田森平 許暉敏 謝勝利 傅予力

摘要針對(duì)一類在有限時(shí)間區(qū)間上運(yùn)行的廣義系統(tǒng)，提出了一種初態(tài)學(xué)習(xí)下的迭代學(xué)習(xí)控制算法，該算法對(duì)系統(tǒng)的控制輸入采用閉環(huán)帶指數(shù)變?cè)鲆鍰型學(xué)習(xí)律.基于算子理論，給出了算法的收斂條件.該算法與閉環(huán)D型算法相比，在保證收斂的基礎(chǔ)上加快了算法的收斂速度.數(shù)值仿真結(jié)果說明了該算法的優(yōu)越性.關(guān)鍵詞廣義系統(tǒng)；迭代學(xué)習(xí)控制；收斂速度；初態(tài)學(xué)習(xí)

中圖分類號(hào)TP273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

0引言

自1984年Arimoto等[1]提出迭代學(xué)習(xí)控制（Iterative Learning Control，ILC）方法以來，該方法便引起了控制界的極大關(guān)注.ILC提供了一種新穎的控制策略，它不依賴于系統(tǒng)的精確模型，通過對(duì)被控系統(tǒng)進(jìn)行控制嘗試，以輸出軌跡與給定軌跡的偏差修正不理想的控制信號(hào)，產(chǎn)生新的控制信號(hào)，使得系統(tǒng)的跟蹤性能得以提高[23].迭代學(xué)習(xí)控制的初始條件是指在每次迭代開始之前，對(duì)系統(tǒng)迭代初始點(diǎn)的重復(fù)定位操作所限定的條件[23].目前大多數(shù)的研究都要求被控對(duì)象在每次運(yùn)行時(shí)的初始狀態(tài)精確在期望軌跡對(duì)應(yīng)的初試狀態(tài)上，這種情況在實(shí)際中是很難實(shí)現(xiàn)的.

初值問題是迭代學(xué)習(xí)控制的研究問題之一，已有許多研究成果.文獻(xiàn)[4]分別對(duì)線性和非線性系統(tǒng)在任意初態(tài)下的迭代學(xué)習(xí)控制進(jìn)行研究.文獻(xiàn)[5]研究了具有任意初值的非線性系統(tǒng)的D型閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制算法，該方法可克服由于系統(tǒng)初態(tài)與期望狀態(tài)初態(tài)不同而引起的系統(tǒng)輸出不能完全跟蹤期望軌跡的缺陷.文獻(xiàn)[6]研究了具有固定初值的非線性系統(tǒng)的D型開環(huán)和PD型開環(huán)的迭代學(xué)習(xí)控制算法，其中D型算法得到輸出軌跡與期望軌跡存在恒定偏差，而PD型算法可以有效減少這種偏差.文獻(xiàn)[7]研究了對(duì)于具有固定偏差和任意偏差的非線性系統(tǒng)D型開環(huán)學(xué)習(xí)律.收斂速度是迭代學(xué)習(xí)控制中比較關(guān)心的問題.如果只考慮算法的收斂性而忽略收斂速度，那么對(duì)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制器時(shí)往往達(dá)不到工程要求.文獻(xiàn)[8]通過幾何分析，提出了一種快速迭代學(xué)習(xí)控制算法，該算法與常規(guī)算法相比有較快的收斂速度.文獻(xiàn)[9]分別針對(duì)不同形式的學(xué)習(xí)算法、學(xué)習(xí)算法中的參數(shù)變量以及誤差這三種不同情形分析迭代學(xué)習(xí)控制的收斂速度問題，根據(jù)仿真結(jié)果分析收斂速度問題并且得出相關(guān)結(jié)論.文獻(xiàn)[10]考慮了一種學(xué)習(xí)增益可變的迭代學(xué)習(xí)控制算法，與學(xué)習(xí)增益不變的迭代學(xué)習(xí)控制律相比，其收斂速度顯著提高.

