重復(fù)寫5次（記作CCCCC），也不用發(fā)明一個(gè)新符號(hào)D表示500，只需把表示5的符號(hào)V和表示100的符號(hào)C寫在一起，即VC。這樣做即可避免重復(fù)。

中國(guó)的記數(shù)法是典型的乘法累數(shù)制。比如，4560，不用寫作“千千千千百百百百百十十十十十十”，也不需要發(fā)明表示4000、500、60等數(shù)的新符號(hào)，而只需記為“四千五百六十”。

顯然，乘法累數(shù)制也需要一些表示特定的數(shù)的符號(hào)（不然就成了“結(jié)繩記數(shù)”或“刻痕記數(shù)”了）。中國(guó)記數(shù)法使用十進(jìn)的乘法累數(shù)制。用以下13個(gè)字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬(wàn)，就可以表示相當(dāng)大的數(shù)?！吨荀滤憬?jīng)》中即有很多大數(shù)。比如，“從周南至日照處三十萬(wàn)二千里，周北至日照處五十萬(wàn)八千里，東西各三十九萬(wàn)一千六百八十三里半”。這里的三十九萬(wàn)一千六百八十三=39×10000+1×1000+6×100+8×10+3。

而據(jù)考證，以上13個(gè)字早在甲骨文中就有了，只是寫法有些不同，大體如下圖所示。

其實(shí)，我們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)里教學(xué)的“讀數(shù)”，就是把數(shù)寫成中國(guó)的乘法累數(shù)制。

乘法累數(shù)制也有一個(gè)規(guī)定多少個(gè)單位的問(wèn)題。事實(shí)上，如果最大的單位只到“萬(wàn)”，那么九千九百九十九萬(wàn)九千九百九十九后面的一個(gè)自然數(shù)就應(yīng)該記作“一萬(wàn)萬(wàn)”，這樣數(shù)下去，還會(huì)出現(xiàn)“一萬(wàn)萬(wàn)萬(wàn)”“一萬(wàn)萬(wàn)萬(wàn)萬(wàn)”……

對(duì)于萬(wàn)以上的數(shù)，后來(lái)又增加一些新字，以表示更大的單位。如，《數(shù)術(shù)記遺》提出億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載等10種名稱。但有三種不同的進(jìn)位法：

1.十進(jìn)：十萬(wàn)為億，十億為兆，十兆為京，……

2.萬(wàn)萬(wàn)進(jìn)：萬(wàn)萬(wàn)為億，萬(wàn)萬(wàn)億為兆，萬(wàn)萬(wàn)兆為京，……

3.自乘進(jìn)位：萬(wàn)萬(wàn)為億，億億為兆，兆兆為京，……

……

這種規(guī)定相當(dāng)繁瑣，又不統(tǒng)一，很容易弄錯(cuò)，所以已被淘汰。現(xiàn)在只剩下“萬(wàn)萬(wàn)為億”還在使用。