◎蔡文麗

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院，北京 100083)

事件相互獨(dú)立和互斥關(guān)系的探討及舉例

◎蔡文麗

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院，北京 100083)

本文全面分析兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系，并通過典型事例展現(xiàn)二者關(guān)系.研究結(jié)果對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)概率論課程具有重要指導(dǎo)作用.

獨(dú)立事件；互斥事件；獨(dú)立和互斥的關(guān)系

一、事件相互獨(dú)立和事件互斥的定義及關(guān)系

獨(dú)立和互斥是概率論中兩個(gè)非常重要的概念，直觀而言，學(xué)生極易將這兩個(gè)概念混淆并認(rèn)為獨(dú)立就是互斥.然而，通過理論分析，可以詳細(xì)說明兩者間的關(guān)系.下面通過定義、定理、注釋和舉例逐步揭開兩者之間的關(guān)系.

盛驟等[1]給出兩事件相互獨(dú)立的如下定義：

定義1 設(shè)A，B是兩事件，若滿足等式P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A，B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A，B獨(dú)立.

由這個(gè)定義可以證明如下重要結(jié)論：

注釋1 必然事件和不可能事件與任何事件都相互獨(dú)立.

證明：設(shè)A是任意事件；S和?分別為必然事件和不可能事件.于是，P(S)=1，P(?)=0.因此，P(AS)=P(A)=P(A)P(S)，P(A?)=P(?)=P(A)P(?).

定理1[1]設(shè)A，B是兩事件，且P(A)>0，則A，B相互獨(dú)立?P(B|A)=P(B).

這個(gè)定理利用條件概率的定義和事件獨(dú)立性的定義可以比較容易地證明.

注釋2 這個(gè)定理表明：事件A與B呈現(xiàn)出某種獨(dú)立性意味著事件A的發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響.

定義2[1]設(shè)A，B是兩事件，若AB=?，則稱事件A，B互斥(或互不相容).

注釋3 兩事件互斥意味著兩事件不能同時(shí)發(fā)生.

注釋4 不可能事件與任何事件都互斥.

定理2 兩事件獨(dú)立和兩事件互斥沒有必然關(guān)系.

證明：這個(gè)定理可以通過一系列反例說明.

(1)不可能事件與任何事件既獨(dú)立又互斥.

(2)必然事件與除不可能事件外的任何事件都獨(dú)立但不互斥.一般地，若P(A)>0，P(B)>0，且事件A，B相互獨(dú)立，則由事件獨(dú)立的定義可知P(AB)>0，于是AB≠?，即A，B一定不互斥.這說明事件獨(dú)立不能推出事件互斥.

(3)當(dāng)兩事件互斥且概率都大于0時(shí)，也可由獨(dú)立和互斥的定義推出這兩個(gè)事件一定不獨(dú)立.這說明互斥不能推出獨(dú)立.

下面通過一個(gè)有趣的抽牌試驗(yàn)讓大家體會(huì)兩事件不互斥但可以獨(dú)立.

二、應(yīng)用舉例

實(shí)例1 從一副不含大小王的撲克牌中任意抽取一張，記A={抽到8}，B={抽到牌的花色為紅色}，考察這兩個(gè)事件的互斥性與相互獨(dú)立性.

顯然AB≠?，即A，B不互斥.

經(jīng)計(jì)算可知

于是P(AB)=P(A)P(B)，由定義可知，事件A，B相互獨(dú)立.

這個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例有助于讀者深刻理解不互斥的兩事件可以相互獨(dú)立.

三、結(jié) 論

本文對(duì)高等教育出版社第四版的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中講授的事件獨(dú)立性和互斥性內(nèi)容進(jìn)行了深入剖析，得出在無任何假設(shè)條件下事件獨(dú)立性與互斥性沒有必然聯(lián)系的結(jié)論.這一結(jié)論的證明過程也蘊(yùn)含著一個(gè)常用結(jié)論：對(duì)概率大于0的兩事件，獨(dú)立一定不互斥，互斥一定不獨(dú)立，即獨(dú)立和互斥不能同時(shí)成立.這一點(diǎn)與人們的主觀認(rèn)識(shí)恰好相反，值得讀者注意.

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

國(guó)家自然科學(xué)基金天元專項(xiàng)基金資助(項(xiàng)目號(hào)：11626228).