勞興松 李思敏 唐智靈

摘 要：大規(guī)模MIMO技術(shù)能成倍地提高通信系統(tǒng)的容量和傳輸速率，但是系統(tǒng)性能的進(jìn)一步提升會(huì)受到導(dǎo)頻污染的制約.采用壓縮感知進(jìn)行信道估計(jì)，能夠減少導(dǎo)頻開(kāi)銷(xiāo)，從而可以有效解決這一問(wèn)題.為此，本文提出了基于壓縮感知的支持不可知貝葉斯匹配追蹤信道估計(jì)算法（SABMP）.仿真結(jié)果表明，在低信噪比時(shí)，該算法僅需較少的導(dǎo)頻開(kāi)銷(xiāo)就能達(dá)到較低的誤碼率（BER）及歸一化均方誤差（NMSE）性能，提高頻譜效率.

關(guān)鍵詞：大規(guī)模MIMO；信道估計(jì)；壓縮感知；SABMP

中圖分類號(hào)：TN913 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言

MIMO技術(shù)（multiple input multiple output）被認(rèn)為是提高信息傳輸速率的一種有效方法，并已在4G系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用.為了應(yīng)對(duì)未來(lái)傳輸速率和系統(tǒng)容量等方面的性能挑戰(zhàn)，進(jìn)一步增加天線數(shù)量將是MIMO技術(shù)繼續(xù)演進(jìn)的主要發(fā)展方向[1]，即大規(guī)模MIMO技術(shù)（Massive MIMO）被認(rèn)為是5G通信系統(tǒng)的一項(xiàng)核心技術(shù)[2-4].

盡管大規(guī)模MIMO具有巨大的優(yōu)勢(shì)，但是與傳統(tǒng)MIMO相比較還有一些亟待解決的難題.當(dāng)前，國(guó)內(nèi)外關(guān)于大規(guī)模MIMO的研究主要在信道建模、信道估計(jì)、信號(hào)檢測(cè)等方面.移動(dòng)通信中的無(wú)線傳輸信道是時(shí)變、多徑、衰落的，因此信源經(jīng)信道會(huì)使數(shù)據(jù)失真，由于障礙物的存在，信號(hào)強(qiáng)度減弱.接收端為了正確接收、恢復(fù)發(fā)送的數(shù)據(jù)，需要對(duì)信道的衰落影響進(jìn)行合理的補(bǔ)償，這就需要在接收端使用信道估計(jì)來(lái)獲得信道衰落信息.在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，信道狀態(tài)信息大大增多對(duì)信道估計(jì)的計(jì)算復(fù)雜度提出了更高的要求；并且，不同于傳統(tǒng)的MIMO系統(tǒng)，導(dǎo)頻污染問(wèn)題是大規(guī)模MIMO系統(tǒng)性能提升的限制因素；因此，如何有效消除導(dǎo)頻污染，是未來(lái)需要研究解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一.

當(dāng)前，大多數(shù)學(xué)者主要研究多小區(qū)聯(lián)合信道估計(jì)機(jī)制[5-7].這種信道估計(jì)機(jī)制雖然能減輕導(dǎo)頻污染，但是計(jì)算步驟較多，不便于硬件實(shí)現(xiàn).值得注意的是，大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的無(wú)線信道具有稀疏特性，可以考慮采用壓縮感知（compress sensing， CS）.為此，本文提出一種基于壓縮感知的貝葉斯信道估計(jì)算法，即支持不可知的貝葉斯匹配追蹤算法（Support Agnostic Bayesian Matching Pursuit），對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，僅使用較少的導(dǎo)頻開(kāi)銷(xiāo)就能夠達(dá)到信道估計(jì)的目的.2004年，Donoho等[8]提出了壓縮感知的理論，該理論能夠從有限的采樣值中有效地重構(gòu)出稀疏信號(hào)，證明了只要信號(hào)是可壓縮的或者在某個(gè)域是稀疏的，則可以通過(guò)某一合適的觀測(cè)矩陣將高維矩陣投影到低維空間上，然后通過(guò)求解最優(yōu)化問(wèn)題從少量的觀測(cè)值中高概率地重構(gòu)出原信號(hào).壓縮感知理論一提出，就在生物傳感、醫(yī)學(xué)成像[9-10]、無(wú)線通信、模式識(shí)別等領(lǐng)域受到高度關(guān)注.因此，將壓縮感知技術(shù)應(yīng)用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的信道是一種很有潛力的方法，文獻(xiàn)[11-13]也對(duì)這一方向進(jìn)行了研究，提出了不同的信道估計(jì)算法，這些結(jié)果均表明，采用壓縮感知進(jìn)行信道估計(jì)，可以很大程度上減少需要的導(dǎo)頻數(shù)目，減輕導(dǎo)頻污染，不僅可以提高頻譜效率，而且能夠提升系統(tǒng)容量，從而發(fā)揮大規(guī)模MIMO的優(yōu)勢(shì).

