宋冠中，葉英華,2，陳圣剛，刁 波

(1.北京航空航天大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191； 2.亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(華南理工大學(xué)),廣州510640)

U型薄壁RC受扭構(gòu)件非線性分析模型及應(yīng)用

宋冠中1，葉英華1,2，陳圣剛1，刁 波1

(1.北京航空航天大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191； 2.亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(華南理工大學(xué)),廣州510640)

為實(shí)現(xiàn)混凝土U型薄壁受扭構(gòu)件的非線性力學(xué)性能分析, 本文基于Vlasov開口薄壁結(jié)構(gòu)彈性理論、變角空間桁架模型和微分方程數(shù)值解法，提出了鋼筋混凝土U型薄壁構(gòu)件受扭非線性分析模型.針對(duì)開口薄壁受扭構(gòu)件同時(shí)存在自由扭轉(zhuǎn)和翹曲扭轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，分別推導(dǎo)了U型薄壁截面自由扭轉(zhuǎn)和翹曲扭轉(zhuǎn)非線性剛度分析模型，進(jìn)而建立了開口薄壁構(gòu)件受扭非線性分析模型.所提出的受扭非線性分析模型同時(shí)考慮了混凝土和鋼筋的材料非線性特性、開口薄壁構(gòu)件的幾何非線性特性和自由扭轉(zhuǎn)與翹曲扭轉(zhuǎn)的耦合效應(yīng).利用所提出的受扭非線性分析模型編制相應(yīng)的分析程序，并對(duì)5個(gè)U型薄壁鋼筋混凝土構(gòu)件進(jìn)行受扭全過程分析，分析結(jié)果與5個(gè)U型薄壁鋼筋混凝土受扭構(gòu)件的試驗(yàn)結(jié)果均吻合較好，從而驗(yàn)證了所提出的U型薄壁鋼筋混凝土構(gòu)件受扭非線性分析模型的正確性.所提出的受扭非線性分析模型具有計(jì)算簡(jiǎn)單和分析精度較高的特點(diǎn)，可進(jìn)行混凝土U型薄壁橋梁受扭非線性分析并為該類橋梁的工程設(shè)計(jì)提供參考.

鋼筋混凝土；U型薄壁梁；扭轉(zhuǎn)；Vlasov理論；桁架模型；微分方程數(shù)值解法

已有的研究成果主要針對(duì)混凝土封閉截面受扭構(gòu)件的自由扭轉(zhuǎn)，其理論基礎(chǔ)為空間桁架模型理論.該理論最早由Rausch[2]于1929年提出，之后被多位學(xué)者發(fā)展完善，如Thurlimann等[3]提出變角空間桁架模型，Mitchell等[4]提出的斜壓場(chǎng)理論，Hsu等[5]提出考慮混凝土軟化的空間桁架模型等等.但是桁架模型僅適用于可以形成封閉剪力環(huán)流的自由扭轉(zhuǎn)情況，對(duì)于開口薄壁構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)問題，空間桁架理論無法單獨(dú)解決.

開口薄壁受扭構(gòu)件的研究成果較為匱乏，目前有參考價(jià)值的文獻(xiàn)僅見Krpan等[6]于1981年完成的U型梁純扭試驗(yàn)研究與抗扭承載力的理論分析，以及Luccioni等[7]運(yùn)用轉(zhuǎn)化矩陣方法建立的U型薄壁構(gòu)件受扭分析模型.但是，上述分析模型僅考慮了翹曲彎矩效應(yīng)，沒有考慮翹曲扭轉(zhuǎn)與自由扭轉(zhuǎn)的耦合效應(yīng).

本文基于Vlasov開口薄壁梁彈性理論與受扭空間桁架模型，推導(dǎo)了鋼筋混凝土U型薄壁截面受扭構(gòu)件非線性分析模型，該模型既考慮了鋼筋混凝土材料非線性本構(gòu)關(guān)系，也兼顧了薄壁構(gòu)件幾何非線性變形特征以及開口構(gòu)件翹曲扭轉(zhuǎn)與自由扭轉(zhuǎn)的耦合效應(yīng).利用所編制的分析程序，對(duì)5根鋼筋混凝土U型薄壁受扭構(gòu)件進(jìn)行全過程分析，分析結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好.

