徐炳吉

摘要針對(duì)中立型隨機(jī)發(fā)展系統(tǒng)的溫和解與軌道溫和解，給出了其存在唯一性與漸近估計(jì)的充分條件，推廣了經(jīng)典的Pazy定理與一些近期文獻(xiàn)的主要工作.

關(guān)鍵詞隨機(jī)發(fā)展方程；中立型；脈沖；適定性；漸近性

中圖分類(lèi)號(hào)O21163；O17521；O17529；O17515

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

四川大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，成都，610064

0引言與系統(tǒng)描述

近年來(lái)對(duì)隨機(jī)微分方程的研究已成為學(xué)術(shù)界的一個(gè)熱門(mén)方向[114].中立型隨機(jī)發(fā)展系統(tǒng)更集中代表了隨機(jī)常微分方程[5]、隨機(jī)泛函微分方程[3，7，913]、Banach空間中抽象隨機(jī)微分方程表示的數(shù)學(xué)物理方程等[12，4，6，14].其中一種經(jīng)典的研究是利用數(shù)學(xué)期望將It積分轉(zhuǎn)換普通積分，再利用處理微分方程的技巧與方法來(lái)獲得其解的各種性態(tài)[313].這樣獲得方程的解只能在樣本空間Ω中幾乎必然（a.s.，即以概率1）成立.最近，人們對(duì)具有可加噪聲與一些乘積噪聲[1，4]或?qū)哂泄饣瑪U(kuò)散項(xiàng)的發(fā)展方程[2，14]，利用積分或微分變換將It隨機(jī)（滯后）微分方程化為僅其系數(shù)含隨機(jī)量的（滯后）微分方程，研究了這些方程對(duì)所有樣本點(diǎn)ω∈Ω都成立的軌道溫和解的適定性與漸近性.本文則進(jìn)一步針對(duì)中立型隨機(jī)發(fā)展系統(tǒng)，研究這兩類(lèi)解，給出了其溫和解與軌道溫和解存在唯一性與漸近估計(jì)的充分條件，推廣了一個(gè)經(jīng)典的Pazy定理[15]與一些近期文獻(xiàn)的主要工作[2，714].

下面將給出主要結(jié)果與證明的思路，其準(zhǔn)確的概念與證明的細(xì)節(jié)可類(lèi)似于文獻(xiàn)[2，614]獲得.

為了便于研究，我們令R+={x∈R：x≥0}，N表示自然數(shù)集，（Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P）表示一個(gè)完備的概論空間，X，Y

是Banach空間，L（X；Y）是X→Y的所有有界線性算子形成的Banach空間.|·|，|·|Y與|·|L（X；Y）分別表示空間X，Y與L（X；Y）的范數(shù).特別地記L（X）=L（X，X）. 我們說(shuō)：[a，b]→X是逐段連續(xù)若（t）有至多有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)且（t+）與（t-）存在并對(duì)任意t∈（a，b]有（t-）=（t）. PC（X；Y）與C（X；Y）分別表示X→Y的逐段連續(xù)與連續(xù)集，特別地，PCPC（[-τ，0]；X）與CC（[-τ，0]；X）其范數(shù)都記為‖‖=sup-τ≤s≤0|φ（s）|<∞，τ>0是常數(shù)或τ=∞. 當(dāng)τ=∞，PC{：（-∞，0]→X|∈PC（[-r，0]；X），r∈（0，∞）且‖φ‖=sup-∞本文研究如下中立型隨機(jī)發(fā)展系統(tǒng)的溫和解與軌道溫和解：

d[u（t）-G（t，ut）]=[A（t）u（t）+f（t，ut）]dt+g（t，ut）dW（t）， t∈[0，a），

u0=ξ∈PC，ξ（t）=ξ（t，ω）是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程， t∈[-τ，0]，（1）

其中a是常數(shù)或a=∞，A（t）：DX→X是一個(gè)稠定閉線性算子族，D

學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，9（4）：400405Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：400405

徐道義.中立型隨機(jī)發(fā)展系統(tǒng)的適定性與漸近性.

