周 穎，鄭 鳳,何 磊

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210003)

具有時(shí)變時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)H∞控制

周 穎，鄭 鳳,何 磊

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210003)

針對(duì)一類(lèi)同時(shí)具有時(shí)變時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)使得閉環(huán)系統(tǒng)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定的H∞狀態(tài)反饋控制器，并且滿(mǎn)足給定的H∞性能指標(biāo)。已知系統(tǒng)從傳感器到控制器之間通道具有數(shù)據(jù)包丟失和時(shí)變時(shí)延，控制器到執(zhí)行器通道具有時(shí)變時(shí)延。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)總時(shí)延小于等于一個(gè)采樣周期，將時(shí)延的時(shí)變系數(shù)轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)參數(shù)矩陣的不確定性，因此系統(tǒng)被建模為范數(shù)有界的不確定系統(tǒng)。使用Bernoulli隨機(jī)序列描述數(shù)據(jù)包丟失且數(shù)據(jù)丟失概率已知?；诰€(xiàn)性矩陣不等式(LMI)方法和李雅普諾夫(Lyapunov)穩(wěn)定性原理，給出并證明了所設(shè)計(jì)控制器存在的充分條件，并將控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解線(xiàn)性矩陣不等式可行解的問(wèn)題。最后給出了仿真實(shí)例，驗(yàn)證了采用的設(shè)計(jì)控制器方法的有效性和可行性。

時(shí)變時(shí)延；丟包；網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；H∞控制；線(xiàn)性矩陣不等式

0 引 言

在過(guò)去十年中，通信、計(jì)算機(jī)以及控制技術(shù)的飛速發(fā)展，大大地影響了控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。隨著控制對(duì)象復(fù)雜度的增加，控制區(qū)域的擴(kuò)大，傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)已經(jīng)滿(mǎn)足不了復(fù)雜的需求。因此，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NCS)應(yīng)運(yùn)而生[1-3]。

在NCS給人們帶來(lái)極大便利的同時(shí)，由于網(wǎng)絡(luò)自身的特性，也給設(shè)計(jì)和分析NCS帶來(lái)了麻煩。其中突出的兩個(gè)問(wèn)題就是時(shí)延和丟包。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中往往伴隨著時(shí)延和丟包。設(shè)計(jì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)的NCS必須要考慮到時(shí)延和丟包對(duì)系統(tǒng)的影響，否則將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降甚至失穩(wěn)[4-7]。

關(guān)于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)丟包和時(shí)延的問(wèn)題，很多文獻(xiàn)都給出了解決方法[8-10]。文獻(xiàn)[11]考慮了傳感器到控制器之間的時(shí)延和丟包，用Markov隨機(jī)序列描述數(shù)據(jù)丟失并且設(shè)計(jì)了一個(gè)狀態(tài)反饋控制器使得系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。文獻(xiàn)[12]用Bernoulli隨機(jī)序列描述丟包，丟包的概率屬于一個(gè)已知的區(qū)間。文獻(xiàn)[13]針對(duì)具有隨機(jī)時(shí)延的NCS設(shè)計(jì)H∞控制器，隨機(jī)時(shí)延滿(mǎn)足Bernoulli隨機(jī)序列。文獻(xiàn)[14]假設(shè)系統(tǒng)時(shí)延恒定，將系統(tǒng)動(dòng)態(tài)地分成多種情況來(lái)考慮，用多個(gè)子系統(tǒng)描述不同丟包情況下的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)模型。

文獻(xiàn)[15]假設(shè)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的時(shí)延為一步時(shí)延，方便了對(duì)系統(tǒng)的分析，卻人為地增加了網(wǎng)絡(luò)時(shí)延。文獻(xiàn)[16]在處理時(shí)延時(shí)，采用在控制器和執(zhí)行器接收端設(shè)置緩沖區(qū)的方法，隨機(jī)時(shí)延即被轉(zhuǎn)為確定時(shí)延，實(shí)際處理的時(shí)延是定常時(shí)延。文獻(xiàn)[17]討論了具有一步時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題，用兩個(gè)不相關(guān)的Bernoulli隨機(jī)序列分別描述一步時(shí)延和丟包。

現(xiàn)如今，針對(duì)具有時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的研究已經(jīng)有很多成果，但仍然存在不足。網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延由前向通道和反饋通道的時(shí)延組成，上述有些文獻(xiàn)只解決了前向通道的時(shí)延。有些文獻(xiàn)只考慮時(shí)延或丟包其中一種情況下NCS的控制問(wèn)題。而有的文獻(xiàn)即使同時(shí)考慮到時(shí)延和丟包，但均是假設(shè)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延是已知的常數(shù)。事實(shí)上，時(shí)延和丟包總是同時(shí)發(fā)生的，而且時(shí)延并不一定是常數(shù)，丟包也具有隨機(jī)性。

