田芳

數(shù)運算能力是幼兒數(shù)學認知能力的重要組成部分，也是幼兒深入理解數(shù)學知識體系以及解決日常問題情境的基礎能力之一，主要反映的是幼兒在數(shù)概念學習的基礎上對數(shù)和數(shù)之間組合與分解以及數(shù)量變化的理解。《3～6歲兒童學習與發(fā)展指南》明確提出，5～6歲幼兒應“借助實際情境和操作（如合并或拿?。├斫狻雍汀疁p的實際意義”“能通過實物操作或其他方法進行10以內(nèi)加減運算”。其實，幼兒在日常生活中很早就開始接觸有關(guān)數(shù)運算的問題情境，雖然他們還不會運算，不理解數(shù)字符號、運算符號，但這些真實的生活經(jīng)驗是他們?nèi)蘸髮W習數(shù)運算的重要基礎。

一、兒童“數(shù)運算”核心經(jīng)驗學習與發(fā)展的特點

幼兒數(shù)運算能力的發(fā)展總的來說經(jīng)歷了從具體到抽象的過程，體現(xiàn)了其思維抽象性的不斷發(fā)展。綜合國內(nèi)外有關(guān)研究，幼兒數(shù)運算能力發(fā)展具有以下兩方面的特點?！?〕

1.數(shù)運算能力從動作水平逐步發(fā)展到概念水平

幼兒數(shù)運算能力的發(fā)展是漸進的。幼兒早期在生活中就已能解決簡單的數(shù)量問題，這可以看作是幼兒數(shù)運算能力發(fā)展的初級階段，但這還只是建立在實物情境基礎上的操作，幼兒并沒有形成形象化、穩(wěn)定的認知。一般來說，幼兒的數(shù)運算能力要經(jīng)歷從動作水平的加減到表象水平的加減再到概念水平的加減發(fā)展過程。

動作水平的加減是指幼兒以實物或圖片等直觀材料為工具，借助合并、分開等動作進行加減運算。這也可以說是具體水平的加減，因為幼兒需要借助具體的實物或圖片，通過具體的擺弄、操作才能進行加減的運算。

表象水平的加減是指幼兒逐漸能夠不借助直觀的動作，在頭腦中依靠對形象化物體的再現(xiàn)、物體的表象進行加減運算。在這一階段，幼兒開始往往要借助圖片等具體形象進行運算，然后才能逐漸脫離具體形象，以生活中熟悉的情節(jié)喚起頭腦中的表象，從而理解數(shù)量關(guān)系并進行運算。運用表象進行加減是幼兒加減學習的主要手段，最典型的就是口述應用題。口述應用題以表象為依托，幫助幼兒理解題意、數(shù)量關(guān)系和運算符號，選擇正確的方法進行運算。例如，告訴幼兒“盤子里有2塊餅干，老師又放進了3塊餅干，問現(xiàn)在盤子里有幾塊餅干”，幼兒就能通過回憶生活經(jīng)驗和在頭腦中再現(xiàn)物體形象進行相應的運算。

要依靠抽象的符號進行加減運算則要達到概念水平。概念水平的加減也就是抽象水平的加減，是指幼兒不需要操作實物或依托表象，就能直接運用抽象的數(shù)概念進行加減運算。例如，口述或呈現(xiàn)加法算式“4+1=？”，這個算式已經(jīng)脫離了可以憑借的直觀的實際形象，幼兒只能憑借抽象的數(shù)字來進行運算，這種直接進行口頭或書面的加減算式的運算是最高水平的加減運算。