1 模型推導(dǎo)

1.1 總體思路與基本假定

根據(jù)Vlasov彈性開口薄壁梁理論，截面自由扭矩和翹曲扭矩可分別按下列公式計(jì)算：

Ts=GKφ′(z),

(1)

Tω=-EIωωφ?(z).

(2)

式中：Ts為自由扭矩，Tω為翹曲扭矩，E與G分別為材料的彈性模量與剪切模量，K與Iωω分別表示截面的極慣性矩與主扇性慣性矩，φ表示截面的扭轉(zhuǎn)角.乘積GK稱為截面的自由扭轉(zhuǎn)剛度，乘積EIωω稱為截面的翹曲扭轉(zhuǎn)剛度.受扭構(gòu)件任意截面的總扭矩等于該截面的自由扭矩與翹曲扭矩之和，由此得到截面平衡微分方程：

GKφ′(z)-EIωωφ?(z)=T(z).

(3)

上式描述了U型薄壁純扭構(gòu)件任意截面的平衡關(guān)系，其中GK與EIωω的計(jì)算包含了截面的幾何關(guān)系與材料的本構(gòu)關(guān)系，微分方程(3)描述了一個(gè)受扭變形場(chǎng)，當(dāng)邊界條件確定后，微分方程的解會(huì)給出構(gòu)件整體扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力的分布情況.

對(duì)于彈性勻質(zhì)構(gòu)件，各截面的剛度GK與EIωω保持恒定，所以上述微分方程是線性微分方程，可以得到解析解.對(duì)于鋼筋混凝土構(gòu)件，由于混凝土裂縫發(fā)展造成截面剛度損失，各截面的剛度GK與EIωω會(huì)隨著截面內(nèi)力與變形的增大而不斷衰減，換言之，GK與EIωω是截面扭轉(zhuǎn)變形量(扭轉(zhuǎn)角φ及其各階導(dǎo)數(shù))的函數(shù).所以對(duì)于鋼筋混凝土構(gòu)件，微分方程(3)會(huì)表現(xiàn)為復(fù)雜的非線性微分方程形式，且很難得到解析解，如式(4)所示.

GK(φ,φ′,φ″,φ?)φ′(z)-

EIωω(φ,φ′,φ″,φ?)φ?(z)=T(z).

(4)

綜上可見，如果通過截面分析分別建立截面翹曲扭轉(zhuǎn)剛度EIωω與自由扭轉(zhuǎn)剛度GK隨截面扭轉(zhuǎn)變形的變化規(guī)律，那么結(jié)合式(4)可以得到受扭構(gòu)件截面平衡微分方程的顯式形式，然后通過微分方程的數(shù)值解法可以得到方程(4)得到數(shù)值解進(jìn)而得到構(gòu)件受力和變形的詳細(xì)情況.以上便是本文模型推導(dǎo)的總體思路，它包含了3個(gè)層次：截面翹曲扭轉(zhuǎn)剛度分析，截面自由扭轉(zhuǎn)剛度分析，截面平衡微分方程的建立與求解.具體推導(dǎo)過程詳見1.2～1.4，另外，本文推導(dǎo)過程基于以下假定：

1)剛周邊假定.截面外形輪廓線在自身平面內(nèi)保持剛性，但可以產(chǎn)生出平面翹曲；

2)鋼筋與混凝土之間充分粘結(jié)，無相對(duì)滑移；

3)認(rèn)為翹曲扭轉(zhuǎn)剛度主要受翹曲正應(yīng)力影響，而自由扭轉(zhuǎn)剛度主要受自由扭矩和翹曲扭矩引起的剪應(yīng)力的影響.

1.2 截面的翹曲扭轉(zhuǎn)剛度

由前面的總體思路可知，本小節(jié)的中心任務(wù)是推導(dǎo)求解U型薄壁構(gòu)件任意截面翹曲扭轉(zhuǎn)剛度隨扭轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律.

1.2.1 截面幾何協(xié)調(diào)方程與翹曲平衡方程

根據(jù)Vlasov理論，U型薄壁構(gòu)件受扭時(shí)，截面會(huì)產(chǎn)生線性分布的縱向翹曲正應(yīng)變，當(dāng)構(gòu)件縱向變形被約束時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力，見圖1.截面上任意一點(diǎn)處的翹曲正應(yīng)變按式(5)求解.