廣義系統(tǒng)是一類具有廣泛應(yīng)用背景的動(dòng)力系統(tǒng)，大量出現(xiàn)在許多實(shí)際問題中[11]，如經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、電子網(wǎng)絡(luò)等.文獻(xiàn)[12]針對(duì)連續(xù)線性廣義系統(tǒng)的受限等價(jià)形式，提出了一種由P型和D型算法相結(jié)合的迭代學(xué)習(xí)控制算法.文獻(xiàn)[1314]分別研究了廣義線性系統(tǒng)P型、閉環(huán)D型和PD型算法.文獻(xiàn)[15]針對(duì)離散廣義系統(tǒng)的受限等價(jià)形式，設(shè)計(jì)了PD型閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制器.文獻(xiàn)[16]針對(duì)廣義系統(tǒng)

學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，9（4）：411416Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：411416

田森平，等.初態(tài)學(xué)習(xí)下廣義系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制算法.

TIAN Senping，et al.

Algorithm of iterative learning control for singular systems with initial state learning.

提出了帶反饋控制的采樣迭代學(xué)習(xí)控制算法.

以上關(guān)于廣義系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制算法的研究中，都是在基于迭代初值和期望初值相等的條件下進(jìn)行的.本文研究一類廣義系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制中的初值問題，提出了一種帶指數(shù)變?cè)鲆娴拈]環(huán)D型學(xué)習(xí)律，算法中對(duì)初始狀態(tài)采用迭代學(xué)習(xí)控制策略，在所給的ILC算法的收斂條件下，對(duì)其進(jìn)行了完整的收斂性分析.與通常的閉環(huán)D型算法相比，該算法在保證收斂的前提下可以加快收斂速度，同時(shí)避免了初始狀態(tài)重復(fù)的問題.

1系統(tǒng)描述及算法

考慮如下重復(fù)運(yùn)行的連續(xù)廣義系統(tǒng)：

Εk（t）=Axk（t）+Buk（t），

yk（t）=Cxk（t）， （1）

其中，E∈Rn×n、A∈Rn×n、B∈Rn×n、C∈Rs×n為定常矩陣，E是奇異矩陣，即rank（E）=q假設(shè)系統(tǒng)（1）滿足以下條件：

（A1） 系統(tǒng)（1）是正則的；

（A2） 系統(tǒng)（1）是可達(dá)的，即在有限區(qū)間[0，T]上，對(duì)于給定期望信號(hào)yd（t）總存在相對(duì)應(yīng)的控制輸入ud（t），使得：

Ed（t）=Axd（t）+Bud（t），

yd（t）=Cxd（t）. （2）

針對(duì)系統(tǒng)（1），輸入信號(hào)采用指數(shù)變?cè)鲆娴拈]環(huán)D型ILC算法，同時(shí)對(duì)初始狀態(tài)采用一種開環(huán)P型ILC算法：

uk+1（t）=uk（t）+ehtΓk+1（t）， （3）

xk+1（0）=xk（0）+（0）Γek（0），k=1，2，3，… （4）

其中，ek（t）=yd（t）-yk（t），h≥0，Γ為相應(yīng)維數(shù)的學(xué)習(xí)矩陣，且使矩陣（E+ehtBΓC）可逆，（t）=（E+ehtBΓC）-1B.

2收斂性分析

引理1[2]假設(shè)x（t），c（t），和a（t）是[0，T]上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，且a（t）在[0，T]上非負(fù)，如果下式成立：

x（t）≤c（t）+∫t0a（τ）x（τ）dτ，t∈[0，T]，

則

x（t）≤c（t）+∫t0a（τ）c（τ）e∫tτa（σ）dσdτ，t∈[0，T].