2.數(shù)運算方法從逐一加減發(fā)展到按數(shù)群加減

幼兒進行加減運算的方法是從逐一加減發(fā)展到按數(shù)群加減的，這體現(xiàn)了幼兒思維抽象性的逐步提高。

逐一加減，就是用計數(shù)方法進行加減運算，這種方法表現(xiàn)在加法運算上往往是將兩組物體合并在一起，再逐一計數(shù)它們一共是幾個，或者以第一個加數(shù)的值為起點，再接著計數(shù)第二個加數(shù)的物體，直到數(shù)完為止。例如，面對“3塊餅干加上2塊餅干”這一加法運算，有的幼兒使用的策略是先合并，再計數(shù)1、2、3、4、5，得出一共是5塊餅干；有的幼兒采用的策略是以3為起點，接著計數(shù)4、5，得出一共有5塊餅干。逐一加減這種方法表現(xiàn)在減法運算上則是先將要減去的物體拿走，再逐一計數(shù)剩下的物體，或從總數(shù)中逐一倒著數(shù)，數(shù)到要減去的數(shù)量為止。例如，要解決“6塊餅干吃掉了4塊，還剩幾塊”的問題時，有的幼兒會直接拿開4塊餅干，再點數(shù)剩下的餅干：1、2，得出還剩2塊；有的幼兒會從6開始接著倒數(shù)：5、4、3、2，得出還剩2塊餅干。顯然，上述例子中幼兒都是通過計數(shù)的策略來進行運算的，其數(shù)運算還處于初級水平。

按數(shù)群加減，是指幼兒能把數(shù)作為一個整體，從抽象的數(shù)群出發(fā)進行數(shù)群間的加減運算。這是以幼兒掌握數(shù)的組成與分解為基礎的，幼兒要在掌握10以內(nèi)數(shù)的組成與分解后才能逐步達到按數(shù)群加減的水平。例如，要解決“5+2等于幾”或“5-2等于幾”的問題時，幼兒如果能夠回憶起5和2合起來是7或5可以分成2和3的經(jīng)驗，就有利于按數(shù)群進行加減運算。

一般來說，幼兒4歲以前基本上不會加減運算，不會自己動手將實物分開或合并進行加減運算，但能解答一些與生活有密切聯(lián)系的應用題。4歲以后，幼兒能借助動作將實物合并或拿開進行加減運算，這種運算不能脫離具體的實物，而且運算的方法是逐一計數(shù)，即通過重新點數(shù)總數(shù)或剩余數(shù)得出結(jié)果。5歲以后，幼兒能夠利用表象進行加減運算，在運算方法上出現(xiàn)了逐一加減。幼兒能把順著數(shù)和倒著數(shù)的方法運用到加減運算中。幼兒在運用這種方法學習加法時，大數(shù)加小數(shù)比小數(shù)加大數(shù)更容易掌握；在學習減法時，減數(shù)小比減數(shù)大更容易掌握。5歲半以后，隨著數(shù)概念的發(fā)展，特別是在學習了數(shù)的組成與分解之后，幼兒不僅能運用數(shù)的組成與分解知識進行加減運算，運用表象解答口頭應用題的能力也得到進一步提高，并擺脫逐一加減的水平，達到按數(shù)群運算的水平。幼兒運用加減運算方法上的進步，實質(zhì)上也反映了幼兒在加減運算中思維抽象性的發(fā)展。

二、教師支持兒童獲得“數(shù)運算”核心經(jīng)驗的策略

1.通過實物操作和情境創(chuàng)設，引導幼兒用數(shù)運算方法解決問題

關(guān)于數(shù)運算的問題，許多研究者都主張采用“解決問題”的教學方式（Carpenter，Care&Kouba，1990； Nelson

&Kirkpatrick，1988）。所謂“解決問題”的教學方式，是指引用生活實例或設計仿真實世界的情境問題（如，亮亮收集了6輛小汽車模型，他還要收集幾輛小汽車模型，才能和聰聰一樣總共有10輛），容許幼兒運用各種不同方式（如操作實物、演示、扳手指、在紙上畫圖作記號、討論、運用計數(shù)技巧等）解答問題，以充分探索加減概念，在幼兒充分理解后，才引入抽象的符號“+”“-”“=”?！?〕幼兒早期對數(shù)運算概念的探索并不局限于加、減，有時甚至會涉及乘、除，這時重要的是讓幼兒在生活中或?qū)嶋H情境中進行操作，解決問題。例如，在餐點時間，每個小組分到8塊點心，一個小組4人，每人可以分到幾塊？這其中實際上涉及了除法問題。3～6歲幼兒并不了解除法，但很多幼兒卻能在實際情境中進行模擬分配，這就把除法與真實情境聯(lián)系起來了，這樣的數(shù)運算就非常有意義。