1 系統(tǒng)模型

1.1 傳輸模型

考慮一個(gè)如圖1所示的MIMO-OFDM（multiple input multiple output-orthogonal frequency division multiplexing）系統(tǒng)，基站配備有一個(gè)由R=M×G根天線組成的大規(guī)模二維天線陣列.基站服務(wù)于若干單天線終端，采用OFDM作為信號(hào)機(jī)制.在一個(gè)OFDM系統(tǒng)中，連續(xù)輸入的串行比特流被分成N個(gè)并行比特流并映射到一個(gè)Q進(jìn)制的QAM字母表（星座圖）{A1，A2，…，AQ}上，然后得到一個(gè) N維的數(shù)據(jù)向量X=[X（1），X（2），…，X（N）]T，其等價(jià)的時(shí)域信號(hào)通過(guò)對(duì)X進(jìn)行傅里葉反變換得到：

x=FHX （1）

其中：F是N×N的離散傅里葉變換（DFT）矩陣，F(xiàn)的第k行l(wèi)列的元素為：

fk，l=■exp-j■kl （2）

在每個(gè)OFDM符號(hào)前插入循環(huán)前綴（CP），然后將信號(hào)發(fā)送.

1.2 信道模型

大多數(shù)無(wú)線信道都可以建模為具有很大的時(shí)延擴(kuò)展、很少的有效路徑（由稀疏分布在空間中的散射體引起）的離散多徑信道.這導(dǎo)致信道沖激響應(yīng)（CIR）具有稀疏特性[14-15]；因此，對(duì)于每一個(gè)發(fā)送接收鏈路，只需要估計(jì)少數(shù)有效路徑的信道增益，這樣有可能大幅減少導(dǎo)頻開(kāi)銷(xiāo).

性質(zhì)1 信道沖激響應(yīng)是稀疏的.

用 表示一個(gè)典型的單天線用戶和基站接收天線r=（m，g）之間的CIR，其中m∈{1，2，…，M}，

g∈{1，2，…，G}，如圖2所示.根據(jù)文獻(xiàn)[16]，假設(shè) 是稀疏的，寫(xiě)成：

（3）

⊙表示元素與元素相乘.向量 的分布可以是高斯的也可以是非高斯的，甚至于其分布也可以是未知的，且 的系數(shù)不需要服從獨(dú)立同分布，即信道系數(shù)是不可知的.向量 是伯努利隨機(jī)向量，其元素相互獨(dú)立，服從分布[16]：

（4）

也就是說(shuō)， 的元素是相互獨(dú)立（且有可能非恒等分布）的伯努利隨機(jī)變量集，因此， 是一個(gè)L抽頭的離散時(shí)間稀疏信道，不對(duì)其非零復(fù)值系數(shù)的分布做任何假設(shè).

第r根天線接收到的頻域信號(hào)可以表示為：

（5）

其中， 通過(guò)移除接收到的時(shí)域信號(hào)的循環(huán)前綴并左乘傅里葉矩陣F得到. 是N×1的頻域噪聲向量， 是N×1的信道頻率響應(yīng)向量.