引理2[2]假設(shè)一個(gè)常數(shù)序列{bk}k≥0（bk≥0）在k→∞的時(shí)候收斂于零，定義算子Qk，即Qk：Cr[0，T]→Cr[0，T]滿足不等式：

‖Qk（u）（t）‖≤Mbk+∫t0‖u（s）‖ds，

其中，M>1是常數(shù)，Cr[0，T]上的r維向量取最大值范數(shù)，設(shè)P（t）是r×r維連續(xù)函數(shù)矩陣.令算子P：Cr[0，T]→Cr[0，T]為

P（u）（t）=P（t）u（t），

若P（t）的譜半徑小于1，那么對(duì)于變量t，下列式子成立：

limk→∞（P+Qk）（P+Qk-1）…（P+Q0）（u）（t）=0.

定理1對(duì)于由系統(tǒng)（1）和ILC算法（3）、（4）描述的被控系統(tǒng)，若假設(shè)條件（A1）、（A2）成立并且滿足：

ρ（I-ehtC（t）Γ）<1，（5）

則當(dāng)?shù)鷮W(xué)習(xí)次數(shù)k→∞，在有限時(shí)間區(qū)間t∈[0，T]上，期望信號(hào)誤差ek（t）一致收斂于零，即yk（t）一致收斂于期望信號(hào)yd（t）.

其中，Γ、I為具有相應(yīng)維數(shù)的學(xué)習(xí)矩陣和單位矩陣，矩陣（E+ehtBΓC）可逆，（t）=（E+ehtBΓC）-1B.

證明記

Δxk（t）=xd（t）-xk（t），Δuk（t）=ud（t）-uk（t），ek（t）=yd（t）-yk（t），

其中，xd（t）、ud（t）、yd（t）分別為期望信號(hào)上對(duì)應(yīng)的狀態(tài)信號(hào)、控制信號(hào)和輸出信號(hào).

結(jié)合系統(tǒng)（1）和條件（A2）的可達(dá)性，可得：

EΔk（t）=AΔxk（t）+BΔuk（t），

ek（t）=CΔxk（t）， （6）

由ILC算法（3），可得：

Δuk+1（t）=ud（t）-uk+1（t）=

ud（t）-uk（t）-（uk+1（t）-uk（t））=

Δuk（t）-ehtΓk+1（t）=

Δuk（t）-ehtΓCΔk+1（t），（7）

由式（7）和式（6）中的第一個(gè)等式，可得：

EΔk+1（t）=AΔxk+1（t）+BΔuk+1（t）=

AΔxk+1（t）+BΔuk（t）-ehtBΓCΔk+1（t）.（8）

由定理1中矩陣（E+ehtBΓC）可逆，式（8）可改寫為

Δk+1（t）=（t）Δxk+1（t）+（t）Δuk（t），（9）

其中（t）=（E+ehtBΓC）-1A，

（t）=（E+ehtBΓC）-1B.