在幼兒只學會簡單的計數(shù)或在幼兒還沒有完全掌握計數(shù)策略，就直接引進數(shù)運算，這種做法是不符合幼兒數(shù)認知發(fā)展的特點的。在學習加減運算之前，教師必須讓幼兒充分了解數(shù)字間的關(guān)系，為加減運算做好鋪墊，否則幼兒靠記憶策略完成運算是沒有意義的。因此，除了集體數(shù)學活動外，教師更需要在幼兒的生活和游戲中滲透數(shù)運算，讓幼兒有大量操作的機會，加深理解。此外，餐點時間分點心等也是幼兒學習數(shù)的組成與分解的好時機；帶有圖案、點子、數(shù)字的卡片是很好的玩教具，可以反復利用，既體現(xiàn)了數(shù)的多元表征，又可讓幼兒在游戲中體驗數(shù)字關(guān)系。

2.基于多元表征的理念，以多種形式促進幼兒數(shù)運算能力的發(fā)展

幼兒加減運算能力的發(fā)展有三個階段的水平：即動作水平、表象水平、概念水平，符合幼兒從具體到抽象的認知發(fā)展規(guī)律。相應地，在有關(guān)數(shù)運算的集體教學活動中，教師通常會根據(jù)幼兒年齡的增長和數(shù)運算水平的提高，先后實施實物加減教學、口述應用題教學和列式運算教學。這三種教學形式側(cè)重的數(shù)學表征形式各不相同，實物加減教學側(cè)重的是實物情境表征和教具模型表征，口述應用題教學側(cè)重的是口語表征，列式運算教學側(cè)重的是符號表征和圖形圖表表征。在數(shù)運算教學中，這三種教學形式在很多情況下往往會被割裂開來分別呈現(xiàn)，通常最后會以能否進行列式運算來衡量幼兒的數(shù)運算能力。幼兒數(shù)運算能力的發(fā)展是一個復雜的螺旋式上升的過程，根據(jù)多元表征的理念，數(shù)學教學不應僅僅以幼兒能夠認知、操作數(shù)學符號為目的。幼兒如果缺乏實物情境表征、動作表征、口語表征等形式的表征經(jīng)驗，即使能進行列式運算，也可能只是機械記憶數(shù)學符號，而并不理解算式所表示的含義。因此，衡量幼兒數(shù)運算發(fā)展水平的關(guān)鍵在于：能夠感知與發(fā)現(xiàn)隱含在情境中的數(shù)運算問題，能夠?qū)?shù)運算進行多種形式的表征，以及能夠靈活地進行數(shù)運算的多種表征形式之間的聯(lián)系與遷移。

教師在設計活動時，可以基于多元表征的理念，以多種形式促進幼兒對數(shù)運算的理解。例如，基于實物表征、動作表征和口語表征，教師可以提供多種材料以融合實物加減教學和口述應用題教學，讓幼兒初步感知具體情境中的數(shù)運算問題。隨著幼兒對數(shù)運算的理解的加深，教師可以在實物加減教學和口述應用題教學的基礎上引入列式運算教學，鼓勵幼兒運用數(shù)學符號來表征故事情節(jié)中的數(shù)運算，培養(yǎng)幼兒的符號表征能力，或引導幼兒根據(jù)算式創(chuàng)編故事及口述應用題，以培養(yǎng)幼兒雙向轉(zhuǎn)化的表征能力。到了大班下學期，當幼兒抽象水平的數(shù)運算能力逐漸增強時，教師可引導幼兒根據(jù)算式創(chuàng)編口述應用題，這本質(zhì)上是一個從實物情境表征向符號表征轉(zhuǎn)化的反操作，是抽象到具體的轉(zhuǎn)化，一方面能夠培養(yǎng)幼兒思維的逆向性和靈活性，另一方面也能促進幼兒在同一個數(shù)運算的不同表征形式之間靈活地進行轉(zhuǎn)換，從而達到使幼兒真正理解數(shù)運算的目的。例如，在表演故事《姜餅人》的過程中，起初，教師可引導幼兒發(fā)現(xiàn)和歸納出人數(shù)增加時數(shù)量變化的算式。在幼兒熟悉故事后，教師就可以不借助故事本身，讓幼兒嘗試看著算式創(chuàng)編故事情境，即從實物表征向符號表征轉(zhuǎn)換，再由符號表征轉(zhuǎn)化為故事情境，從具體到抽象，再由抽象逆向轉(zhuǎn)化到具體情境，建構(gòu)起不同表征形式之間的聯(lián)系。多元表征是幼兒學習數(shù)運算的有效途徑，也是幼兒真正理解數(shù)運算的反映。