（6）

F是N×L的截?cái)喔道锶~變換矩陣，通過(guò)選取F的前L列得到.根據(jù)式（6），可以把式（5）重寫(xiě)成：

（7）

其中，A=diag（X）F 是一個(gè)N×L矩陣.

1.3 空間信道模型

Massive MIMO系統(tǒng)的大數(shù)量天線有很不同的結(jié)構(gòu)形式，如線性排列、矩形排列和圓柱形排列等.雖然SABMP算法能夠應(yīng)用在上述任意的結(jié)構(gòu)中，但在本文中為方便分析，選取均勻矩形陣列.

在Massive MIMO系統(tǒng)中，假設(shè)天線陣列中的某一天線元和它周?chē)奶炀€元接收到不同散射體的相同反射波，因此該天線陣列對(duì)應(yīng)的信道擁有共同的支持.特別地，某一波前到達(dá)兩根距離為d的天線的時(shí)間差△？子滿足△？子≤■，C為光速.文獻(xiàn)[17]提出，如果波前到達(dá)時(shí)差△？子滿足△？子>■，B為信號(hào)帶寬，則信道抽頭是可解析的，用dmax表示天線陣列中距離最遠(yuǎn)的兩根天線之間的距離（dmax是一個(gè)天線間距d和天線陣列中的天線數(shù)量之間的函數(shù)）.綜上所述，天線陣列會(huì)表現(xiàn)出以下兩種情況中的一種：

1）若■≤■，則天線陣列關(guān)于信道沖激響應(yīng)支持是空間不變的.所有的 擁有相同的稀疏圖案，這意味著信道抽頭的幅度也許會(huì)不同，但是最明顯的抽頭的位置是不變的.對(duì)于間距較小的天線元，盡管信道路徑幅度和相位有可能不同，但由于波前到達(dá)的時(shí)間間隔很小，所以得到這一假設(shè).不同的天線單元會(huì)收到不同散射體的幾乎相同的反射波.換句話說(shuō)，天線陣列中的所有天線元對(duì)應(yīng)的信道的支持不會(huì)改變，只是信道抽頭的長(zhǎng)度會(huì)有所不同，如圖3所示.這樣的陣列為空間不變陣列（Space-Invariant Array，SIA）.

2）若■>■，則天線陣列關(guān)于信道沖激響應(yīng)支持是空間變化的.在這種情況下，通過(guò)天線陣列的信道支持是變化的.注意到信道支持的變化很緩慢，所以可以假設(shè)以下性質(zhì)總是有效的.

性質(zhì)2 任意位于中心位置的天線和它相鄰的4根天線擁有近似相同的支持[17].

圖4展示了這種情況下相鄰的天線擁有近似相同的信道支持，這樣的陣列為空間變化陣列（Space-Variant Array，SVA）.

1.4 導(dǎo)頻

信道估計(jì)需要用到導(dǎo)頻，發(fā)射機(jī)保留K個(gè)子載波用來(lái)發(fā)送導(dǎo)頻，用剩下的N-K個(gè)子載波發(fā)送數(shù)據(jù).用P表示一組導(dǎo)頻載波，根據(jù)式（7），基站天線r接收到的導(dǎo)頻為：

（8）

其中， 和 是K×1的向量，分別從 中選取K個(gè)元素根據(jù)P進(jìn)行編排得到.類似的，A（P）是一個(gè)K×L矩陣，選取A的行元素并根據(jù)P進(jìn)行編排得到.要根據(jù)式（8）求出 ，顯然需要導(dǎo)頻長(zhǎng)度至少等于信道時(shí)延擴(kuò)展，即K≥L，這會(huì)對(duì)系統(tǒng)的頻譜效率造成影響，于是，根據(jù)壓縮感知理論[8，18]，可以利用信道的稀疏性質(zhì)及相鄰天線元擁有近似相同的支持這一實(shí)際情況（即性質(zhì)1和性質(zhì)2）充分減少信道估計(jì)中需要使用的導(dǎo)頻數(shù)量.多用戶MIMO系統(tǒng)上行鏈路幀結(jié)構(gòu)如圖5所示.