XU Daoyi.

Wellposedness and asymptotic behavior of neutral stochastic evolution systems.

獨(dú)立于t且在X中稠密，非線性項(xiàng)f與g分別被稱為漂移與擴(kuò)散項(xiàng).ut（s）=u（t+s）（s∈[-τ，0]）. W是一個(gè)取值于可分Hilbert空間U的雙邊Wiener過(guò)程[2].Q∈L（U）是W（t）的一個(gè)跡類(lèi)協(xié)方差算子.記U0=Q12U，則L02=L2（U0；X）配以范數(shù)|Ψ|2L02=Tr（ΨQΨ*）是一個(gè)可分的Hilbert空間[6].下面用ω（t），t∈R表示過(guò)程W的規(guī)范形式及它的Wiener轉(zhuǎn)換：

θtω（·）=ω（·+t）-ω（t），ω∈C（R；U），（2）

且其軌道集對(duì)于β∈（0，1/2）在任意區(qū)間[-k，k]，k∈N上有βHlder半范數(shù)（記作‖·‖β）.

設(shè)A（·）生成發(fā)展算子T（t，s）∈L（X），0≤s≤t

我們假設(shè)有Banach空間Y緊嵌入X且其范數(shù)滿足|x|Y≤η|x| （η>0常數(shù)）并使得：

（S1）對(duì)給定t∈（0，a），函數(shù)T（t，s）A（s）∈C（[0，t]，L（Y；X））且有S∈L1（[0，t]；R+）使得

|T（t，s）A（s）|L（Y；X）≤S（t，s）/η，s∈[0，t].

注1由條件（S1）及u∈PC（[0，t]；X），應(yīng)用Bochner對(duì)可積函數(shù)判別法及估計(jì)

|T（t，s）A（s）u（s）|≤|T（t，s）A（s）|L（Y；X）|u（s）|Y≤S（t，s）|u（s）|，s∈[0，t]，（4）

則有函數(shù)s→T（t，s）A（s）u（s）在[0，t]上可積.

（S2）對(duì)u∈PC（[-τ，a）；X），函數(shù)g（t，ut）∈C1（[0，a）×PC；L（U；X））滿足：

dg（t，ut）dt=K（t，ut），算子K：[0，a）×PC|→L（U；X）.

1軌道溫和解

條件（S2）使得

d[g（t，ut）ω（t）]=K（t，ut）ω（t）dt+g（t，ut）dω，

那么（1）成為

d[u（t）-G（t，ut）-g（t，ut）ω（t）]={A（t）[u（t）-

G（t，ut）-g（t，ut）ω（t）]+A（t）[g（t，ut）ω（t）+G（t，ut）]-K（t，ut）ω（t）+f（t，ut）}dt.（5）

于是在（S2）條件下，（1）的軌道溫和解由下面積分方程定義：

u（t）=T（t，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+

∫t0T（t，s）[f（s，us）-K（s，us）ω（s）]ds+

G（t，ut）+g（t，ut）ω（t）+

∫t0T（t，s）A（s）[g（s，us）ω（s）+G（s，us）]ds，ω∈Ω.（6）

定理1若條件（S1）與（S2）成立. 設(shè)對(duì)任意b∈[0，a）有

f（t，0）∈L1（[0，b]；X），K（t，0）∈L1（[0，b]；L（U；X）），K∈Lip1[0，a）[LL（U；X）n（t）]，

f∈Lip1[0，a）[LX（t）]，g∈Lip1[0，a）[LL（U；Y）n（t）]，G∈Lip1[0，a）[LL（X；Y）∞∨LX∞] （LX∞<1）；（7）

G∈PC（[0，a）×PC，X）；

g∈PC（[0，a）×PC，L（U；Y））.（8）

則必定存在一個(gè)停時(shí)β=β（ω）∈（0，a]使得方程（1）有唯一最大局部軌道溫和解u（t）∈PC（[0，β）；X）. 即對(duì)所有ω∈Ω，u（t）是（1）的溫和解，若有某些ω∈Ω具有β（ω）證明因?yàn)镚，g都逐段連續(xù)，必定存在∈（0，b]使得G（t，ut）與g（t，ut）ω（t）在[0，]上連續(xù)，且至少二者之一在間斷.