εω=φ″(z)ω(s).

(5)

式中：εω表示任意點(diǎn)的翹曲正應(yīng)變，φ表示該截面扭轉(zhuǎn)角，ω表示該點(diǎn)的主扇性坐標(biāo).主扇性坐標(biāo)是一類面積坐標(biāo)，見圖2.任意點(diǎn)P的主扇性坐標(biāo)的幾何含義為：由極點(diǎn)M向弧長(zhǎng)坐標(biāo)s處的主扇性零點(diǎn)O1引連線并沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到P所掃過面積的兩倍.圖2給出了3類坐標(biāo)系的示意圖：直角坐標(biāo)系(x，y，z)、弧長(zhǎng)坐標(biāo)系(s，z)、扇性坐標(biāo)系(ω，s).每種坐標(biāo)系均可以定位構(gòu)件任意截面上的任意點(diǎn).由式(5)可知，任意截面翹曲正應(yīng)變的分布規(guī)律與主扇性坐標(biāo)ω相同.

對(duì)于彈性勻質(zhì)截面，翹曲正應(yīng)力σω可按式(6)計(jì)算，式中E為材料彈性模量.σω乘以相應(yīng)主扇性坐標(biāo)ω后對(duì)整個(gè)截面進(jìn)行面積積分可以得到翹曲彎矩Mω，見式(7).

σω=Eφ″(z)ω(s),

(6)

Mω=-EIωωφ″(z),

(7a)

(7b)

翹曲彎矩Mω可類比初等彎曲理論中的彎矩，這里主扇性坐標(biāo)ω起到了力臂的作用.面積積分Iωω稱為主扇性慣性矩，是一類截面幾何參數(shù).通過式(2)與(7a)可以發(fā)現(xiàn)，翹曲彎矩Mω與翹曲扭矩Tω之間存在導(dǎo)數(shù)關(guān)系.

圖1 U型薄壁受扭構(gòu)件翹曲正應(yīng)力分布

Fig.1 Distribution of warping normal stress in U-shaped thin-walled member under pure torsion

圖2 主扇性坐標(biāo)示意

1.2.2 混凝土和鋼筋的材料本構(gòu)關(guān)系

混凝土受壓采用Vecchio與Collins于1982年提出的軟化本構(gòu)關(guān)系：

(8a)

(8b)

式中:fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度;對(duì)于一般混凝土，ε0=0.002,εu=0.003 3;λ為混凝土受壓軟化系數(shù),對(duì)于單軸受壓狀態(tài)，λ=1.在處理翹曲問題時(shí)，可按照λ=1對(duì)應(yīng)的單軸受壓本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.

采用式(9)所示的江見鯨等[8]受拉混凝土本構(gòu)關(guān)系，即受拉開裂前應(yīng)力應(yīng)變呈線性關(guān)系，開裂后應(yīng)力呈指數(shù)衰減.

(9a)

σr=fte-α(εr-εcr),εr>εcr.

(9b)

式中：ft為混凝土軸心抗拉強(qiáng)度，εcr為混凝土開裂應(yīng)變，α為與混凝土斷裂能相關(guān)的參數(shù)，對(duì)普通混凝土α=10 000.

鋼筋采用式(10)所示的本構(gòu)關(guān)系：

σs=Esεs,εs≤εy;

(10a)

(10b)

式中：fy和fu分別為鋼筋的屈服強(qiáng)度和極限強(qiáng)度，εy和εu分別為相應(yīng)的屈服應(yīng)變和極限應(yīng)變.

1.2.3 截面翹曲剛度的非線性描述

1.2.1節(jié)中的公式是基于彈性勻質(zhì)構(gòu)件推導(dǎo)出的.對(duì)于非線性特征較強(qiáng)的鋼筋混凝土構(gòu)件，還需考慮以下兩方面問題：1)將鋼筋與混凝土兩種剛度相差很大的材料等效為均質(zhì)材料；2)隨著荷載增大，截面混凝土開裂造成材料參數(shù)與幾何參數(shù)持續(xù)弱化，截面形心C與主扇性極點(diǎn)M的位置，主扇性坐標(biāo)ω的分布會(huì)相應(yīng)地變化，截面剛度不斷衰減，這同時(shí)包含了材料非線性問題與薄壁構(gòu)件幾何非線性問題.