對(duì)式（9）兩邊同時(shí)在[0，T]積分，可得：

Δxk+1（t）=Δxk+1（0）+∫t0（τ）Δxk+1（τ）dτ+∫t0（τ）Δuk（τ）dτ. （10）

現(xiàn)對(duì)Δxk+1（t）進(jìn)行估計(jì).由式（10）、初試狀態(tài)迭代關(guān)系式（4）、式（7），可得：

Δxk+1（t）-Δxk（t）=Δxk+1（0）-Δxk（0）+∫t0（τ）（Δxk+1（τ）-Δxk（τ））dτ+

∫t0（τ）（Δuk（τ）-Δuk-1（τ））dτ=

-ehtc（t）Γek（t）+∫t0（τ）（Δxk+1（τ）-Δxk（τ））dτ+

h∫t0（τ）Γehτek（τ）dτ+∫t0·（τ）Γehτek（τ）dτ. （11）

對(duì)ek+1（t）進(jìn)行估計(jì)，結(jié)合式（6）中第二個(gè)等式和式（11），可得：

ek+1（t）-ek（t）=C（Δxk+1（t）-Δxk（t））=

-ehtC（t）Γek（t）+C∫t0（τ）（Δxk+1（τ）-Δxk（τ））dτ+

hC∫t0（τ）Γehτek（τ）dτ+C∫t0·（τ）Γehτek（τ）dτ， （12）

于是

ek+1（t）=（I-ehtC（t）Γ）ek（t）+

C∫t0（t）（Δxk+1（τ）-Δxk（τ））dτ+

hC∫t0（τ）Γehτek（τ）dτ+C∫t0·（τ）Γehτek（τ）dτ. （13）

定義算子P：Cs[0，T]→Cs[0，T]為

Pek（t）=（I-ehtC（t）Γ）ek（t），（14）

定義算子Qk：Cs[0，T]→Cs[0，T]為

Qk（ek）（t）=C∫t0（t）（Δxk+1（τ）-Δxk（τ））dτ+

hC∫t0（τ）Γehτek（τ）dτ+C∫t0·（τ）Γehτek（τ）dτ， （15）

那么式（13）可表示為

ek+1（t）=Pek（t）+Qk（ek）（t）=

（P+Qk）（P+Qk-1）…（P+Q0）（e0）（t）.（16）

對(duì)算子Qk進(jìn)行估計(jì)，對(duì)式（11）兩端同時(shí)取范數(shù)，可得：

‖Δxk+1（t）-Δxk（t）‖≤

ehT‖（t）‖‖Γ‖‖ek（t）‖+

∫t0‖（τ）‖‖Δxk+1（τ）-Δxk（τ）‖dτ+

hehT∫t0‖（τ）‖‖?！琫k（τ）‖dτ+ehT∫t0‖·（τ）‖‖?！琫k（τ）‖dτ≤

bfehT‖ek（t）‖+a∫t0‖Δxk+1（τ）-Δxk（τ）‖dτ+

（hbf+b1f）ehT∫t0‖ek（τ）‖dτ， （17）

其中，b=supt∈[0，T]‖（t）‖，a=supt∈[0，T]‖（t）‖，f=‖?！琤1=supt∈[0，T]‖·（t）‖.

根據(jù)引理1和式（17），可得：

‖Δxk+1（t）-Δxk（t）‖≤

bfehT‖ek（t）‖+abfehT∫t0‖ek（τ）‖e∫tτadσdτ+

（hbf+b1f）ehT∫t0‖ek（τ）‖dτ≤

bfehT‖ek（t）‖+M∫t0‖ek（τ）‖dτ， （18）

其中，M=（abfeaT+hbf+b1f）ehT.

結(jié)合式（18），對(duì)式（15）兩端同時(shí)取范數(shù)，可得：

‖Qk（ek）（t）‖≤

ac∫t0‖Δxk+1（τ）-Δxk（τ）‖dτ+

hcbf∫t0‖ek（τ）‖dτ+cb1fehT∫t0‖ek（τ）‖dτ≤

acbfehT∫t0‖ek（τ）‖dτ+acMT∫t0‖ek（s）‖ds+

（hcbf+cb1fehT）∫t0‖ek（τ）‖dτ≤

（acbfehT+acMT+hcbf+cb1fehT）∫t0‖ek（τ）‖dτ≤

M1∫t0‖ek（τ）‖dτ， （19）

其中，c=‖C‖，M1=max（1，acbfehT+acMT+hcbf+cb1fehT）.

通過引理2，式（5）、（13）、（19），可得：

limk→∞ ‖ek（t）‖=0， （20）

故在t∈[0，T]上，limk→∞yk（t）=yd（t）一致成立.