不少學(xué)者已經(jīng)對(duì)OFDM信道估計(jì)提出了不同的導(dǎo)頻放置方案.在傳統(tǒng)的OFDM信道估計(jì)中，最好的分配方案是把導(dǎo)頻均勻的插入載波中，但是這種方案沒(méi)有利用到信道的稀疏特性[19-21]，當(dāng)信道是稀疏的時(shí)候，最優(yōu)的分配方案是把導(dǎo)頻隨機(jī)插入載波中[22-23].

2 分布不可知的貝葉斯匹配追蹤信道估計(jì)算法

考慮線性回歸模型（8），為了方便起見(jiàn)，去掉上標(biāo)r和符號(hào)P，于是模型（8）可以寫(xiě)成：

Y=Ah+W （9）

其中，Y和W是K×1的向量，h是L×1的向量，A是K×L的矩陣.采用貝葉斯估計(jì)獲得信道沖激響應(yīng)h.貝葉斯方法假設(shè)一個(gè)先驗(yàn)分布已知，然而考慮到無(wú)線信道的動(dòng)態(tài)性質(zhì)，通常不可能得到其分布特征.此外，這樣的假設(shè)并不能反映出實(shí)際信道的情況，從而導(dǎo)致估計(jì)性能退化.即使已知先驗(yàn)分布，仍然很難估計(jì)分布的參數(shù)，例如高斯均值及方差，尤其在信道統(tǒng)計(jì)學(xué)特性不是獨(dú)立同分布的時(shí)候.而采用分布不可知的貝葉斯稀疏信號(hào)恢復(fù)（SABMP）算法[24-25]能夠有效解決這一問(wèn)題，即使先驗(yàn)分布未知或不是高斯分布的，它也能給出貝葉斯估計(jì)值.

本文的信道估計(jì)算法根據(jù)文獻(xiàn)[24-25]提出的支持不可知的貝葉斯匹配追蹤算法（SABMP），結(jié)合無(wú)線信道的性質(zhì)，對(duì)其進(jìn)行改進(jìn).

為了從式（9）的線性回歸模型的K×1維觀測(cè)向量Y中估計(jì)出L×1維的稀疏信道h，SABMP在已知Y的條件下追蹤h的最小均方誤差（MMSE）估計(jì)，在形式上定義為：

（10）

這里的求和遍及h的全部可能的2L個(gè)支持集.但是，當(dāng)信道時(shí)延擴(kuò)展L很大的時(shí)候，支持集會(huì)變得非常大，相應(yīng)的計(jì)算復(fù)雜度也會(huì)變得很大，此時(shí)求和將會(huì)變得相當(dāng)困難.為了求得計(jì)算上的可行解，只考慮那些以大概率包含最有效抽頭的支持集，進(jìn)而得到近似的和.這些數(shù)量較少的支持以后驗(yàn)概率p（S/Y）構(gòu)成有效支持集.令Sd為有效支持集，式（10）可以寫(xiě)成：

■AMMSE=■p（S│Y ）E[h│Y，S] （11）

因?yàn)椤鰌（S│Y ）<1導(dǎo)致式（11）的估計(jì)結(jié)果為有偏估計(jì)，為了得到無(wú)偏估計(jì)，對(duì)p（S│Y ）作歸一化處理，于是■p（S│Y ）=1.所以式（11）近似等于式（10）.通過(guò)貪婪算法確定Sd和■AMMSE，選取的有效支持選擇度量定義為對(duì)數(shù)后驗(yàn)：