針對(duì)上述問題，本小節(jié)引入截面條帶積分算法和條帶面積的等剛度變換方法來解決鋼筋與混凝土的材料等效問題.在等效均質(zhì)材料的基礎(chǔ)上,通過材料非線性本構(gòu)關(guān)系式(8)～(10)并結(jié)合均質(zhì)截面形心與主扇性極點(diǎn)位置的計(jì)算方法來考慮材料非線性與幾何非線性問題，建立了描述截面翹曲變形與內(nèi)力的非線性方程組.最后通過割線剛度法求解所建立的非線性方程組，得出截面翹曲扭轉(zhuǎn)剛度隨截面扭轉(zhuǎn)變形的衰減規(guī)律曲線.截面條帶劃分按照?qǐng)D3所示方法進(jìn)行，條帶寬度取5 mm，然后按照式(11)對(duì)條帶面積進(jìn)行等剛度變換.

(11)

式中：Aei為第i條條帶變換后的折算面積，Asi為第i條條帶中鋼筋的截面積，Aci為第i條條帶中混凝土的面積，Esec_c(ε)與Esec_s(ε)分別為根據(jù)本構(gòu)關(guān)系(8)～(10)計(jì)算出的當(dāng)前應(yīng)變下混凝土與鋼筋的割線模量，E0為混凝土初始彈性模量.

圖3 條帶劃分

完成截面條帶劃分與等效剛度變換后，截面積分可以離散成求和形式，如截面扇性慣性矩Iωω可按式(12)計(jì)算，式中Aei指第i條條帶的折算面積.式(12)乘以混凝土初始彈性模量E0即為截面當(dāng)前受力狀態(tài)下的翹曲扭轉(zhuǎn)剛度EIωω.

(12)

隨著荷載增加，截面形心C與主扇性極點(diǎn)M不斷移動(dòng)，主扇性坐標(biāo)ω的分布隨之變化，截面翹曲扭轉(zhuǎn)剛度EIωω不斷衰減，因此每一級(jí)荷載下形心C的位置可以由式(13a)與(13b)確定：

(13a)

(13b)

式中：xc與yc為形心C的直角坐標(biāo)，xi與yi為第i條條帶形心處的直角坐標(biāo).以當(dāng)前截面形心C為極點(diǎn)，截面上任意一點(diǎn)為零點(diǎn)，建立輔助扇性坐標(biāo)系ωA.根據(jù)Vlasov理論，當(dāng)前主扇性極點(diǎn)M的位置可以由輔助扇性坐標(biāo)系ωA和全局直角坐標(biāo)系Oxy來確定，參見式(13c)～(13e)：

(13c)

(13d)

(13e)

式中：ax與ay為主扇性極點(diǎn)M與輔助扇形極點(diǎn)C之間的直角坐標(biāo)差值;ax、ay、xc、yc四個(gè)參數(shù)即可確定當(dāng)前受力狀態(tài)下主扇性極點(diǎn)M的位置;β為主扇性零點(diǎn)在輔助扇性坐標(biāo)系ωA中的扇性坐標(biāo)，用來確定主扇性零點(diǎn)的位置.公式(13c)～(13e)等號(hào)右側(cè)是全局直角坐標(biāo)系Oxy中各類截面面積積分，以及輔助扇性坐標(biāo)系ωA中各類扇性面積積分，這些幾何參數(shù)均可由離散條帶求和的方法計(jì)算：

(13f)

(13g)

(13h)

以后文所述TWB-A試驗(yàn)梁為例(尺寸見表1與圖15)，圖4(a)為截面不受力時(shí)主扇性坐標(biāo)ω分布圖，圖4(b)為扭矩70 kN·m時(shí)計(jì)算的ω分布圖.可見，扭矩70 kN·m時(shí)相對(duì)于初始位置, 形心C向右和向上分別移動(dòng)了37.3 mm和17.1 mm，主扇性極點(diǎn)M向左和向上分別移動(dòng)了114.1 mm和24.7 mm，說明截面幾何參數(shù)發(fā)生了顯著變化.