對(duì)于T1∈（0，]（T1將由后面壓縮映射的需要給定，對(duì)最后由G，g都連續(xù)而得的結(jié)論不受限制），我們考慮C（[0，T1]；X）的完備度量子空間

CξT1={u∈C（[0，T1]；X）：u（s）=ξ（s）∈PC}，

其范數(shù)‖u‖CξT1=supt∈[-τ，T1]|u（t）|<∞.

定義算子Γ：CξT1 →CξT1 如下：

Γ（u）（t）-G（t，Γut）=T（t，0）[ξ（0）-

G（0，ξ）]+∫t0T（t，s）[f（s，us）-K（s，us）ω（s）]ds+

g（t，ut）ω（t）+G（t，ut）+∫t0T（t，s）A（s）[g（s，us）ω（s）+

G（s，us）]ds.

由條件（7）及注1，按照文獻(xiàn)[11]引理22序列Jn（t）連續(xù)性的方式可以證明（9）中的積分是連續(xù)的，再由G（t，ut）與g（t，ut）ω（t）的連續(xù)性，易知t→Γ（u）（t）在[0，]上連續(xù).結(jié)合文獻(xiàn)[1314]的方法，我們能證明f，g，G，K滿足相應(yīng)廣義全局Lipschitz條件下，必定有T1∈（0，]使得算子Γ在CξT1 中是一個(gè)壓縮映射，即（6）有唯一連續(xù)解u（t）（t∈[0，T1]）.因?yàn)閡T+1∈PC進(jìn)而按前面的方式解同樣的問(wèn)題，我們能證明（6）在[T1，T2]，…有連續(xù)解且必定有Ti≥ （見(jiàn)文獻(xiàn)[2，14]）. 式（1）有唯一連續(xù)軌道溫和解解u（t）（t∈[t+0，]）.因?yàn)閡+∈PC，重復(fù)上面的過(guò)程，我們能獲得解u（t）∈PC（[0，b]；X）.由b的任意性，則在f，g，G，K滿足廣義全局Lipschitz條件下，（1）有唯一全局軌道溫和解u（t）∈PC（[0，a）；X）.

為了證明定理，對(duì)任意n∈N，我們定義函數(shù)n：R+→[0，1]如下：

n（s）=1，0≤s≤n，n/s，s>n.

對(duì)于任意t∈[0，b][0，a），我們考慮方程

un（t）=T（t，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+

∫t0T（t，s）[fn（s，（un）s）-Kn（s，（un）s）ω（s）]ds+

gn（t，（un）t）ω（t）+G（t，（un）t）+

∫t0T（t，s）A（s）[gn（s，（un）s）ω（s）+G（s，（un）s）]ds，

其中

fn（t，ut）=f（t，n（‖ut‖）ut），

gn（t，ut）=g（t，n（‖ut‖）ut），

Kn（t，ut）=K（t，n（‖ut‖）ut）.

顯然fn，gn及Kn在[0，b]×C上滿足廣義全局Lipschitz條件.則由上面的結(jié)論，（1）有唯一全局軌道溫和解un（t）∈C（[-τ，b]；X）.

定義停時(shí)序列βn如下：

βn=b∧inf{t∈（0，b]：|un（t）|≥n}.

則βn是n遞增序列，于是可以定義β（w）=limn→+∞βn. 令un（t）=un（t∧βn），則 u（t）=limn→+∞un（t）（t∈[0，β））是（1）唯一最大局部軌道溫和解.

注2定理1是經(jīng)典的Pazy最大局部溫和解存在唯一性定理的推廣[文獻(xiàn)23，定理614]）.實(shí)際上對(duì)能由相應(yīng)廣義全局Lipschitz條件獲得其各種全局解唯一存在的方程（如由Lévy過(guò)程或分?jǐn)?shù)階Brownian運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)泛函發(fā)展方程等），一般都可以用上面的方法得到其最大局部解存在唯一性定理.