針對(duì)上述情況，研究了具有時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞控制。不僅考慮了傳感器到控制器的時(shí)延，也考慮了控制器到執(zhí)行器之間的時(shí)延，并且假設(shè)時(shí)延是時(shí)變的，將未知的時(shí)延變量處理成系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，利用Bernoulli隨機(jī)序列描述數(shù)據(jù)丟失。通過(guò)LMI和Lyapunov函數(shù)給出了H∞控制器存在的充分條件。

1 問(wèn)題描述

具有時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖中，τsc表示傳感器到控制器通道之間的時(shí)延，τca表示控制器到執(zhí)行器通道之間的時(shí)延。網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)總時(shí)延為τk(τk=τsc+τca)。文中時(shí)延考慮為時(shí)變短時(shí)延，所以τk∈[0,T]，T為一個(gè)采樣周期。假設(shè)丟包發(fā)生在前向通道，滿(mǎn)足Bernoulli隨機(jī)序列且概率已知。

(1)

其中，α(k)是一個(gè)Bernoulli隨機(jī)序列，其值可取0或1，滿(mǎn)足如下概率：

(2)

考慮如下的線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)：

(3)

其中，u(t)∈Rm，x(t)∈Rn,y(t)∈Rp,z(t)∈Ro，ω(t)∈Rq分別表示控制輸入、系統(tǒng)狀態(tài)、系統(tǒng)輸出、控制輸出和外部干擾；A,B,C,G,H,M為具有適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣。

對(duì)方程(3)進(jìn)行離散化，得到：

(4)

其中：

(5)

其中，λ1,λ2,…,λn為矩陣A的特征值；Λ1,Λ2,…,Λn是矩陣A的特征向量。

F(τk)滿(mǎn)足：

FT(τk)F(τk)≤I

(6)

針對(duì)系統(tǒng)(3)，設(shè)計(jì)如下的狀態(tài)反饋控制器：

(7)

將式(7)代入式(4)，得到閉環(huán)控制系統(tǒng)的方程為：

(8)

針對(duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)(8)，設(shè)計(jì)形如式(7)的控制器，滿(mǎn)足：

(1)閉環(huán)系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定；

(2)零初始條件下，系統(tǒng)控制輸出滿(mǎn)足：

(9)

其中，γ給定且大于0。

以下是證明閉環(huán)系統(tǒng)(8)穩(wěn)定性時(shí)用到的引理：

引理2：V(x(k))為L(zhǎng)yaponuv函數(shù)，如果存在正實(shí)數(shù)λ≥0,μ>0,ν>0和0<ψ<1滿(mǎn)足：

μ‖x(k)‖2≤V(x(k))≤v‖x(k)‖

E{V(x(k+1))|x(k)}-V(x(k))≤

λ-ψV(x(k))

(10)

那么有：

(11)

(12)

則存在任意正數(shù)ε使得：

(13)

2 主要結(jié)果

當(dāng)ω(k)=0時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)(8)，得到定理1。

(14)

其中：

(15)

那么系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定。

證明：ω(k)=0時(shí)，構(gòu)造如下的Lyaounov函數(shù)：

V(x(k))=xT(k)Px(k)+xT(k-1)Qx(k-1)

(16)

可得：

V(x(k+1))=xT(k+1)Px(k+1)+xT(k)Qx(k)

(17)

式(16)與式(17)兩項(xiàng)作差可得：

取ηT(k)=[x(k),x(k-1)]T，因?yàn)镋{α(k)-α}=0,E{(α(k)-α)2}=(1-α)α=β2，令M1=B0+DF(τk)E,M2=B1-DF(τk)E，得到：

[Adx(k)+(α(k)-α)M1Kx(k)+αM1Kx(k)+(α(k)-α)M2Kx(k-1)+αM2Kx(k-1)]TP[Adx(k)+ (α(k)-α)M1Kx(k)+αM1Kx(k)+ (α(k)-α)M2Kx(k-1)+αM2Kx(k-1)]+xT(k)Qx(k)-xT(k)Px(k)-xT(k-1)Qx(k-1)= [Adx(k)+αM1Kx(k)+αM2Kx(k-1)]TP[Adx(k)+αM1Kx(k)+αM2Kx(k-1)]+β2[M1Kx(k)]TP[M1Kx(k)]+β2[M1Kx(k)]TP[M2Kx(k-1)]+β2[M2Kx(k-1)]TP[M1Kx(k)]+β2[M2Kx(k-1)]TP[M2Kx(k-1)]+xT(k)Qx(k)-xT(k)Px(k)-xT(k- 1)Qx(k-1)=ηT(k)θ1η(k)

(18)

由Schur補(bǔ)引理可知，式(14)等價(jià)于θ1<0，得到：

E{V(x(k+1)|x(k))}-V(x(k))=ηT(k)θ1η(k)≤-λmin(θ1)ηT(k)η(k)< -γηT(k)η(k)