式(5)～(13)構(gòu)成了描述截面翹曲內(nèi)力與變形關(guān)系的非線性方程組，本文采用割線剛度迭代法求解該方程組，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的計(jì)算程序，程序流程參見圖5.

圖4 截面主扇性坐標(biāo)的分布

同樣以TWB-A試驗(yàn)梁截面為例，按照上述算法可計(jì)算出U型構(gòu)件任意截面翹曲扭轉(zhuǎn)剛度EIωω隨φ″的衰減曲線，見圖6.為了方便后文建立和求解構(gòu)件平衡微分方程，可以運(yùn)用最小二乘法將計(jì)算出的散點(diǎn)擬合成EIωω關(guān)于φ″的顯式函數(shù)，具體過程不再贅述.

1.3 截面的自由扭轉(zhuǎn)剛度

同樣由總體思路可知，本小節(jié)的中心任務(wù)是推導(dǎo)求解U型薄壁構(gòu)件任意截面自由扭轉(zhuǎn)剛度隨扭轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律.由假定(3)可知，截面的自由扭轉(zhuǎn)剛度GK主要受截面剪應(yīng)力的影響.而自由扭矩Ts與翹曲扭矩Tω的聯(lián)合作用使截面剪力流的分布比較復(fù)雜：自由扭矩Ts引起沿截面均勻分布，內(nèi)外壁方向相反的閉合剪應(yīng)力環(huán)流qs，見圖7(a)；翹曲扭矩Tω引起的剪力流qω沿壁厚方向均勻分布，沿弧長(zhǎng)坐標(biāo)s方向變化且不閉合，見圖7(b).為了簡(jiǎn)化分析，這里計(jì)算qω的平均值.

圖5 翹曲扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算程序流程圖

Fig.5 Flowchart of calculation program for warping torsional stiffness

圖6 翹曲扭轉(zhuǎn)剛度EIωω衰減規(guī)律(TWB-A)

圖7 截面剪力流分布

根據(jù)空間桁架理論，將U型薄壁截面等效成圖8所示的3塊空心平板[9-10]，截面在Ts與Tω的聯(lián)合作用下會(huì)形成圖8所示的剪力流，qω與qs可出現(xiàn)三類不同的疊加情況.根據(jù)剪力流的大小，可把空心平板的側(cè)壁分為三類薄片，編號(hào)為①、②、③，相應(yīng)剪力流的大小分別為q1、q2、q3，記為qi(i=1,2,3)；相應(yīng)薄片的有效厚度為t1、t2、t3，記為ti(i=1,2,3).剪力流的計(jì)算公式為：

(14)

(15)

q1=qs,

(16a)

q2=qs-qω,

(16b)

q3=qs+qω,

(16c)

(16d)

式中：b0和h0分別為截面的寬度和高度，t為薄壁的厚度，k為自由扭矩與翹曲扭矩的比，即k=Ts/Tω，ωi(i=1～6)為構(gòu)件底板和腹板兩端的扇性坐標(biāo)值(即圖8中P1～P6六點(diǎn))，A0為剪力流包圍的面積.根據(jù)剪力流的定義，有如下關(guān)系成立：

qi=τiti.

(17)

圖8 截面簡(jiǎn)化

截面簡(jiǎn)化后，首先分析薄片的內(nèi)力和變形，再將薄片組合即可得到U型截面的內(nèi)力與變形.薄片的組合必須滿足兩個(gè)條件:其一是平衡條件，也即滿足式(17)；其二是協(xié)調(diào)條件，也即各薄片的扭轉(zhuǎn)角必須相同，截面整體的扭轉(zhuǎn)角必須唯一.本節(jié)會(huì)詳細(xì)討論上述計(jì)算過程，著重求解自由扭轉(zhuǎn)剛度GK隨φ′衰減規(guī)律.1.3.1 自由扭轉(zhuǎn)時(shí)截面變形協(xié)調(diào)條件

薄片的應(yīng)變分量必須滿足變形協(xié)調(diào)條件，首先根據(jù)假定(2)，混凝土與鋼筋具有相同的縱向應(yīng)變和橫向應(yīng)變，如式(18)所示.

εlc=εls,εtc=εts.