（12）

SABMP的貪婪算法：Step1尋找樣本容量為1的最優(yōu)支持[24].比較S={1}，…，{L}對(duì)應(yīng)的每一個(gè)v（S）的大小，也就是總共L1個(gè)搜索點(diǎn).令S1={α1}是樣本容量為1的最優(yōu)支持；Step2尋找樣本容量為2的最優(yōu)支持，需要搜索大小為L(zhǎng)2的搜索空間.為了減小搜索空間，貪婪算法尋找的抽頭位置滿足α1≠α2，使S2={α1，α2}中v（S2）取得最大值.與最優(yōu)搜索需要搜索L2個(gè)搜索點(diǎn)相反，這樣做只需要搜索L-1 1個(gè)搜索點(diǎn).以此類推，Step3尋找S3={α1，α2，α3}等等，最后，得到有效支持集：

Sd ={S1，S2，…，STmax}，

Sd ={{α1}，{α1，α2}，…，{α1，α2，…，αTmax}} （13）

其中，Tmax是稀疏信道沖激響應(yīng)h中非零元素的最大數(shù)目，根據(jù)Moivre-Laplace定理，Tmax的選取應(yīng)比估計(jì)得到的CIR中的有效抽頭數(shù)略大[20].表1是貪婪算法的一個(gè)運(yùn)行例子，該例子中L=7，Tmax=4 .

SABMP算法假設(shè)h的抽頭以等概率λ激發(fā)（例如概率為λ的伯努利獨(dú)立同分布），然而，根據(jù)實(shí)際的信道情況，考慮到某些抽頭激發(fā)的可能性大于其他抽頭；因此可以設(shè)定這些抽頭的激發(fā)概率更大.假設(shè)未知信道h滿足獨(dú)立非恒等伯努利分布，先驗(yàn)概率為：

p（S）=■λi （1-λj） （14）

其中：λi是h的第i個(gè)抽頭的激發(fā)概率.此外，似然函數(shù)近似為：

（15）

其中：PS*=I-PS=I-AS（ASHAS）-1ASH是投影矩陣，AS是選取A的列元素根據(jù)支持S編排得到的矩陣.把式（14）和式（15）代入式（12）得到：

（16）

于是，式（11）中僅剩E[h│Y ，S]未知.需要注意的是，由于h的激發(fā)抽頭的分布未知，所以很難甚至不可能求得E[h│Y ，S]；故考慮采用最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)（BLUE）替代：

（17）

這樣就得到了計(jì)算■AMMSE所需的所有未知量，而包括σw2， 以及支持集的可能大小Tmax不需要事先知道，可以通過(guò)SABMP算法估計(jì)得到.特別地，令λi初始化為：

（18）

其中，aj是矩陣A的第j列. 簡(jiǎn)單地初始化為接收信號(hào)均方誤差的測(cè)量值，如 .

每個(gè)天線單元根據(jù)上述貪婪算法和式（11）在分布不可知的條件下估計(jì)各自對(duì)應(yīng)的近似稀疏信道沖激響應(yīng)，貪婪算法及SABMP算法的步驟分別如表2所示.

3 仿真結(jié)果及分析

仿真場(chǎng)景主要考慮單小區(qū)場(chǎng)景，其中基站天線數(shù)分別為25，64和100，均為矩形排列，用戶終端數(shù)均為1，形成5×5，8×8和10×10的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)；通信信道為瑞利平坦衰落；OFDM子載波數(shù)N=256，信道長(zhǎng)度L=64，信道稀疏度n=3，天線陣列為SIA.仿真目的為比較SABMP算法在不同信噪比、接收天線數(shù)及導(dǎo)頻長(zhǎng)度條件下的誤碼率（BER）及歸一化均方誤差（NMSE）性能.

圖6和圖7分別展示的是SABMP在不同天線數(shù)及不同信噪比下的誤碼率及歸一化均方誤差性能比較.導(dǎo)頻長(zhǎng)度統(tǒng)一選為8，調(diào)制方式選用4 QAM.由圖6可以看出，隨著天線陣列變大，SABMP在低信噪比情況下的BER性能逐漸變差，但性能改善的速率很快，在信噪比大于13 dB以后，趨于一個(gè)近似相同的較低的BER，圖7的NMSE性能也反應(yīng)出同樣的結(jié)果，在13 dB以后NMSE趨近于0.這表明由于天線數(shù)量巨大，SABMP在低信噪比的環(huán)境下性能較差，但算法收斂速度較快，很快就能得到實(shí)際信道的估計(jì)值，且誤差很小.