3.借助數(shù)的組成和口述應用題的方法，促進幼兒抽象數(shù)運算能力的發(fā)展

幼兒在積累大量的實物操作和情境化練習的經(jīng)驗后，就會進一步理解加減的實質(zhì)，以及符號和算式的意義，這會成為他們理解抽象數(shù)量關(guān)系的基礎。同時，隨著年齡的增長，幼兒的抽象思維能力會不斷提高。因此，教幼兒學習數(shù)的組成與分解，使之成為抽象加減運算的基礎，可提高幼兒運算的抽象思維水平，為日后更深層次地學習數(shù)運算打下堅實的基礎。

在引導幼兒運用數(shù)的組成與分解學習加減時，首先要讓幼兒熟練掌握10以內(nèi)數(shù)的組成與分解，如4的組成與分解、5的組成與分解，將數(shù)的組成與分解作為加減運算的工具和基礎。其次要引導幼兒從學習數(shù)的組成與分解過渡到學習加減。在幼兒掌握10以內(nèi)數(shù)的組成與分解后，教師可引導幼兒用某一個數(shù)的組成與分解來嘗試表征加和減，可以與幼兒討論或作出示范，也可以列出算式引導幼兒表達。例如，列出“1+2=3”后，引導幼兒說：“1和2合起來是3，所以‘1+2=3。”在這種抽象表征的過程中，教師要引導幼兒逐漸建立起從組成到加法和由加法到組成的運算模式，從而使數(shù)的組成真正成為數(shù)運算的基礎。同時，教師可以使用多樣化的方式引導幼兒探索數(shù)的分解與減法的關(guān)系。

運用數(shù)的組成與分解來理解加減，標志著幼兒加減運算能力已由具體和表象水平上升到抽象水平?！?〕但是，這并不代表幼兒已經(jīng)完全能夠進行概念水平的加減。教師可以適時地引導幼兒在實物操作、口述應用題和數(shù)的組成與分解以及加減運算之間建立聯(lián)系，鼓勵幼兒基于操作或口述應用題的問題情境列出算式。在幼兒熟練后，教師可轉(zhuǎn)換形式，出示算式引導幼兒嘗試自編口述應用題，這是一種更為抽象的數(shù)概念水平。這樣在口述應用題（問題情境）、數(shù)的組成、算式之間進行反復轉(zhuǎn)換，會有效地增強幼兒在概念水平上對數(shù)運算的理解，進一步促進幼兒靈活運用加減法。

綜合上述教師支持幼兒獲得“數(shù)運算”核心經(jīng)驗的策略，我們可以看出，無論是在集體活動中還是在區(qū)角活動或日常活動中，教師的指導更多的是要采用“解決問題”的教學方式，遵循幼兒數(shù)運算概念的發(fā)展軌跡，符合《3～6歲兒童學習與發(fā)展指南》的基本理念和幼兒認知發(fā)展特點。幼兒數(shù)運算能力的發(fā)展是一個復雜的過程，需要以良好的數(shù)感和豐富的數(shù)數(shù)經(jīng)驗為基礎，過分關(guān)注紙筆操作和機械記憶，必然會使幼兒數(shù)運算學習失去意義。因此，教師應該更關(guān)注幼兒對數(shù)學問題的理解，在操作和表達中促進幼兒數(shù)認知能力的發(fā)展。

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