(18)

式中：εlc與εls分別為混凝土與鋼筋的縱向應(yīng)變，統(tǒng)一記為εl；εtc與εts分別為混凝土與鋼筋的橫向應(yīng)變，統(tǒng)一記為εt.此外，每塊薄片單元中的縱向應(yīng)變?chǔ)舕、橫向應(yīng)變?chǔ)舤、剪應(yīng)變?chǔ)眠€需滿足應(yīng)變莫爾圓關(guān)系，見圖9.

圖9 莫爾應(yīng)變圓

圖9中，εd為混凝土的主壓應(yīng)變，εr為混凝土的主拉應(yīng)變，α為主壓應(yīng)變方向與構(gòu)件縱向的夾角，εr以受拉為正，εd受壓為正.這里增加下標(biāo)i區(qū)分不同薄片，比如薄片1、2、3中相應(yīng)的混凝土主壓應(yīng)變統(tǒng)一記為εdi(i=1,2,3).

1.3.2 自由扭轉(zhuǎn)時(shí)截面平衡條件

忽略鋼筋的栓銷作用，則剪應(yīng)力均由混凝土承受，由薄片單元縱向與橫向受力平衡可得：

σl=ρlσls,

(19)

σt=ρtσts.

(20)

式中：σl與σt為混凝土的縱向應(yīng)力與橫向應(yīng)力，σls與σts分別為縱向鋼筋與橫向箍筋中的應(yīng)力，ρl與ρt分別為縱向鋼筋與橫向箍筋的配筋率.根據(jù)空間桁架理論，混凝土受剪會(huì)產(chǎn)生斜裂縫，斜裂縫將混凝土分成多個(gè)斜壓桿，其方向與主壓應(yīng)力方向一致，見圖10，圖中各應(yīng)力分量還須滿足莫爾應(yīng)力圓條件，見圖11，圖11中應(yīng)力分量的命名規(guī)則與莫爾應(yīng)變圓相同.

圖10 混凝土受力單元

圖11 莫爾應(yīng)力圓

1.3.3 混凝土和鋼筋的材料非線性本構(gòu)關(guān)系

材料本構(gòu)關(guān)系的選用與1.2.2中式(8)～(10)相同，不過這里混凝土處于二向應(yīng)力狀態(tài)，由于主拉應(yīng)變的存在，混凝土在主壓應(yīng)力方向上會(huì)發(fā)生軟化現(xiàn)象，所以這里軟化系數(shù)λ>1，并且與主拉應(yīng)變的大小相關(guān)，需要按照式(21)進(jìn)行計(jì)算[11].

(21)

1.3.4 自由扭轉(zhuǎn)時(shí)截面剛度的非線性描述

將鋼筋本構(gòu)關(guān)系(10)分別代入式(19)、(20)消去σls與σts，并結(jié)合圖9、11所示的莫爾應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可得：

(22)

(23)

上式中Es為鋼筋的彈性模量.經(jīng)上述代換，可以形成5個(gè)獨(dú)立方程式，包括材料本構(gòu)關(guān)系式(8)、(9)、(21)以及內(nèi)力變形關(guān)系式(22)、(23)，其中包含6個(gè)獨(dú)立變量：εd、εr、σd、σr、λ、α，給定任意一個(gè)變量就可以求出其余5個(gè)變量.本文給定εd，通過解上述方程組求得其余5個(gè)變量，進(jìn)而根據(jù)莫爾圓求得剪應(yīng)力τ與剪應(yīng)變?chǔ)?，這在后文的計(jì)算程序會(huì)有體現(xiàn).

根據(jù)空間桁架理論，單塊薄板的扭轉(zhuǎn)角可按照式(24)計(jì)算；截面整體的扭轉(zhuǎn)角可按照Bredt薄管理論由剪應(yīng)變的曲線積分得到，參見式(25).

(24)

∮lγds=2A0φ′.

(25)

結(jié)合圖9，式(25)可化簡(jiǎn)為：

(26)

式(26)中γ1、γ2、γ3分別為薄片①、②、③中混凝土的剪應(yīng)變.如果截面滿足協(xié)調(diào)條件，則分別按照式(24)與(26)計(jì)算出的φ′相等.至此，可以總結(jié)得到求解U型薄壁構(gòu)件任意截面GK-φ′曲線的算法，算法流程見圖12.