定理2若定理1的所有條件成立，且

|T（t，s）|L（X）≤Ne-∫tsr（u）du，N為正常數(shù)，（10）

其中r（·）：J→R+是有限可測(cè)函數(shù)且sup0≤tsupt∈[0，a）e-ζ∫t0r（s）dst<∞（ζ∈（0，1））.

假定有函數(shù)m1（·）∈L1（R+；R+）及常數(shù)α1，α2，α3≥0使得

|f（t，ut）|≤m1（t）‖ut‖+α1，supt∈[0，a）|G（t，0）|<∞，（11）

|g（t，ut）|L（U；Y）≤α2，|K（t，ut）|L（U；X）≤α3，（12）

且有常數(shù)σ∈（0，1-ζ）和π∈（0，1）使得

κ+∫t0[|T（t，s）|L（X）m1（s）+κS（t，s）]eσ∫tsr（u）duds≤π<1，（13）

則式（1）有唯一全局軌道溫和解u（t）并有如下估計(jì)

|u（t）|≤Ne-λ∫t0r（s）ds+I1-π，t∈[-τ，a），（14）

其中I，λ∈（0，1-ζ），N>N‖ξ‖是正常數(shù)且

I=sup0≤t

顯然定理1能應(yīng)用如下脈沖中立型隨機(jī)發(fā)展系統(tǒng)軌道溫和解的存在性：

d[u（t）-G（t，ut）]=[A（t）u（t）+f（t，ut）]dt+g（t，ut）dW（t），t∈[0，a），t≠tk，

u（t+k）-u（tk）=Ik（u（tk）），Ik：X→X，k∈N，

u（t）=ξ（t）∈PC，t∈[-τ，0]，點(diǎn)集{tk|tk∈[0，t]，t∈[0，a）}是有限集.（21）

定理3在定理1的條件下，對(duì)任意t∈[0，a），（1）的最大局部軌道溫和解u（t）=u（t，ξ）有先驗(yàn)估計(jì)：

|u（t）|≤Lξ（t），且|Ik（u（tk））|<∞，tk∈[0，a），（22）

其中Lξ：[0，a）→R+且sups∈[0，t]Lξ（s）<∞.則（21）存在唯一全局軌道溫和解u（t）∈PC（[0，a）；X）.

事實(shí)上，定理1及條件（22）的第一個(gè)不等式保證了（21）的軌道溫和解u（t）在[0，t1]上存在唯一. 而（22）的第二個(gè)不等式保證了ut+1∈PC，同樣地，（21）的軌道溫和解u（t）在[t1，t2]存在唯一，重復(fù)上面的過(guò)程，我們能獲得解u（t）∈PC（[0，a）；X）.

2溫和解

令（1）中初始函數(shù)ξ∈PCE={：[-τ，0]→X是逐段連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程且E‖‖2<∞}.其溫和解由下面方程定義：

u（t）=T（t，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+G（t，ut）+

∫t0T（t，s）f（s，us）ds+∫t0T（t，s）A（s）G（s，us）ds+∫t0T（t，s）g（s，us）dW（t），a.s.（23）

定理4若條件（S1）成立，且對(duì)任意b∈[0，a），

f（t，0）∈L1（[0，b]；X），g（t，0）∈L2（[0，b]；L02），

G∈PC（[0，a）×PC；X）.（24）

假設(shè)f∈Lip1[0，a）[LXn （t）]，g∈Lip2[0，a）[LL20n （t）]，G∈Lip1[0，a）[LL（X；Y）∞∨LX∞] （LX∞<1）.則必定存在一個(gè)停時(shí)β=β（ω）∈（0，a]使得方程（1）有唯一最大局部溫和解u（t）∈PC（[0，β）；X）.進(jìn)而如果（24）中最后一個(gè)條件被G∈C（[0，a）×PC，X）代替，則有u（t）∈C（[0，β）；X）.