3算法的數(shù)值仿真

假設(shè)系統(tǒng)（1）為

1000（1）k （t）（2）k （t）=1234x（1）k （t）x（2）k （t）+1002u（1）k （t）u（2）k （t），

y（1）k （t）y（2）k （t）=050013x（1）k （t）x（2）k （t），

選取D型學(xué)習(xí)增益矩陣為Γ=2003，

系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間為t∈[0，2]，采樣時(shí)間取0105 3 s，期望信號(hào)取yd（t）=2sin（4t）3et-3，

選取指數(shù)增益部分為e2t，通過計(jì)算可得：E+e2tBΓC=1+e2t002e2t.

矩陣（E+e2tBΓC）可逆，滿足定理?xiàng)l件.通過計(jì)算可得：I-e2tC（t）Γ=11+e2t000，

ρ（I-e2tC（t）Γ）<1，滿足收斂條件式（5）.

初始輸入為u（0）=[0，0]T，第一次初始狀態(tài)值為xk（0）=[0，0]T.從第二次開始初值采用：

xk+1（0）=xk（0）+（0）Γek（0）=x（1）k （0）x（2）k （0）+e（1）k （0）3e（2）k （0）.

為了更好展現(xiàn)指數(shù)變?cè)鲆娴腄型算法的優(yōu)越性，分別對(duì)不帶指數(shù)變?cè)鲆娴腄型算法和指數(shù)變?cè)鲆娴腄型算法進(jìn)行仿真.通過仿真可以得到在迭代學(xué)習(xí)律式（4）和迭代初值式（2）這種情況下系統(tǒng)輸出相關(guān)結(jié)果，如圖1至圖4所示.

圖1中的曲線代表連續(xù)廣義系統(tǒng)在不帶指數(shù)增益時(shí)，迭代輸出的第一個(gè)分量跟蹤期望信號(hào)y（1）d（t）的最大誤差與迭代學(xué)習(xí)次數(shù)的關(guān)系.圖2中的曲線代表連續(xù)廣義系統(tǒng)在含有指數(shù)增益e2t時(shí)，迭代輸出的第一個(gè)分量跟蹤期望信號(hào)y（1）d（t）的最大誤差與迭代學(xué)習(xí)次數(shù)的關(guān)系.結(jié)合圖1和圖2可以看出，ILC算法中包含e2t部分時(shí)，只需迭代5次左右就能較好地跟蹤期望信號(hào)y（1）d（t），而不帶指數(shù)變?cè)鲆嫘枰?次左右才能實(shí)現(xiàn)較好跟蹤.

圖3中的曲線代表連續(xù)廣義系統(tǒng)在不帶指數(shù)增益時(shí)，迭代輸出的第二個(gè)分量跟蹤期望信號(hào)y（2）d（t）的最大誤差與迭代學(xué)習(xí)次數(shù)的關(guān)系.圖4中的曲線代表連續(xù)廣義系統(tǒng)在含有指數(shù)增益e2t時(shí)，迭代輸出的第二個(gè)分量跟蹤期望信號(hào)y（2）d（t）的最大誤差與迭代學(xué)習(xí)次數(shù)的關(guān)系.結(jié)合圖3和圖4可以看出，迭代學(xué)習(xí)控制算法中包含e2t部分時(shí)，只需迭代4次左右就能較好地跟蹤期望信號(hào)y（2）d（t），而不帶指數(shù)變?cè)鲆嫘枰?0次左右才能較好地跟蹤期望信號(hào).

4結(jié)論

針對(duì)迭代學(xué)習(xí)控制中的初值和收斂速度問題，以廣義系統(tǒng)作為研究對(duì)象，提出了一種初態(tài)學(xué)習(xí)下帶指數(shù)變?cè)鲆娴拈]環(huán)D型迭代學(xué)習(xí)控制算法.通過算子理論，給出了算法的收斂性分析.與不帶指數(shù)變?cè)鲆娴拈]環(huán)D型算法相比，該算法可以顯著加快收斂速度，同時(shí)避免了初始狀態(tài)重復(fù)的問題.最后通過數(shù)值仿真結(jié)果說明了算法的有效性.

參考文獻(xiàn)

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