(19)

其中，0<γ

令σ=λmax(P)，得到：

E{V(x(k+1)|x(k))}-V(x(k))<

(20)

由引理1和引理2可知，閉環(huán)控制系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定。

ω(k)≠0時(shí)，對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(8)設(shè)計(jì)滿(mǎn)足均方意義下指數(shù)穩(wěn)定的H∞控制器，給出定理2和定理3。

定理2：對(duì)式(8)，干擾輸入ω(k)≠0，給定γ>0，若存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣P,Q和增益矩陣K，滿(mǎn)足：

(21)

那么系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定且滿(mǎn)足H∞性能。

證明：當(dāng)ω(k)=0時(shí)，容易證得閉環(huán)系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定。

當(dāng)ω(k)≠0時(shí)，取Lyapunov函數(shù)V(x(k))=xT(k)Px(k)+xT(k-1)Qx(k-1)，取ηT(k)=[x(k),x(k-1),ω(k)]T，進(jìn)而得到：

(22)

由Schur補(bǔ)引理可知，式(21)等價(jià)于θ2<0，此時(shí)有

E{V(0)}-E{V(∞)}，由零初始條件可知E{V(0)}=0，得到：

(23)

證畢。

定理3：給定γ>0，ε>0，對(duì)于系統(tǒng)(8)，若存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣X,Y和矩陣Z滿(mǎn)足：

(24)

那么系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定且滿(mǎn)足H∞性能。

證明：由式(21)可知：

(25)

左右同乘diag{P-1,P-1,I,I,βI,I,I}，令Y=P-1QP-1,X=P-1,Z=KP-1。不等式(25)可化為式(24)。由引理1可知，閉環(huán)系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定且滿(mǎn)足給H∞性能。證畢。

3 仿真實(shí)例

考慮如下的控制對(duì)象:

(26)

令F(τk)中的α1=0,α2=0。

根據(jù)如上假設(shè)，可以得到：

給定γ=1,ε=4，通過(guò)Matlab中的LMI工具求解式(24)得出：

當(dāng)ω(k)=0時(shí)，由Matlab仿真工具可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)圖,如圖2所示。

圖2 ω(k)=0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)圖

與此同時(shí)，可以得到：

滿(mǎn)足H性能指標(biāo)。由圖可以看出系統(tǒng)是穩(wěn)定的，所以采用的方法是可行的。

圖3 ω(k)≠0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)圖

圖4 ω(k)≠0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)圖

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于同時(shí)具有時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，假設(shè)時(shí)延存在于傳感器到控制器之間和控制器到執(zhí)行器之間且時(shí)延是時(shí)變的。將時(shí)變短時(shí)延系統(tǒng)建模成含有不確定參數(shù)的系統(tǒng)。利用Lypunov穩(wěn)定性原理和LMI方法給出并證明了H∞控制器存在的充分條件。由仿真實(shí)例證明了設(shè)計(jì)的控制器是可行有效的。

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H∞ Control of Networked Control Systems with Time-varyingDelay and Packet Dropout

ZHOU Ying,ZHENG Feng,HE Lei

(College of Automation,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210003,China)

For a class of networked control systems with time-varying delay and packet dropout,aH∞controllerisdesignedinordertomaketheclosed-loopsystemmeansquarestableandmeettheprescribedH∞disturbanceattenuationlevel.Itisknownthatthesystemhasdatapacketlossandtime-varyingdelayfromthesensortothecontroller,andtimevaryingdelayfromthecontrollertoactuator.Thetotaltimedelayislessthanonesamplingperiod.Theuncertaintyofdelayisturnedintotheunknownparametersofthesystemequationsothatthesystemismodeledasanormboundeduncertainsystem.DatapacketdropoutisassumedtobesatisfiedwiththeBernoullidistributionsequencewithknownprobability.SufficientconditionsfortheexistenceofthestatefeedbackcontrolleraregivenbylinearmatrixinequalityandLyapunovprinciple.Andthecontrollerdesignproblemistransformedintosolvingthefeasiblesolutionofthelinearmatrixinequality.Asimulationexampleisgiventoprovetheeffectivenessandfeasibilityofthedesignmethod.

time-varying delay；packet dropout；networked control system；H∞control；linearmatrixinequality

2016-05-31

2016-09-02 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2017-03-13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61104103,61102155)

周 穎(1978-)，女，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)、復(fù)雜大系統(tǒng)的自適應(yīng)控制、非線(xiàn)性系統(tǒng)的控制理論及應(yīng)用；鄭 鳳(1992-)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。

http://kns.cnki.net/kcms/detail/61.1450.tp.20170313.1545.032.html

TP

A

1673-629X(2017)05-0164-06

10.3969/j.issn.1673-629X.2017.05.034