以TWB-A試驗(yàn)梁為例，圖13是該梁任意截面按上述算法及割線迭代方法[12-13]得到的GK隨φ′的衰減曲線.計(jì)算結(jié)果十分接近雙折線，同樣可以用最小二乘法擬合成GK關(guān)于φ′的顯式函數(shù).

1.4 純扭構(gòu)件任意截面平衡微分方程

1.2與1.3小節(jié)分別得到了EIωω-φ″與GK-φ′全過程曲線，將所得的剛度函數(shù)代入式(3)可以建立描述構(gòu)件整體變形場(chǎng)的微分方程：

Fs(φ′)φ′(z)-Fω(φ″)φ?(z)=T(z).

(27)

上式中Fs代表按照1.3小節(jié)中算法求得的自由扭轉(zhuǎn)剛度函數(shù)，F(xiàn)ω代表按照1.2小節(jié)中方法求得的翹曲扭轉(zhuǎn)剛度函數(shù).

一般來說，按照式(27)所建立的微分方程是高階非線性微分方程，很難得到解析解，但是可以利用數(shù)值方法求解.本節(jié)采用經(jīng)典四階龍格—庫(kù)塔(Runge-Kutta)方法求解微分方程在結(jié)點(diǎn)處的數(shù)值解，并編制了相應(yīng)的計(jì)算程序，求解步長(zhǎng)取0.1 m.至此全部計(jì)算模型與求解算法已構(gòu)建完畢，整個(gè)計(jì)算過程需要按順序執(zhí)行本文提出的翹曲扭轉(zhuǎn)計(jì)算程序、自由扭轉(zhuǎn)計(jì)算程序、非線性微分方程求解程序3個(gè)程序模塊，程序總運(yùn)算時(shí)間需要15 min.

圖12 自由扭轉(zhuǎn)計(jì)算程序總流程圖

圖13 自由扭轉(zhuǎn)剛度GK衰減規(guī)律(TWB-A)

Fig.13 Attenuation law of Saint Venant torsional stiffnessGK(TWB-A)

2 非線性分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

為驗(yàn)證所提出計(jì)算模型的準(zhǔn)確性，運(yùn)用上述算法對(duì)5根U型薄壁試驗(yàn)梁進(jìn)行了全過程模擬分析.5根試驗(yàn)梁的編號(hào)為TWB-A～TWB-E，其中TWB-C由Collins于1981年設(shè)計(jì)完成，其余4根由本項(xiàng)目組設(shè)計(jì)并完成試驗(yàn)[14].試驗(yàn)梁的示意圖與材料參數(shù)見圖14與表1.表1中fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度，fy為鋼筋屈服強(qiáng)度，單位均為MPa，d代表鋼筋直徑，單位為mm.

圖14 試驗(yàn)梁示意

試件fc/MPa縱筋強(qiáng)度箍筋強(qiáng)度d/mmfy/MPad/mmfy/MPaTWB-A408．03536．0248TWB-B418．03536．0248TWB-C5215．96．43483626．4362TWB-D5010．05766．0288TWB-E5110．05766．0288

5根試驗(yàn)梁均采取兩端固結(jié)、跨中施加集中扭矩的邊界條件.圖15給出了5根試驗(yàn)梁的扭矩-轉(zhuǎn)角曲線的試驗(yàn)結(jié)果和模擬分析結(jié)果.總體上計(jì)算曲線與試驗(yàn)曲線吻合良好，但在接近峰值荷載處，扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算值小于試驗(yàn)值.造成這種現(xiàn)象的主要原因是試驗(yàn)梁同批次的混凝土僅測(cè)定了彈性模量和棱柱體抗壓強(qiáng)度，而屈服應(yīng)變和極限壓應(yīng)變均按照規(guī)范取值，可能使所選用的混凝土本構(gòu)關(guān)系剛度偏大，從而導(dǎo)致扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算值偏小.