證明證明與定理1基本相同，除了空間CξT1 與算子Γ分別被下面HT1與代替

HT1={u∈C（[0，T1]；X）：u（s）=ξ（s）∈PCE}，

‖u‖

HT1=（Esupt∈[-τ，T1]|u（t）|2）1/2<∞；

（u）（t）-G（t，ut）=T（t，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+

∫t0T（t，s）f（s，us）ds+G（t，ut）+

∫t0T（t，s）A（s）G（s，us）ds+

∫t0T（t，s）g（s，us）dW（s）.（25）

定理1是利用條件（S2）將（1）中對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的微分轉(zhuǎn)化為對(duì)t微分，布朗運(yùn)動(dòng)成為微分系數(shù).這里是對(duì)方程（25）兩邊取數(shù)學(xué)期望后，建立類(lèi)似于文獻(xiàn)[13]引理32的不等式，將其中最后一個(gè)積分放大，化為普通積分.再利用處理確定性微分方程的技巧來(lái)獲得其解的存在性.這樣空間HT1由數(shù)學(xué)期望定義的范數(shù)，在壓縮映射下導(dǎo)出算子的不動(dòng)點(diǎn)，只能幾乎必然滿足方程（23）.

注4定理4同樣推廣了經(jīng)典的Pazy定理[文獻(xiàn)23定理614]）及文獻(xiàn)[79，1112]的相關(guān)工作.結(jié)合文獻(xiàn)[1113]的方法，我們可獲得方程（1）溫和解全局存在唯一性相應(yīng)的充分條件.

定理5令D=D（t，ut）=u（t）-G（t，ut）. 在定理4的條件下，若有函數(shù)V∈C（[-τ，a）×X；R+）具有l(wèi)im|D|→∞[inf-τ≤tEV（t，u（t））≤Lξ（t），t∈[0，a），且E|Ik（u（tk））|<∞，tk∈[0，a），（26）

其中Lξ（t）的定義與定理3相同.則（21）有唯一全局溫和解u（t） （t∈[-τ，a））.

證明定理4保證了（1）最大局部溫和解u（t）的存在性. 令

‖φ‖[a，b]=supa≤s≤b|φ（s）|，

ξ（θ）≡ξ（-τ）（θ∈[-2τ，-τ]），

我們有

‖D‖[-τ，t]≥‖u‖[-τ，t]-κ‖u‖[-τ，t]-‖G（·，0）‖[-τ，t]，t∈[0，a）.

這就推得對(duì)任意t∈[0，a），

‖u‖[-τ，t]≤11-κ‖D‖[-τ，t]+‖G（·，0）‖[-τ，t]N（‖D‖[-τ，t]）.（27）

運(yùn)用（26）及Chebyshev不等式，對(duì)任意t∈[0，a），

P{ω：|u（t，ω）|>N（n）}≤P（|D|>n）≤sups∈[0，t]L（s）infs∈[0，a），|D|≥nV（s，us）→0，當(dāng)n→∞.

這說(shuō)明u（t）在[-τ，t1]幾乎必然存在.記ξk=ut+k，則（26）的第二個(gè)不等式保證了

E‖ξ1‖=E‖ut+1‖≤E‖ut1‖+E|I1（u（t1））|<∞，

即ξ1∈PCE.重復(fù)上面的過(guò)程，我們能證明

u（t）在[tk，tk+1]（k∈N）上幾乎必然存在且唯一.

注5通常研究穩(wěn)定性、吸引性、有界性與矩估計(jì)等的結(jié)果一般都能保證定理3或定理5的條件成立[114]，故其解的全局存在性是不言而喻的.對(duì)于脈沖方程當(dāng)|u（t）|有界時(shí)，

|Ik（u（t））|<∞（tk∈[0，a）），

則方程（21）解的全局存在性完全由其第一個(gè)方程的全局存在性決定.

注6運(yùn)用文獻(xiàn)[1112]方法，我們同樣可給出方程（21）溫和解漸近估計(jì)類(lèi)似的充分條件.

參考文獻(xiàn)

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