甘肅臨澤一中(734200) 魏正清

不等式恒成立求參數(shù)范圍的放縮策略*

甘肅臨澤一中(734200) 魏正清

在處理一些“不等式恒成立求參數(shù)范圍”型的競賽與高考壓軸題時,放縮法不失為一類非常有效的方法,但如何放縮才能適度而有效?思維要求高,技巧性強(qiáng),學(xué)生不易把握.若能充分挖掘題目特點(diǎn),構(gòu)恒成立不等式,巧妙放縮已知的恒成立不等式,往往能迅捷找到解題的突破口.

1.利用極限放縮不等式

例1(2016年高考四川理)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2?a?lnx,其中a∈R.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

評注不等式恒成立求參數(shù)范圍時,若能分離參數(shù),有時則可利用區(qū)間端點(diǎn)處的極限,構(gòu)造恒成立不等式,巧求參數(shù)范圍.

2.利用切線放縮不等式

例2(2011年高考全國I)已知函數(shù)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y?3=0.

(1)求a,b的值;

而t(1)=0知t′(1)=2k≤0得k≤0.(否則,若t′(1)＞0,因t′(x)在(0,1)連續(xù),故必存在正數(shù)m,當(dāng)x∈(m,1)時,t′(x)＞0,從而當(dāng)x∈(m,1)時,t(x)＜t(1)=0,不合題意).利用題目中的切線構(gòu)造不等式,放縮求參數(shù)范圍.

當(dāng)x＞1時,g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)0＜x＜1時,g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減.又當(dāng)x→1時,g(x)→0,故g(x)＞0.從而k＜0.

評注不等式恒成立求參數(shù)范圍時,若能利用曲線在某點(diǎn)處的切線構(gòu)造恒成立不等式,則可巧妙地將恒成立不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,妙求參數(shù)范圍.

3.利用已有關(guān)系式放縮不等式

例3(2013年高考遼寧理)已知函數(shù)f(x)=(1+x)e?2x,

(1)求證:1?x≤f(x)≤

(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析(1)從略.(2)依

評注不等式恒成立求參數(shù)范圍時,若能利用題目中已有的恒成立不等式,則能將求解的恒成立不等式巧妙簡化,從而使問題迅捷解決.

4.利用分式放縮不等式

評注不等式恒成立求參數(shù)范圍時,分離參數(shù)后,若為分式型不等式,則可巧妙地利用分式的分子與分母構(gòu)造恒成立不等式,簡化問題,妙求參數(shù)范圍.

5.利用函數(shù)的最值放縮不等式

例5已知函數(shù)e=2.71828...是自然對數(shù)的底數(shù),).

(I)若函數(shù)f(x)的最小值為0,求實數(shù)a的值;

(II)若當(dāng)m＞2.3時,ex＞lnx+m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

評注不等式恒成立求參數(shù)范圍時,若能緊扣題目中的特殊條件,利用函數(shù)的最值構(gòu)恒成立不等式進(jìn)行放縮,則可簡化問題,巧妙求參數(shù)范圍.

6.取特值放縮不等式

例6已知函數(shù)f(x)=ex+m?x3,g(x)=ln(x+1)+2.

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為1,求實數(shù)m的值.

(2)若f(x)＞g(x)?x3,求整數(shù)m的最小值.

分析(1)略.(2)依題意

評注不等式恒成立求參數(shù)范圍時,若參數(shù)是整數(shù),則可取特值巧構(gòu)恒成立不等式,簡化問題,妙求參數(shù)范圍.

*甘肅省十二五規(guī)劃課題“新課程背景下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)情景中師生關(guān)系重建研究”(課題批準(zhǔn)號GS[2015]GHB1415)成果.