表2對(duì)比了出現(xiàn)彎曲裂縫荷載、斜裂縫荷載、屈服荷載以及極限荷載的計(jì)算值與試驗(yàn)值，表中Texp為試驗(yàn)值，Tcalc為計(jì)算值，單位kN·m.除TWB-A的斜裂縫荷載計(jì)算值與試驗(yàn)值差距較大外，U型薄壁構(gòu)件的彎曲裂縫荷載、縱筋屈服荷載和極限荷載的試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果均吻合較好.表2中4項(xiàng)(共20個(gè)數(shù)據(jù))試驗(yàn)值與計(jì)算值比值的平均值為1.014，標(biāo)準(zhǔn)差為0.127，變異系數(shù)為0.126.

圖15 扭矩-轉(zhuǎn)角試驗(yàn)曲線與分析曲線

試件彎曲開裂荷載斜裂縫荷載縱筋屈服荷載極限承載力Texp/(kN·m)Tcalc/(kN·m)比值Texp/(kN·m)Tcalc/(kN·m)比值Texp/(kN·m)Tcalc/(kN·m)比值Texp/(kN·m)Tcalc/(kN·m)比值TWB-A17．2919．130．90456．0037．731．48485．0087．900．967147．0143．11．027TWB-B19．3019．131．00936．0037．730．95490．0087．901．023151．0143．11．055TWB-C23．0021．121．08939．0036．641．064191．0183．81．039266．0260．91．020TWB-D20．0020．880．95836．0038．350．93894，34103．30．913207．8204．41．017TWB-E22．0020．881．05432．0038．350．83498．20103．30．950199．7204．40．977

3 結(jié) 論

1)基于Vlasov開口薄壁梁理論和空間桁架模型, 本文推導(dǎo)建立了U型薄壁鋼筋混凝土受扭構(gòu)件非線性分析模型,該模型考慮了材料非線性和薄壁幾何非線性問題，同時(shí)兼顧了自由扭轉(zhuǎn)與翹曲扭轉(zhuǎn)的耦合作用效應(yīng).

2)編制了與分析模型相應(yīng)的分析程序，并對(duì)5根U型薄壁鋼筋混凝土受扭試驗(yàn)梁進(jìn)行了非線性全過程分析.分析結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)均吻合較好，從而驗(yàn)證了所提非線性分析模型的正確性.

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Nonlinear analysis model and application of RC U-shaped thin-walled members under pure torsion

SONG Guanzhong1, YE Yinghua1,2, CHEN Shenggang1, DIAO Bo1

(1.School of Transportation Science and Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China; 2.State Key Laboratory of Subtropical Building Science(South China University of Technology), Guangzhou 510640,China)

To analyze the nonlinear mechanical behavior of concrete U-shaped thin-walled beams under pure torsion, a nonlinear analysis model was suggested based on Vlasov’s elastic theory for open thin-walled beams, space truss model and numerical method of differential equation. Aiming at the character that Saint Venant torsion and warping torsion coexist in open thin-walled members, the nonlinear analysis models of the Saint Venant torsion stiffness and warping torsion stiffness of U-shaped cross-section were respectively derived, and nonlinear analysis model of open thin-walled members in pure torsion was derived. The nonlinear material constitutive laws of concrete and steel bars, the geometric nonlinearity of open thin-walled members, and the coupling effect of Saint Venant torsion and warping torsion were considered in the derived nonlinear analysis model. The corresponding analysis program was developed by using the derived nonlinear analysis mode under pure torsion. And 5 existing RC U-shaped thin-walled experimental members under pure torsion were analyzed with the derived nonlinear analysis model. Nonlinear analysis results correspond well with the experimental data. Analysis results confirm that the nonlinear analysis model derived here is correct. The derived nonlinear analysis model is simple and precise, the torsion nonlinear responses of concrete U-shaped thin-walled beam can be analyzed by the derived nonlinear analysis model, and it will provide a technical reference for the engineering design of such concrete members.

reinforced concrete; thin-walled U-shaped beam; torsion; theory of Vlasov; space truss model; numerical method of differential equation

(編輯 趙麗瑩)

10.11918/j.issn.0367-6234.201508081

2015-08-25

國(guó)家自然科學(xué)基金(51278020)； 亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室重點(diǎn)項(xiàng)目(2015ZA03)

宋冠中(1991—)，男，碩士研究生； 葉英華(1959—)，男，教授，博士生導(dǎo)師

刁 波，diaobo@buaa.edu.cn

TU375

A

0367-6234(2017)06-0040-08