圖8和圖9分別展示的是SABMP在不同導(dǎo)頻長(zhǎng)度及不同信噪比下的BER及NMSE性能比較.此時(shí)選取天線陣列為5×5，調(diào)制方式為4 QAM.由圖8可知，在信噪比為10 dB時(shí)，導(dǎo)頻長(zhǎng)度為8的SABMP就已經(jīng)能夠得到接近實(shí)際信道的BER，且收斂速度很快.信道估計(jì)時(shí)使用的導(dǎo)頻越長(zhǎng)，估計(jì)結(jié)果越精確，但是由圖5可知，導(dǎo)頻也要占用頻譜資源，導(dǎo)頻長(zhǎng)度（符號(hào)數(shù)）越長(zhǎng)，用來(lái)發(fā)送有效數(shù)據(jù)的頻譜就越少，所以傳輸效率（每一子幀的數(shù)據(jù)符號(hào)數(shù)與總符號(hào)數(shù)的百分比）也越低.由圖9可以看出，信噪比為10 dB時(shí)，SABMP算法在導(dǎo)頻長(zhǎng)度為8時(shí)的NMSE已經(jīng)趨近于0，曲線與導(dǎo)頻長(zhǎng)度為16時(shí)（傳輸效率為75%）基本重合，而數(shù)據(jù)傳輸效率達(dá)到87.5%.

綜上所述，SABMP算法收斂速度較快，僅需要較少的導(dǎo)頻開(kāi)銷(xiāo)就能得到精確度很高的估計(jì)結(jié)果，不僅提高了數(shù)據(jù)傳輸效率，由于減少了對(duì)導(dǎo)頻的依賴，還能減輕導(dǎo)頻污染，提升系統(tǒng)性能.

4 結(jié)論

針對(duì)大規(guī)模MIMO系統(tǒng)信道估計(jì)導(dǎo)頻開(kāi)銷(xiāo)大的問(wèn)題，本文提出一種基于壓縮感知的信道估計(jì)算法——支持不可知的貝葉斯匹配追蹤算法（SABMP），解決導(dǎo)頻開(kāi)銷(xiāo)大的難題.該算法利用大規(guī)模MIMO信道的稀疏性，通過(guò)壓縮感知的方式，對(duì)信道沖激響應(yīng)進(jìn)行估計(jì)，具有計(jì)算復(fù)雜度低、結(jié)果較精確的特點(diǎn).通過(guò)建模仿真的方法，對(duì)該算法進(jìn)行了驗(yàn)證.仿真結(jié)果比較了不同信噪比、天線數(shù)及導(dǎo)頻長(zhǎng)度等多種情況下的BER及NMSE性能，結(jié)果表明該算法在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)信道估計(jì)中收斂速度較快，僅需要較少的導(dǎo)頻開(kāi)銷(xiāo)就能得到精確度很高的估計(jì)結(jié)果，不僅提高了數(shù)據(jù)傳輸效率，還能減輕導(dǎo)頻污染，提升系統(tǒng)性能，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值.

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Abstract：Massive MIMO technology can multiply the system capacity and data transfer rate. However， the pilot contamination is a limiting factor for the performance improvement of massive MIMO system. Adopting compressed sensing for channel estimation can reduce pilot overhead and solve this problem effectively. In this respect， a channel estimation algorithm based on compressed sensing called support agnostic Bayesian matching pursuit （SABMP） was proposed. Simulation results showed that this algorithm can achieve good bit error rate （BER） and normalized mean squared error （NMSE） performance with fewer pilot overhead in low SNR scenario， which can improve spectral efficiency.

Key words： massive MIMO； channel estimation； compressed sensing； SABMP

（學(xué)科編輯：張玉鳳）